5.1 - Ratalna spłata długów

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 5
IiE, I rok SSL
Ratalna spłata długów.
Temat:
1. Podstawowe oznaczenia
i – stopa okresu bazowego
K 0 – wartość początkowa długu
K j – wartość bieżąca długu (saldo długu na moment j)
R j – wartość raty z j-tego okresu. Dług spłacany jest ratami w równo oddalonych momentach j = 1, 2,..., n .
Spłacane raty R j obejmują zwrot pożyczonego kapitału wraz z naliczonymi odsetkami (nie obejmują
innych kosztów obsługi długu, takich jak prowizje czy opłaty manipulacyjne, których nie będziemy
rozpatrywać).
I j – część odsetkowa raty R j
U j – część kapitałowa raty R j
2. Zasada równoważności długu i rat
Dług o wartości K 0 w momencie 0 jest równoważny ciągowi rat o wartości R j płatnych w momentach
j = 1, 2,..., n , jeśli kapitały wzajemnie sobie przekazywane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne.
=
K0
n
∑ R j (1 + i )
K 0 (1 + =
i)
−j
n
j =1
n
∑ R (1 + i )
j =1
n− j
j
3. Schemat spłaty długu
Zależność retrospektywna – zależność długu bieżącego od długu początkowego i rat już zapłaconych:
j
K j= K 0 (1 + i ) − ∑ Rm (1 + i )
j
j −m
m =1
Zależność prospektywna – zależność długu bieżącego od rat jeszcze nie zapłaconych:
=
Kj
n
∑
m= j +1
Rm (1 + i )
j −m
Zależność między wysokością długu z kolejnych okresów – w celu obliczenia długu bieżącego na koniec
okresu j należy dług bieżący z początku tego okresu zwiększyć o jednookresowe oprocentowanie, a następnie
zmniejszyć o ratę płatną w momencie j:
=
K j K j −1 (1 + i ) − R j
Co możemy zapisać jako:
K j −1 − K j = R j − I j
gdzie
I j = K j −1i
Wniosek
Zmiana wartości długu bieżącego w okresie j zależy od relacji między wartością raty R j a odsetek I j :
•
Jeśli R j > I j , to K j −1 − K j > 0 , tzn. dług się zmniejsza
•
Jeśli R j = I j , to K j −1 − K j =
0 , tzn. dług nie ulega zmianie
•
Jeśli R j < I j , to K j −1 − K j < 0 , tzn. dług się zwiększa (następuje ujemne umorzenie długu)
Zauważmy, że: R=
I j + U j . Widać wtedy, że:
j
U j = R j − I j = K j −1 − K j , oraz
1
n
∑U
j =1
j
= K0 .
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 5
IiE, I rok SSL
W celu dokonania i jednoczesnego sprawdzenia obliczeń będziemy tworzyć schemat spłaty długu w postaci:
j
K j −1
Rj
Ij
Uj
Kj
1
K0
R1
I1 = K 0i
U=
R1 − I1
1
K=
K 0 − U1
1
2
K1
R2
I 2 = K1i
U=
R2 − I2
2
K=
K1 − U 2
2






n
K n −1
Rn
I n = K n −1i
U=
Rn − In
n
=
K n K n −1 − U n
∑
n
–
–
∑U
–
j =1
j
= K0
–
4. Plan spłaty długu przy stałych kwotach płatności
Rozważamy sytuację, gdy: R j = R dla j = 1, 2,..., n . Wtedy: K 0= R
Ratę R =
n
∑ (1 + j )
−j
j =1
= Ran i .
K0
nazywamy ratą annuitetową (lub ratą stałą).
an i
Przy spłacaniu długu ratami o stałych kwotach płatności ciąg części kapitałowych U j , j = 1, 2,..., n jest
ciągiem geometrycznym o ilorazie 1 + i oraz pierwszym wyrazie równym U1= R − K 0i . Zatem
Uj =
( R − K 0i ) ⋅ (1 + i )
j −1
5. Plan spłaty długu przy stałych ratach kapitałowych
Rozważamy sytuację, gdy: U =
U=
j
K0
dla j = 1, 2,..., n , oraz R=
I j +U.
j
n
Przy spłacaniu długu ratami o stałej części kapitałowej ciąg wartości długu bieżącego K j , j = 1, 2,..., n jest
ciągiem arytmetycznym o wyrazie pierwszym równym K 0 oraz różnicy −U . Zatem
K=
K 0 − jU
j
Oznacza to, że: I j − I j +1 = K j −1i − K j i = Ui.
Widać zatem, że przy spłacaniu długu ratami o stałej części kapitałowej ciąg odsetek I j , j = 1, 2,..., n jest
ciągiem arytmetycznym o wyrazie pierwszym K 0i oraz różnicy −Ui. Zatem
Ij =
( n − j + 1)Ui
Ponieważ wiadomo, że R=
I j + U j , to przy spłacaniu długu ratami o stałej części kapitałowej ciąg rat R j ,
j
j = 1, 2,..., n jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie K 0i + U oraz różnicy −Ui. Zatem
R j = 1 + ( n − j + 1) i  U
2