Matematyka finansowa -zestaw 5

Matematyka finansowa -zestaw 5 - teoria
Spłata długów długoterminowych - teoria
Dług będziemy traktować jako inwestycję kredytodawcy, której zwrotem są raty spłaty.
Dlatego, głównym miernikiem jej skuteczności będzie jak zwykle wewnętrzna stopa zwrotu
(𝑟) z inwestycji. Pozwoli nam to porównywać udzielanie różnych kredytów między sobą,
a także z innymi inwestycjami.
Generalnie zakładamy model kapitalizacji złożonej. Jak w przypadku innych strumieni
płatności, należy zacząć od dopasowania okresów stóp i kapitalizacji do okresów płatności.
Nie będę tego tutaj omawiać: w dalszej części zakładamy zgodność wszystkich okresów.
Podobnie zakładamy, że płatności są dokonywane z dołu (chyba, że jest napisane inaczej).
Jeśli płatności dokonywane są z góry, to możemy po prostu założyć, że liczba rat jest o
jeden mniejsza, a dług początkowy pomniejszyć o pierwszą ratę.
Pomijamy wszelkie czysto prawne komplikacje: fakt, że według wielu umów początkowe
raty liczy się jako spłatę odsetek, a dopiero potem następuje spłata kapitału w żaden
sposób nie wpływa na obliczanie wysokości rat. Podobnie łatwo do modelu spłaty długu
dodać koszty uboczne np. prowizję, opłaty manipulacyjne, ubezpieczenie spłaty itp.
Niech 𝑆 będzie początkową wartością długu (w praktyce: kwotą pożyczki), a 𝑁 – liczbą
rat. Przez 𝐴𝑛 oznaczam wysokość 𝑛-tej raty (łącznie), 𝑇𝑛 jest jej częścią kapitałową (czyli
wartością kapitału należną za 𝑛-ty okres), a 𝑍𝑛 - 𝑛-tą częścią odsetkową (czyli wartością
odsetek należną za 𝑛-ty okres). 𝑇𝑛 i 𝑍𝑛 nie są definiowane jako kapitał/odsetki spłacane
w danym okresie, lecz jako kapitał/odsetki należne - ze względu na wspomnianą częstą
praktykę nazywania pierwszych rat odsetkami, a dalszych - spłatą kapitału. 𝑍 - suma
wartości nominalnych rat odsetek (bez aktualizacji). Przez 𝑆𝑛 oznaczam wartość długu
po spłaceniu 𝑛 rat. Oczywiście równanie końca spłaty długu to 𝑆𝑛 = 0.
Dzięki dekompozycji rat na część kapitałową i odsetkową możemy prześledzić , jak kolejne
raty umarzają bieżące odsetki i dług kapitałowy. Do opisu stosuje się zazwyczaj tzw.
tabelę (schemat) spłaty długu. Kolejne wiersze tej tabeli oznaczają kolejne okresy
spłaty długu, a w kolejnych kolumnach zapisujemy:
∙ 𝑛 - numer okresu bazowego
∙ 𝑆𝑛−1 - dług bieżący na początku okresu n,
∙ 𝐴𝑛 - rata płatna w tym okresie
∙ 𝑍𝑛 - część odsetkowa tej raty
∙ 𝑇𝑛 - część kapitałowa tej raty
∙ 𝑆𝑛 - dług bieżący na końcu okresu n.
Dodatkowo często w ostatnim wierszu tabeli dopisuje się sumy kontrolne: suma części
kapitałowych powinna być równa początkowej wartości długu.
Przy danej stopie zwrotu, część odsetkową łatwo obliczyć na podstawie bieżącej części
długu. By obliczyć pozostałe elementy tabeli, potrzebne są założenia o ustalonej metodzie
spłaty długu. Na zajęciach będziemy rozważać przede wszystkim dwa podstawowe modele: model równych rat łącznych (annuitetowych), w którym zakładamy 𝐴1 = 𝐴2 = . . . =
𝐴𝑛 , i model równych rat kapitałowych (𝑇1 = 𝑇2 = . . . 𝑇𝑛 ).
W obydwu wypadkach najlepiej obliczyć tylko tę część raty, która jest równa (czyli 𝐴
lub 𝑇 ), a potem reszta sama się obliczy z tabeli spłaty długów, ale na wszelki wypadek
poniżej podaję wzory na inne elementy tabeli.
Zajmiemy się też przypadkami, w których plan spłaty długu jest zmieniony w trakcie
spłat. Tutaj zwrócę uwagę na często popełniany błąd: jeśli przez jakiś czas dłużnik nie
spłacał rat, to odsetki mimo to cały czas rosną!
Inne modele, którymi warto się zainteresować (ale nie będą wymagane): spłata odsetek w
jednej racie i równe raty kapitałowe, bieżąca spłata odsetek i zwrot kapitału w ostatniej
racie, spłata przez fundusz umorzeniowy.
1
2
Kilka wzorów i oznaczeń do zapamiętania
We wzorach zakładamy zgodność okresów spłat, kapitalizacji i stopy.
S - wartość początkowa długu, N -ilość rat, 𝐴𝑛 - n-ta rata łączna (płatność), 𝑇𝑛 - n-ta
rata długu (kapitałowa), 𝑍𝑛 - n-ta rata odsetek, 𝑆𝑛 - wartość długu po spłaceniu 𝑛 rat,
𝑍 - suma wartości nominalnych rat odsetek.
Te wzory są ważne:𝐴𝑛 = 𝑇𝑛 +𝑍𝑛 , 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛−1 −𝑆𝑛 , 𝑍 = 𝑍1 +. . .+𝑍𝑛 = (𝐴1 +. . .+𝐴𝑛 )−𝑆.
𝑞 = 1 + 𝑟. 𝑍𝑛 = 𝑆𝑛−1 𝑟.
∑𝑁
−𝑗
Dla ogólnej, dowolnej wysokości rat (Ten wzór jest ważny:) 𝑆 =
𝑗=1 𝐴𝑗 𝑞 . Po
aktualizacji na dowolny moment (po 𝑛-tej racie) mamy dekompozycję długu na część
∑𝑛
∑
∑𝑛
𝑛−𝑗
zapłaconą i niezapłaconą 𝑆𝑞 𝑛 =
𝐴𝑗 𝑞 𝑛−𝑗 + 𝑁
𝐴𝑗 𝑞 𝑛−𝑗 =
+ 𝑆𝑛 .
𝑗=1
𝑗=𝑛+1
𝑗=1 𝐴𝑗 𝑞
∑𝑛
𝑛
𝑛−𝑗
Zatem 𝑆𝑛 = 𝑆𝑞 − 𝑗=1 𝐴𝑗 𝑞 . Mamy też dekompozycję raty na część kapitałową i
odsetkową 𝐴𝑛 = (𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛 ) + 𝑆𝑛−1 𝑟, 𝑍𝑛 = 𝑆𝑛−1 𝑟, 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛 .
Dług zostaje spłacony, gdy (Ten wzór jest ważny:) 𝑆𝑁 = 0. Wtedy (Ten wzór jest
∑𝑁
ważny:)
𝑗=1 𝑇𝑗 = 𝑆 (wartości 𝑇𝑗 odnoszą się do startowego punktu czasu, więc ten
wzór ma sens!).
Jeśli dodatkowo raty łączne są tej samej wysokości: 𝐴 = 𝐴𝑖 . (Ten wzór jest ważny:)
𝐴 = 𝑆𝑞 𝑁 𝑞𝑞−1
𝑁 −1 .
𝑛
𝑁
𝑛
𝑁
𝑛−1
𝑛
𝑛−1
𝑞 −𝑞
−1
= 𝑆 𝑞𝑞𝑁−𝑞
, 𝑍𝑛 = 𝑆 𝑞 𝑞−𝑞
Wzory dodatkowe:𝑆𝑛 = 𝑆𝑞 𝑛 − 𝐴 𝑞𝑞−1
𝑁 −1 𝑟, 𝑇𝑛 = 𝑆 𝑞 𝑁 −1 , 𝑍 =
−1
𝑆(𝑁 𝑞 𝑁 𝑞𝑞−1
𝑁 −1 − 1).
A jeśli raty kapitałowe są tej samej wysokości: 𝑇 = 𝑇𝑖 , (Ten wzór jest ważny:) 𝑇 = 𝑁𝑆 .
Wzory dodatkowe: 𝑆𝑛 = 𝑆 − 𝑛𝑇 , 𝑍𝑛 = 𝑁𝑆 (𝑁 − 𝑛 + 1)𝑟, 𝐴𝑛 = 𝑁𝑆 [1 + (𝑁 − 𝑛 + 1)𝑟], 𝑍 =
𝑆𝑟 𝑁2+1 .
Jeśli spłaty są niezgodne, przy pomocy stóp względnych i efektywnych zmieniamy je w
spłaty zgodne.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski