1 Teoria tableaux Younga - LK

Piotr Achinger ([email protected])
1 - 16 I 2008
TABLEAUX YOUNGA, WIELOMIANY SCHURA, WZÓR FROBENIUSA
1
Teoria tableaux Younga
Przez diagram Younga (lub diagram Ferrersa ) rozumiemy graczn¡ ilustracj¦ podziaªu liczby caªkowitej
n > 0 na sum¦ liczb caªkowitych nieujemnych, z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci. Np. dla podziaªu 12 =
1 + 3 + 5 + 3 otrzymujemy diagram
Mówi¡c ±ci±lej, dla podziaªu n = λ1 + . . . + λk , λ1 ­ λ2 ­ . . . ­ λk ­ 0, w i-tym wierszu diagramu
rysujemy λi kwadratów.
Nierówno±ci pomi¦dzy podziaªami. Maj¡c dane λ = (λ1 , . . .), µ = (µ1 , . . .), deniujemy
(1)
(2)
(3)
µ ¬ λ { porz¡dek leksykograczny,
µ λ, je±li µ1 + . . . + µi ¬ λ1 + . . . + λi { porz¡dek dominacji,
µ ⊂ λ, je±li µi ¬ λi { porz¡dek zawierania,
i zauwa»amy, »e µ ⊂ λ ⇒ µ λ ⇒ µ ¬ λ, za± porz¡dek leksykograczny jest liniowy.
Przez tableau Younga (l. mn. tableaux ) diagram Younga ze wpisanymi liczbami caªkowitymi dodatnimi
we wszystkie jego pola, tak aby czytane od lewej do prawej w ka»dym wierszu tworzyªy one ci¡g
niemalej¡cy, za± czytane z góry na dóª w ka»dej kolumnie tworzyªy ci¡g rosn¡cy. Oto przykªad tableau
na powy»szym diagramie:
1 1 2 3 4
2 4 4
4 6 6
8
Je»eli λ = (λ1 , . . . , λk ) jest podziaªem, mówimy, »e tableau T jest typu (lub ksztaªtu) λ (ozn. T : λ),
je±li po usuni¦ciu ze« liczb otrzymujemy diagram Younga odpowiadaj¡cy λ.
Na tableau mo»emy patrze¢, jak na ÿstruktur¦ danych" przechowuj¡c¡ mulitzbiór liczb caªkowitych
dodatnich. Poni»ej zdeniujemy podstawowe operacje dla takiej struktury: dodawanie elementu do
zbioru, usuwanie elementu ze zbioru, suma rozª¡czna zbiorów.
Dodawanie (Row Bumping). Maj¡c tableau T oraz liczb¦ caªkowit¡ dodatni¡ x, konstruujemy nowe
tableau T 0 wedªug nast¦puj¡cego algorytmu:
1
Listing 1: algorytm ÿRow Bumping" Schensteda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
i := 1
while ( i−ty wiersz T jest niepusty ) and
( ostatnia liczba w i−tym wierszu T ) > x do
begin
j := ( numer pierwszego pola w i−tym wierszu U
zawierającego liczbę > x )
f zamiana g
x : = : ( liczba w j−tym polu i−tego wiersza T )
i := i + 1
end
dopisz x na koniec i−tego wiersza T
wynik := T
Czyli, staramy si¦ dopisa¢ x na koniec pierwszego wiersza T , je»eli si¦ nie da (x jest mniejszy od
ostatniej liczby w tym wierszu), wkªadamy x na ostatnie miejsce, gdzie b¦dzie pasowaª w tym wierszu,
a znajdujc¡ si¦ tam liczb¦ y wyjmujemy i próbujemy z ni¡ tych samych operacji na nast¦pnym wierszu.
Oto wynik dodania liczby 2 do powy»szego tableau:
1 1 2 2 4
2 3 4
4 4 6
6
8
Warto zaznaczy¢, »e ten algorytm jest w pewnym sensie odwracalny, tj. znaj¡c ko«cow¡ warto±¢ i
(czyli pole dodane do diagramu) mo»emy odwróci¢ kolejne kroki, otrzymuj¡c spowrotem T oraz x. Ta
obserwacja przyda nam si¦ pó¹niej.
Wynik dodania liczby x do tableau T oznaczamy przez T ← x
Usuwanie (Sliding). Maj¡c tableau T , wybieramy które± z jego pól do usuni¦cia, powiedzmy: w i-tym
wierszu i j-tej kolumnie. Powstaje nam ÿdziura do zaªatania". Przypomina to troch¦ gr¦ w pi¦tnastk¦,
gdzie z 15 kwadracików przesuwaj¡cych si¦ w tabliczce 4 × 4 musimy uªo»y¢ obrazek | chc¡c zaªata¢
dziur¦, wsuwamy na jej miejsce mniejsz¡ z dwóch liczb: bezpo±rednio poni»ej oraz po prawej od dziury.
Je»eli poni»ej oraz po prawej nie ma »adnych pól, algorytm si¦ ko«czy. Je»eli jest tylko jedno pole (np.
jest poni»ej, a nie ma po prawej), wybieramy to pole do przesuni¦cia. Je»eli s¡ oba i wpisano w nie równe
liczby, musimy wybra¢ t¦ poni»ej, inaczej dostaliby±my dwie równe liczby w jednej kolumnie.
Oto ilustracja procedury usuwania liczby 2 z powy»szego tableau:
1 1 2 2 4
3 4
4 4 6
6
8
→
1 1 2 2 4
3
4
4 4 6
6
8
→
1 1 2 2 4
3 4 4
4
6
6
8
→
1 1 2 2 4
3 4 4
4 6
6
8
Łączenie 1. Maj¡c dwa tableau U i T , przez T ◦ U oznaczamy ich zª¡czenie otrzymane w nast¦puj¡cy
sposób:
2
(1)
(2)
(3)
(4)
czytamy po kolei wiersze U od ostatniego, ka»dy wiersz czytamy od lewej do prawej,
w wyniku tego otrzymujemy ci¡g x1 , x2 , x3 , ..., x|U| ,
kolejno wstawiamy liczby z tego ci¡gu do T algorytmem bumping,
to, co otrzymamy w wyniku, oznaczamy przez T ◦ U.
Na przykªad, w wyniku pomno»enia naszego
otrzymamy
1
2
4
6
8
pierwszego przykªadu tableau przez tableau
1 2
3
1 1 2 3
2 3 4
4 4
6
Rektyfikacja. Przez sko±ny (skew) diagram Younga λ/µ, dla µ ⊂ λ (przez co rozumiemy, »e µi ¬ λi )
rozumiemy diagram λ z usuni¦tymi polami diagramu µ. Oto przykªad λ/µ dla λ = (5, 3, 3, 1) oraz
µ = (2, 1, 1, 1):
∗ ∗
∗
∗
∗
gdzie ∗ oznacza usuni¦te pola (nie chciaªo mi si¦ zmusza¢ TEX-a do rysowania tego porz¡dnie).
Rozszerzamy denicj¦ tableau na sko±ne diagramy. Mówimy, »e tableau (zwykªe) U jest rektykacj¡
sko±nego tableau T , je±li po wykonywaniu algorytmu sliding dla pustych pól w T (w dowolnej kolejno±ci,
za ka»dym razem bra¢ puste pole, które nie ma pustego pola poni»ej i po prawej) otrzymamy tableau U.
Jest to forma ÿnormalizacji" sko±nego tableau do zwykªego tableau. Czy jest ona jednoznaczna? Okazuje
si¦, »e tak.
Przykªadowo, kolejnymi krokami rektykacji tableau sko±nego
1 3
s¡
2
1 3
1
1 2
3
1
1 2
3
1
2
1
1
1 2
3
1 1
2
3
1 1
2
3
Łączenie 2. Maj¡c dwa tableau T i U, rysujemy je obok siebie tak, aby prawy górny róg T zetkn¡ª
si¦ z lewym dolnym rogiem U, otrzumuj¡c sko±ne tableau, którego rektykacj¦ oznaczamy przez T ∗ U.
Przykªadowo, powy»ej policzyli±my zª¡czenie dla tableau
1 3
1
2
oraz
natomiast sko±ne tableau dla tableaux z przykªadu Š¡czenia 1 wygl¡da nast¦puj¡co:
1 1 2 3 4
2 4 4
4 6 6
8
i po rektykacji dostaniemy
1
2
4
6
8
1 2
3
1 1 2 3
2 3 4
4 4
6
3
Prawdziwy jest nast¦puj¡cy
Fundamentalny Fakt. T ◦ U = T ∗ U, niezale»nie od sposobu rektykacji.
Dowód tego faktu znajdzie Czytelnik w rozdziaªach 1 i 2 w ksi¡»ce Fultona Young Tableaux.
Wniosek 1. Mno»enie (oznaczane TU := T ◦ U = T ∗ U) jest ª¡czne.
Istotnie, operacja tworzenia niezrektykowanego tableau dla T ∗U opisana powy»ej jest ª¡czna, a rektykacja,
jako niezale»na od kolejno±ci usuwania pól, zachowuje t¦ ª¡czno±¢.
To prowadzi nas to zdeniowania pier±cienia Tableaux R w nast¦puj¡cy sposób:
R={
X
aT · T : aT ∈ Q, aT 6=
0 dlaskoczenie wieluT },
T −tableau
tj. R jest przestrzeni¡ liniow¡ nad Q rozpi¦t¡ przez wszystkie tableau, z mno»eniem okre±lonym na bazie
poprzez mno»enie tableau zdeniowane uprzednio.
Wzór Pieriego. Potrzebny nam b¦dzie jeszcze jeden fakt dotycz¡cy algorytmu bumping:
Lemat (ÿBumping lemma"). Dodanego tableau T wstawiamy kolejno liczby x oraz x 0 , gdzie x ¬ x 0
i rozwa»amy dwa dodane pola P i P 0 . Wówczas P jest na lewo od P 0 oraz jest nie wy»ej ni» P 0 .
Dowód (szkic). Je»eli x traa na koniec pierwszego wiersza T , to x 0 równie» i mamy tez¦. Przypu±¢my,
»e x zostaje zamienione z pewn¡ liczb¡ y z pierwszego wiersza. Je»eli x 0 traa na koniec pierwszego
wiersza T to P 0 jest wy»ej ni» P 0 oraz na prawo od P 0 , je±li x 0 zostaje zamienione z pewn¡ liczb¡ y 0 z
pierwszego wiersza, stosujemy indukcyjnie te same argumenty dla T bez pierwszego wiersza oraz x = y,
x 0 = y 0.
Wniosek 1. Dla danego tableau T : µ oraz liczby p istnieje bijekcja pomiedzy zbiorem rozwi¡za« UV = T
takich, »e V jest typu (p), a zbiorem podziaªów λ takich, »e λ ⊂ µ oraz µ/λ ma p komórek, z czego »adne
dwie nie le»¡ w jednej kolumnie.
Dowód. Maj¡c T = UV , V : (p), wiemy, »e V zawiera niemalej¡cy ci¡g liczb x1 ¬ x2 ¬ . . . ¬ xp
oraz »e T powstaje z wstawienia do U kolejnych liczb tego ci¡gu. Z lematu wiemy, »e dodane pola uªo»¡
si¦ tak, »e »adne dwa nie b¦d¡ w jednej kolumnie, oraz »e ich kolejno±¢ b¦dzie odpowiadaªa kolejno±ci
liczb xi . Algorytm wstawiania jest odwracalny, mo»emy zatem maj¡c wybranych w T p pól, »adne dwa
nie w jednej kolumnie, po kolei wyjmowa¢ je od lewej do prawej, otrzymuj¡c spowrotem V : (p) oraz
rozkªad UV = T .
Ustalmy n oraz zdeniujmy dla dowolnego podziaªu λ elementy Sλ ∈ R nast¦puj¡cym wzorem:
Sλ :=
X
T,
T :λ
gdzie T przebiega wszystkie tableau typu λ, ale nie zawieraj¡ce liczb wi¦kszych ni» n.
Wniosek 2. W R zachodzi dla dowolnych p, λ nast¦puj¡ca to»samo±¢, zwana wzorem Pieriego :
Sλ · S(p) =
X
Sµ ,
µ
gdzie suma obejmuje wszystkie podziaªy µ takie, »e λ ⊂ µ oraz µ/λ ma p pól, z czego »adne dwa nie s¡
w jednej kolumnie.
4
liczba wystpie i w T . Maj¡c podziaª
Dla danego tableau T , przez jego zawarto±¢ rozumiemy ci¡g µi =
λ oraz ci¡g µ, deniujemy
Kλµ = (
T :λ
µ).
# tableaux
o zawartosci
Przez wielokrotne zastosowanie wzoru Pieriego, otrzymujemy:
Wniosek 3. W R zachodzi dla dowolnych µi nast¦puj¡ca to»samo±¢:
S(µ1 ) · S(µ2 ) · . . . · S(µk ) =
X
Kλµ · Sλ .
λ
Zauwa»my, »e je»eli uporz¡dkujemy podziaªy λ leksykogracznie, to dla µ > λ b¦dzie Kλµ = 0, oraz
»e Kλλ = 1. To ±wiadczy o tym »e ÿmacierz" Kλµ jest górnotrójk¡tna z jedynkami na przek¡tnej, zatem
jest odwracalna nad Z. Pó¹niej skorzystamy z tej obserwacji.
2
Funkcje symetryczne i wielomiany Schura
Niech Rn = Q[x1 , x2 , . . . , xn ]. Grupa permutacji Sn dziaªa na Rn w naturalny sposób, tj. σ · xi =
xσ(i) . Wielomianem symetrycznym n zmiennych nazywamy punkt staªy tego dziaªania. Oznaczmy przez
Λn = RSnn zbiór tych punktów staªych. Naszym zadaniem chwilowo b¦dzie pozbycie si¦ niewygodnego
ograniczenia, jakim jest liczba zmiennych.
Niech ρk : Λk+1 → Λk , ρ(w(x1 , . . . , xk , xk+1 ) := w(x1 , . . . , xk ). Mamy zatem niesko«czony ci¡g:
Λ0 ← Λ1 ← Λ2 ← . . .
Oznaczmy przez Λ granic¦ odwrotn¡ tego ci¡gu (tj. taki pier±cie« wraz z odwzorowaniami pi : Λ → Λi ,
0
»e pi = ρi ◦ pi+1 oraz dla dowolnego Λ 0 wraz z odwzorowaniami pi0 : Λ 0 → Λi takimi, »e pi0 = ρi ◦ pi+1
istnieje dokªadnie jedno odwzorowanie φ : Λ 0 → Λ takie, »e pi · φ = pi0 ). Elementy tego pier±cienia
nazywamy funkcjami symetrycznymi. Czytelnik nie zaznajomiony z teori¡ kategorii mo»e uto»samia¢
funkcj¦ symetryczn¡ ω z ci¡giem wielomianów ωi ∈ Λi takich, »e ρi (ωi+1 ) = ωi . Funkcja symetryczna
jest jak wielomian symetryczny, do którego mo»emy wstawi¢ dowolnie du»o zmiennych.
Wa»ne przykªady baz Λ, indeksowanych podziaªami λ
(1) Elementarne wielomiany symetryczne eλ . S¡ to wielomiany pojawiaj¡ce si¦ we wzorach Viete'a.
Deniujemy je wpierw dla λ = (n):
X
en (x1 , . . . , xk ) =
xi1 xi2 . . . xin ,
i1 <i2 <...<n
albo przez funkcj¦ tworz¡c¡:
Y
(1 + txi ) =
X
e n tn .
Znane twierdzenie, mówi¡ce o tym, »e ka»dy wielomian symetryczny da si¦ wyrazi¢ w postaci pewnego
wielomianu od en mówi nam, »e wielomiany
eλ := eλ1 eλ2 . . . eλk
gdzie λ = (λ1 , . . . , λk ) przebiega wszystkie podziaªy, tworz¡ baz¦ Λ.
(2) Zupełne wielomiany symetryczne hλ . S¡ one w pewnym sensie dualne do eλ . Deniujemy
je wpierw dla λ = (n):
X
hn (x1 , . . . , xk ) =
xi11 xi22 . . . xikk ,
i1 +i2 +...+k =n
albo przez funkcj¦ tworz¡c¡:
Y
X
1
=
hn t n .
1 − txi
5
Analogicznie jak dla eλ , rozszerzamy denicj¦ na dowolne podziaªy λ wzorem
hλ := hλ1 hλ2 . . . hλk .
(3) Wielomiany potęgowe pλ . Znowu zaczynamy od denicji dla λ = (n):
X
xn
pn (x1 , . . . , xk ) =
i,
i
Analogicznie jak dla eλ i hλ , rozszerzamy denicj¦ na dowolne podziaªy λ wzorem
pλ := pλ1 pλ2 . . . pλk .
(4) Wielomiany jednomienne mλ . Z jednomianem xa1 1 . . . xak k wi¡»emy podziaª λ powstaªy uporz¡dkowania
ci¡gu ai niemalej¡co. Maj¡c dane λ, deniujemy mλ jako sum¦ wszystkich jednomianów zwi¡zanych w
ten sposób z λ:
X λσ(1) λσ(2)
λ
mλ (x1 , x2 , . . . , xk ) =
x1
x2
. . . xkσ(k) ,
σ
gdzie sumujemy po wszystkich permutacjach k elementów.
(5) Wielomiany Schura sλ . S¡ to najwa»niejsze dla nas wielomiany, gdy» wi¡»¡ one teori¦ tableaux
Younga z teori¡ reprezentacji grup. Mimo to, wcale nie jest oczywiste, »e s¡ one symetryczne!
Zdeniujmy homomorzm φ : R → Q[x1 , x2 , . . .] tak, aby
φ( i ) = xi ,
czyli je»eli tableau T ma zawarto±¢ µ, to φ(T ) = xµ := xµ1 1 xµ2 2 . . ..
Ustalamy n i deniujemy Sλ ∈ R jak przy wzorze Pieriego, tj. jako sum¦ wszystkich tableau T : λ o
wyrazach ¬ n. Deniujemy teraz wielomiany Schura:
sλ (x1 , . . . , xn ) := φ(Sλ ).
Jak pisaªem, nie wida¢ od razu, »e s¡ one symetryczne. Jednak wprost z denicji wynika, »e s(p) = h(p) .
Ponadto, z to»samo±ci Pieriego (wniosek 2) wynika analogiczna to»samo±¢ dla wielomianów Schura:
sλ h(p) =
X
sµ ,
µ
gdzie suma przebiega wszystkie λ ⊂ µ takie, »e µ/λ ma p pól, z czego »adne dwa nie s¡ w jednej kolumnie.
Wniosek 3 równie» przenosi si¦ na wielomiany Schura, w nast¦puj¡cej formie:
hµ =
X
Kλµ sλ .
λ
0 , »e
Wiemy ju», »e macierz Kλµ jest odwracalna nad Z, tj. istniej¡ takie liczby caªkowite Kµλ
sµ =
X
0
Kλµ
hλ ,
λ
wyrazili±my wi¦c wielomiany Schura poprzez wielomiany symetryczne hλ . Pªyn¡ st¡d nast¦puj¡ce wnioski:
Wniosek 1. sλ s¡ funkcjami symetrycznymi i tworz¡ baz¦ Λ.
Wniosek 2. Liczby Kλµ nie zale»¡ od porz¡dku wyrazów µ.
P
Wniosek 3. Je»eli zλ speªniaj¡ to»samo±¢ Pieriego zλ · h(p) = µ zµ , gdzie suma przebiega wszystkie
µ ⊃ λ takie, »e µ/λ ma p pól, »adne dwa w jednej kolumnie, to zλ = sλ .
6
Tożsamość Jacobiego-Trudiego. Oprzemy si¦ na wniosku 3, aby wyrazi¢ wielomiany Schura w bardziej
algebraicznej formie. Dla l = (l1 , . . . , lk ) (niekoniecznie podziaªu) deniujemy
al (x1 , . . . , xk ) =
det[xli ]ki,j=1.
j
jest to uogólnienie wyznacznika Vandermonde'a, poniewa» dla δ = (k − 1, k − 2, . . . , 0) mamy
aδ (x1 , . . . , xk ) =
det[xj−1
i ]=
Y
(xi − xj ).
i<j
Zdeniujemy teraz naszego kandydata:
zλ =
aλ+δ
=
aδ
det[xli +k−j] .
det[xi + k − j]
j
zλ na pewno jest wielomianem na mocy twierdzenia Bezout.
P
Pozostaje udowodni¢ to»samo±¢ Pieriego zλ h(p) = µ zµ , któr¡ przepisujemy w postaci
X
aλ+δ
xi11 . . . xikk =
X
aµ+δ ,
µ
i1 +...+ik =p
gdzie sumujemy po wszystkich λ ⊂ µ takich, »e µ/λ ma p pól, »adne dwa w jednej kolumnie. Sumuj¡c
po wszystkich p otrzymamy równowa»n¡ to»samo±¢
a(l1 ,...,k )
Y
1
=
1 − xi
X
a(m1 ,...,mk ) ,
(m1 ,...,mk )
gdzie li = λi +k−i, mi = µi +k−i, a warunek na µ tªumaczy si¦ na branie po prawej sumy po wszystkich
(m1 , . . . , mk ) takich, »e m1 ­ l1 > m2 ­ l2 > . . . > mk ­ lk . Wzoru tego dowodzimy przez indukcj¦ po
k, rozwijaj¡c wyznaczniki wzgl¦dem wierszy z l1 lub n1 :
a(l1 ,...,k ) (x)
Y
i
1
=
1 − xi
X
!
(−1)α xlα1 a(l2 ,...,k ) (x(α) )
α
Y
i
1
=
1 − xi
(gdzie x = (x1 , . . . , xk ) oraz x(α) = (x1 , . . . , xα−1 , xα+1 , . . . , xk ))
=
Y 1
X
x l1
=
(−1)α α a(l2 ,...,k ) (x(α) )
1 − xα
1 − xi
α
i6=α
z zaªo»enia indukcyjnego:
=
X
(−1)α
α
=
xlα1
1 − xα
X
X
a(n2 ,...,nk ) (x(α) ) =
X
α
n2 ­l2 >n3 ­...
X
n1 ­l1 n2 ­l2 >n3 ­...
X
X
(−1)α (
n1 ­l1
!
1
(−1)α xn
α a(n2 ,...,nk ) (x(α) )
=
α
X
X
1
xn
α )
a(n2 ,...,nk ) (x(α) ) =
n2 ­l2 >n3 ­...
X
a(n1 ,n2 ,...,nk ) (x)
n1 ­l1 n2 ­l2 >n3 ­...
a bior¡c pod uwag¦, »e dla n2 ­ l1 skªadniki a(n1 ,n2 ,...,nk ) oraz a(n2 ,n1 ,...,nk ) wyst¦puj¡ po prawej stronie
i si¦ zjadaj¡, mo»emy doda¢ do tej sumy warunek l1 > n2 , co daje nalnie to, o co nam chodzi.
Otrzymali±my wobec Wniosku 3 równo±¢, zwan¡ to»samo±ci¡ Jacobiego-Trudiego (pierwotnie, to ona
byªa denicj¡ wielomianów Schura):
λ +k−j
det
[xi
]
sλ (x1 , . . . , xk ) =
.
k−j
det[xi ]
j
Q
(1−xi yj )−1 . Rozwiniemy teraz wspomniany iloczyn na trzy sposoby, co skªoni
nas do wprowadzenia szczególnego iloczynu skalarnego na Λ.
Rozwinięcia iloczynu
7
(1) Wychodzimy od to»samo±ci Cauchy'ego:
det
"
1
x i + yj
Y
#k
(xi + yj ) = aδ (x1 , . . . , xk ) · aδ (y1 , . . . , yk ).
i,j=1 i,j
Aby j¡ udowodni¢, zauwa»amy, »e obie strony s¡ jednorodnymi wielomianami zmiennych x1 , . . . , xk ,
y1 , . . . , yk stopnia n2 − n. Z drugiej strony, lewa strona jest antysymetryczna ze wzgl¦du na x-y oraz
na y-ki, wobec czego jest podzielna przez wyznaczniki Vandermonde'a aδ (x), aδ (y), zatem to»samo±¢
zachodzi z dokªadno±ci¡ do pomno»enia której± ze stron ze staª¡, któr¡ wyznaczamy eksperymentalnie,
porównuj¡c wspóªczynniki przy xδ yδ , równe po obu stronach.
Przeksztaªcaj¡c t¦ równo±¢, ªatwo otrzymamy nast¦puj¡c¡ jej posta¢:
Y
1
1
=
1 − xi yj
aδ (x)aδ (y)
det
"
1
1 − x i yj
#
wyznacznik po prawej stronie po rozpisaniu daje nam:
det
"
X X
Y 1
i
=
(−1)σ
xi i yσ(i)
,
1 − xi yj
σ ,...,
#
1
k
(rozwijamy ka»dy wyraz macierzy w szereg geometryczny, σ odpowiada wybranemu wyrazowi wyznacznika,
za± i mówi, który wyraz szeregu bierzemy w i-tym wierszu)
=
X
X
det[xi yj ] =
i
i
1 ,...,k
x ·
det[yj ] =
i
XX
1 ,...,k
λ
xσ(λ)
det[yλj
σ(i)
]=
σ
XX
X
X
=
( (−1)σ xσ(λ) )aλ (y) =
aλ (x)aλ (y) =
aλ+δ (x)aλ+δ (y).
λ
σ
λ
λ
Przej±cie od sumy po wszystkich i ­ 0 do sumy po wszystkich podziaªach λ o co najwy»ej k skªadnikach
oraz permutacjach σ bierze si¦ z posortowania ci¡gu epsilonów (tak, aby = σ(λ)). Ostatnia równo±¢
bierze si¦ st¡d, »e je»eli λ zawiera dwa równe skªadniki, to aλ = 0, a je±li nie zawiera, to λ = λ 0 + δ dla
unikalnego λ 0 .
Udowodnili±my zatem, na mocy to»samo±ci sλ = aλ+δ /aδ , rozwini¦cie
Y
X
1
=
sλ (x)sλ (y).
1 − xi yj
λ
(2) Z innej strony, mamy:
Y
i,j
Y X
1
=
hn (x)yn
,
j
1 − xi yj
n
!
j
co po wymno»eniu i zgrupowaniu wyrazów o takich samych wykªadnikach przy y z dokªadno±ci¡ do
permutacji daje nam
X
=
hλ (x)mλ (y).
λ
(3) Z jeszcze innej strony, mamy nast¦puj¡c¡ to»samo±¢
X
hn (x)tn =
n
Y
i
=
exp
Y
1
=
1 − xi t
X pr (x)tr
r
r
=
=
X
λ
exp(− log(1 − xit)) = exp 
Y
r
X X (xi t)r

r
exp pr(x)t
r
r
=
mr
mr !rmr
1
pλ (x)t|λ| .
λ1 !1λ1 λ2 !2λ2 . . . λk !kλk
8
i
Y X (pr (x)tr )mr
r
r
=

=
Niech z(λ) = λ1 !1λ1 λ2 !2λ2 . . . λk !kλk . Zwró¢my uwag¦, »e moc klasy sprz¦»ono±ci permutacji o rozkªadzie
na cykle λ (czyli maj¡cej cykle dªugo±ci λ1 , λ2 , . . .), czyli po prostu liczba permutacji o takim rozkªadzie
w Sn , jest równa n!/z(λ) (prosta kombinatoryka). Wobec powy»szego otrzymali±my wzór
X
hn =
|λ|=n
1
pλ .
z(λ)
We»my teraz k2 zmiennych zij = xi yj . Zauwa»my, »e mamy
X
pn (z) =
X


n

xn
i yj =

xn
i
i,j
X
i

 = pn (x)pn (y),
yn
j
j
sk¡d wynika, »e pλ (z) = pλ (x)pλ (y). Mamy zatem dla t = 1:
Y
i,j
Y
X
X 1
X
1
1
pλ (x)pλ (y).
=
=
hn (z)tn =
pλ (z) =
1 − txi yj
1 − tzij
z(λ)
n
i,j
λ
λ
Wypiszmy teraz te wzory obok siebie:
Y
i,j
X 1
X
X
1
hλ (x)mλ (y) =
sλ (x)sλ (y) =
pλ (x)pλ (y).
=
1 − txi yj
z(λ)
λ
λ
λ
Iloczyn skalarny. Wprowad¹my iloczyn skalarny na Λ tak, aby < sλ , sµ >= [λ = µ] (gdzie [φ] = 1 gdy
φ, w p.p.), czyli aby wielomiany Schura tworzyªy baz¦ ortonormaln¡. Z powy»szych wzorów wynika,
P
P
»e je±li rozpiszemy hλ (x) = µ Aλµ sµ (x) oraz mλ (y) = µ Bλµ sµ (y), to macierze Aλµ oraz Bµλ b¦d¡ do
0
siebie odwrotne:
X
hλ (x)mλ (y) =
λ
XX
λ
X X


Aλµ Bλν sµ (x)sν (y) =

µ,ν
µ,ν
Aλµ Bλν  sµ (x)sν (y) =
X
[µ = ν]sµ (x)sν (y).
µ,ν
λ
P
Sk¡d z liniowej niezale»no±ci sµ (x)sν (y) (baza iloczynu tensorowego!) mamy λ Aλµ Bλν = [ν = µ].
Zatem s¡ to macierze przeksztaªce« sprz¦»onych (GAL!), czyli hλ oraz mλ to bazy dualne, wobec czego
< hλ , mµ >= [λ = µ].
Tak samo robimy dla pλ (x), pλ (y) i wychodzi nam, »e
1
[λ = µ].
z(λ)
< pλ , pµ >=
Zdeniumy liczby χλµ oraz ξλµ jako wspóªczynniki w rozwini¦ciach pµ w bazach odpowiednio s oraz m
przy sλ oraz mλ , tj.
X
X
χλµ sλ =
pµ =
λ
ξλµ mλ .
λ
Wobec powy»szych rozwa»a« na temat baz dualnych i ortogonalnych, otrzymujemy równowa»ne wzory
sλ =
X 1
χλµ pµ
z(µ)
µ
;
hλ =
X 1
ξλµ pµ .
z(λ)
µ
Wspóªczynniki χλµ oka»¡ si¦ wa»ne w dalszych rozwa»aniach dot. charakterów reprezentacji, dlatego
pokusimy si¦ o ªadniejsze ich wyra»enie:
pµ (x1 , . . . , xk ) =
X
χλµ sλ (x1 , . . . , xk ) =
λ
X
χλµ
Q
aλ+δ (x1 , . . . , xk )
,
aδ (x1 , . . . , xk )
co po pomno»eniu obu stron przez aδ (x1 , . . . , xk ) = (xi − xj ) i wymno»eniu wyznacznika po prawej da
nam
Y
X X
χλµ
(xi − xj )pµ =
i<j
Po porównaniu wspóªczynników przy
χλµ =
σ
λ
xλ+δ
(−1)σ xσ(λ+δ) .
otrzymujemy nalnie
wspolczynnik przy xλ1 +k−1xλ2 +k−2 . . . xkλ +k−k w
1
2
k
Y
i<j
gdzie k jest nie mniejsze ni» liczba skªadników λ oraz µ.
9
(xi − xj )
Y
i
(xµ1 i + . . . + xµk i ),
3
Reprezentacje grup symetrycznych i wzór Frobeniusa
Reprezentacje grup symetrycznych. Przypomnienie. Przez Sn rozumiemy w dalszym ci¡g grup¦
permutacji n elementów. Na poprzednim referacie poznali±my nieprzywiedlne reprezentacje Sλ tej grupy,
indeksowane podziaªami λ liczby n. Wprowadzimy teraz nieco wi¦ksze (czyli ju» przywiedlne), ale prostsze
w opisie reprezentacje Mλ .
Przez ponumerowanie diagramu Younga podziaªu λ liczby n rozumiemy wpisanie w jego pola liczb
1, 2, . . . , n. Grupa Sn dziaªa na zbiorze ponumerowa« danego diagramu, zamieniaj¡c wpisane liczby na ich
obraz przy wybranej permutacji. Ustalmy λ. W zbiorze ponumerowa« diagramu Younga λ wprowadzamy
relacj¦ równowa»no±ci uto»samiaj¡c¡ ponumerowania maj¡ce takie same liczby w ka»dym wierszu, z
dokªadno±ci¡ do kolejno±ci w tym wierszu. Klas¦ abstrakcji tej relacji nazywamy tabloidem. Tabloid
mo»emy zilustrowa¢, rysuj¡c ponumerowany diagram (dla wybranego ponumerowania z klasy abstrakcji)
oraz ±cieraj¡c pionowe linie, co zaznacza, »e kolejno±¢ w wierszu nie jest istotna. Dziaªanie Sn jest
zgodne z nasz¡ relacj¡, tote» dziaªanie Sn na ponumerowaniach indukuje dziaªanie na zbiorze tabloidów.
Ono z kolei indukuje reprezentacj¦ grupy permutacji: za baz¦ przestrzeni tej reprezentacji przyjmiemy
przestrze« liniow¡, której baz¡ s¡ tabloidy i dziaªanie grupy na zbiorze tabloidów zada nam reprezentacj¦
na wspomnianej bazie. Opisan¡ reprezentacj¦ nazwiemy Mλ .
Równowa»nie, je±li λ = (λ1 , . . . , λk ), to Mλ jest reprezentacj¡ indukowan¡ z trywialnej reprezentacji
podgrupy Sλ1 × . . . × Sλk ⊂ Sn .
Potrzebne nam b¦dzie kilka faktów w stylu bardzo podobnym do poprzedniego referatu, na którym
zdeniowano Sλ . Zostaª wtedy udowodniony nast¦puj¡cy
Lemat 1. T , T 0 { ponumerowania diagramów Younga podziaªów λ oraz λ 0 , λ nie dominuje λ 0 . Wówczas
zachodzi dokªadnie jeden z warunków:
(i) istniej¡ dwie liczby znajduj¡ce si¦ w jednym wierszu T oraz w jednej kolumnie T 0 .
(ii) λ = λ 0 oraz istniej¡ permutacje p 0 { zachowuj¡ca wiersze T , q { zachowuj¡ca kolumny T 0 takie, »e
p 0 T 0 = qT .
Przypominamy, »e w CSn mamy dla ka»dego ponumerowania pewnego diagramu o n polach elementy
aT =
X
p∈R(T )
p,
bT =
X
(−1)q q,
cT = bT aT
q∈C(T )
gdzie R(T ) oraz C(T ) to podgrupy zachowuj¡ce odpowiednio wiersze i kolumny T . Oznaczmy chwilowo
przez [T ] tabloid odpowiadaj¡cy ponumerowaniu T . Wówczas z Lematu 1 jako wniosek otrzymujemy
nast¦puj¡cy
Lemat 2. Zaªo»enia jak w Lemacie 1, wówczas je±li zachodzi (i), to bT [T 0 ] = 0, a je±li (2), wówczas
P
bT [T 0 ] = ± q∈C(T ) (−1)q [qT ] = ±bT [T ].
Dowód. (i) Niech t-transpozycja wspomnianych dwu liczb, wtedy bT t = −bT , bo t ∈ C(T ) oraz
t[T 0 ] = [T 0 ], gdy» t ∈ R(T 0 ), zatem
bT [T 0 ] = bT (t[T 0 ]) = (bT t)[T 0 ] = −bT [T 0 ].
(ii) Niech p 0 , q jak w poprzednim lemacie, wówczas
bT [T 0 ] = bT [p 0 T 0 ] = bT [qT ] = (bT q)[T ] = (sgn(q)bT )[T ] = sgn(q)
X
(−1)σ [qT ].
σ∈C(T )
Musimy teraz troch¦ si¦ napracowa¢, aby odkry¢ w reprezentacji Mλ reprezentacje Sλ nieprzywiedlne z
poprzedniego referatu. Byªy to lewostronne ideaªy C[Sn ] · cT dla dowolnego ponumerowania T ksztaªtu
λ. Zdeniujmy wpierw przeksztaªcenie ψT : Mλ → C[Sn ] · aT wzorem ψT ([σT ]) = σaT . Zauwa»my, »e
[σT ] = [τT ] wtedy i tylko wtedy, gdy στ−1 ∈ R(T ) i tak samo dla σaT , wobec czego przeksztaªcenie
10
to jest izomorzmem reprezentacji. Sprawd¹my zatem, co przechodzi na Sλ , czyli jaki jest przeciwobraz
P
elementów σcT = σbT aT = ( q∈C(T ) σ(−1)q )aT . Widzimy wprost, »e musi to by¢ element vσ−1 Tσ ∈ Mλ ,
gdzie
X
(−1)q )[qT ] = bT [T ].
vT :=
q∈C(T )
Wobec tego, elementy vT rozpinaj¡ w Mλ podprzestrze« Sn -niezmiennicz¡, stanowi¡c¡ reprezentacj¦
izomorczn¡ z Sλ .
Wobec powy»szego, mamy kolejny lemat, dotycz¡cy obecno±ci Sλ w Mλ :
Lemat 3. φ : Mλ → Mλ 0 { morzm reprezentacji, Sλ nie jest zawarte w j¡drze φ. Wówczas λ 0 λ.
Dowód. We¹my dowolne ponumerowanie T o ksztaªcie λ. Mamy 0 6= φ(vT ) = bT φ([T ], wobec czego
bT Mλ 0 6= 0, zatem dla pewnego tabloidu [T 0 ] ksztaªtu λ 0 mamy bT [T 0 ] 6= 0. Je»eli λ = λ 0 to λ 0 λ
(porz¡dek jest ÿsªaby") i mamy tez¦, je»eli za± s¡ ró»ne, to wówczas zachodzi (i) z Lematu 2, co przeczy
temu, »e bT [T 0 ] 6= 0.
Charakter Mλ . Obliczymy teraz charakter reprezentacji Mλ . Jak to zwykle bywa z reprezentacjami
indukowanymi z dziaªa« grupy na zbiorze, warto±¢ charakteru na elemencie jest równa liczbie punktów
staªych dziaªania tego elementu na zbiorze. Mamy zatem
# (T − tabloid ksztaltu λ : σT = T ) =
tabloid ksztaltu λ : kazdy cykl σ zawarty jest w pewnym wierszu T ) .
χMλ (σ) =
=
# (T −
Niech σ ma dªugo±ci µ = (µ1 , . . . , µk ). Niech mq oznacza liczb¦ cykli dªugo±ci q w σ. Chc¡c wybra¢
tabloid T ksztaªtu λ taki, »e ka»dy cykl σ zawarty jest w pewnym wierszu T , post¦pujemy tak: niech
r(p, q) b¦dzie liczb¡ cykli σ dªugo±ci q w p-tym wierszu T . Wtedy oczywi±cie musi by¢
X
ir(p, i) = λp
oraz
X
i
r(i, q) = mq .
i
Je»eli ustalimy liczby r(p, q), wówczas liczba szukanych tabloidów speªniaj¡cych te dodatkowe warunki
b¦dzie równa
m2 !
mn !
m1 !
·
· ... ·
,
r(1, 1)! . . . r(n, 1)! r(1, 2)! . . . r(n, 2)!
r(1, n)! . . . r(n, n)!
a to dlatego, »e dla ka»dego q musimy wybra¢, które cykle dªugo±ci q pójd¡ do których wierszy tabloidu,
czyli musimy rozdysponowa¢ mq obiektów do n przegródek tak, aby w i-tej przegródce znalazªo si¦
dokªadnie r(i, q) przedmiotów, a to mo»emy zrobi¢ na dokªadnie mq !/r(1, q)!r(2, q)! . . . r(n, q)! sposobów.
Z drugiej strony, mamy z uogólnionego wzoru dwumianowego:
pn (x1 , . . . , xn )mq =
X
P
(rpq ): i iriq =mq
mq !
qr
qr
qr
x1 1q x2 2q . . . xn nq ,
r1q ! . . . rnq !
mn
λ
1
sk¡d, skoro pµ = pm
1 . . . pn , wnioskujemy, »e szukana liczba jest równa wspóªczynnikowi przy x w pµ .
Wspóªczynnik ten jest oczywi±cie wspóªczynnikiem przy mλ w rozªo»eniu pµ w bazie m, czyli jest to
liczba ξm uλ zdeniowana pod koniec poprzedniego rozdziaªu.
Pierścień reprezentacji grup symetrycznych. Niech Rn oznacza grup¦ abelow¡, której generatorami
s¡ reprezentacje Sn , dodawanie zadane jest przez sum¦ prost¡ reprezentacji (tzn. bierzemy zbiór sko«czonych
kombinacji formalnych takich reprezentacji o wspóªczynnikach caªkowitych i umawiamy si¦, »e zwykªa
L
suma i suma prosta reprezentacji to to samo: V + W = V ⊕ W ). Niech R = n Rn b¦dzie pier±cieniem z
gradacj¡ z mno»eniem zadanym nast¦puj¡co:
V ∈ Rn , W ∈ Rm −→ V · W :=
11
IndSS
n+m
n ×Sm
V ⊗ W ∈ Rn+m ,
gdzie
Ind
oznacza reprezentacj¦ indukowan¡, a V ⊗ W oznacza tutaj przestrze« V ⊗ W z dziaªaniem
Sn × Sm zadanym przez (σ, τ)(v ⊗ w) = (σv) ⊗ (τw), czyli reprezentacj¦ Sn × Sm .
Jest to pier±cie« wszystkich reprezentacji grup symetrycznych. Wprowadzimy w nim iloczyn skalarny
»¡daj¡c, aby reprezentacje nieprzywiedlne tworzyªy baz¦ ortonormaln¡ (tak, jak tworz¡ j¡ ich charaktery).
Czyli
< Sλ , Sµ >= [λ = µ],
a z teorii charakterów wynika, »e je±li V, W ∈ Rn ⊂ R, wówczas
< V, W >=
X 1
1 X
1 X
χV (σ)χW (σ−1 ) =
|C(µ)|χV (Cµ )χW (Cµ ) =
χV (Cµ )χW (Cµ )
n! σ
n! µ
|C(µ)|
µ
Pierwsza równo±¢ mówi, »e iloczyn skalarny reprezentacji jest równy iloczynowi skalarnemu charakterów,
druga zamienia sumowanie po elementach grupy na sumowanie po klasach sprz¦»ono±ci (charaktery s¡
staªe na klasach sprz¦»ono±ci), gdzie klasa sprz¦»ono±ci permutacji o rozkªadzie na cykle µ oznaczana
jest C(µ). Pami¦taj¡c z poprzedniego rozdziaªu, »e |C(µ)| = n!/z(µ) = n!/µ1 !1µ1 . . . µn !nµn , zapisujemy
to w postaci
X 1
χV (Cµ )χW (Cµ ).
z(µ)
µ
P 00
00 .
Wiemy, »e Sλ (|λ" = n) stanowi¡ baz¦ Rn nad Z, zatem Mλ = µ Kλµ
Sµ , dla pewnych caªkowitych Kλµ
00 = 1. Wobec tego (znów argument z
Z Lematu 3 wynika, »e Kλ00 µ = 0, gdy λ nie dominuje µ oraz, »e Kλλ
macierz¡ górnotrójk¡tn¡ z jedynkami na przek¡tnej!) Mλ tak»e stanowi¡ baz¦ Rn nad Z.
< V, W >=
Pierścień reprezentacji a pierścień funkcji symetrycznych. Powy»sze rozwa»ania skªaniaj¡ nas
do zdeniowania homomorzmu
φ : Λ → R,
φ(hλ ) = Mλ .
Jest to w istocie homomorzm, gdy»
hλ = hλ1 hλ2 . . . hλk
oraz
Mλ = Mλ1 Mλ2 . . . Mλk ,
a nawet izomorzm, bowiem Mλ jest baz¡ R.
Zastanówmy si¦ teraz nad izomorzmem odwrotnym. Musiaªby on speªnia¢ ψ(Mλ ) = hλ , czyli na mocy
poprzednich rozwa»a« dotycz¡cych rozwini¦cia pµ w bazach h oraz m, a tak»e charakteru Mλ :
ψ(Mλ ) = hλ =
X 1
X 1
ξλµ pµ =
χMλ (C(µ))pµ .
z(µ)
z(µ)
µ
µ
Zatem dla dowolnej reprezentacji V mamy
ψ(V) =
X 1
χV (C(µ))pµ .
z(µ)
µ
Zauwa»my teraz, »e na mocy ortogonalno±ci wielomianów pλ :
< ψ(V), ψ(W) >=
X 1
X 1
z(µ)χV (C(λ))χW (Cµ ) < pλ , pµ >=
χV (C(µ))χW (Cµ ) =< V, W >,
z(λ)
z(µ)
µ
µ,λ
zatem φ oraz ψ s¡ izometriami, daj¡c peªen izomorzm Λ oraz R!
P 00
P
Charakter Sλ — wzór Frobeniusa. Wiemy, »e Mλ = Sλ +
Kλµ Sµ oraz »e hλ = sλ +
Kλµ sµ ,
P
obie sumy po µ ±ci±le zdominowanych przez λ. Skoro φ(hλ ) = Mλ , mamy φ(sλ ) = Sλ + mλµ sµ dla
pewnych caªkowitych mλµ , ale skoro φ jest izometri¡, to
X
1 =< sλ , sλ >=< φ(sλ ), φ(sλ ) >= 1 +
(mµλ )2 ,
12
zatem
φ(sλ ) = Sλ .
Widzimy teraz, »e z jednej strony
ψ(Sλ ) =
X 1
χS (C(µ))pµ ,
z(µ) λ
µ
z drugiej za±, na mocy ostatnich rachunków z poprzedniego rozdziaªu
ψ(Sλ ) = sλ =
X 1
χλµ pµ ,
z(µ)
µ
wobec czego χSλ (C(µ)) = χλµ , udowodnili±my wi¦c
Wzór Frobeniusa. Warto±¢ charakteru reprezentacji Sλ na klasie sprz¦»ono±ci C(µ) jest równa
wspóªczynnikowi przy xλ11 +n−1 xλ22 +n−2 . . . xλnn +n−n w wielomianie
Y
i<j
4
(xi − xj )
Y
(xµ1 i + . . . + xµk i ).
i
Bibliografia
Korzystaªem z nast¦puj¡cych ksi¡»ek, w kolejno±ci od najbardziej przydatnej:
(1)
(2)
(3)
(4)
Fulton, W. Young Tableaux With Applications, rozdziaªy 1-7,
Fulton, W., Harris, J. Representation Theory. A First Course, rozdziaª 4 oraz dodatek A,
Macdonald, I. G. Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials, rozdziaª 1,
Knuth, D. The Art of Computer Programming, vol. 3, rozdziaª 5.1.4.
13