Sześcian jako szczególny przypadek graniastosłupa.

mgr Tomasz Gr bski
Konspekt do lekcji matematyki w klasie 3 LO
Temat: Sze cian jako szczególny przypadek graniastosłupa.
Czas realizacji: 45 min
Cel ogólny: ucze opanuje i utrwali sobie wiadomo ci dotycz ce sze cianu.
Cele edukacyjne: ucze powinien:
- umiej tnie stosowa wiedz teoretyczn ;
- kształtowa wyobra ni przestrzenn ;
- wykorzysta wcze niej poznane twierdzenia z geometrii płaskiej w zadaniach
ze stereometrii;
- odszukiwa potrzebne przekroje sze cianu;
- umie sporz dzi rysunek bryły i wprowadzi potrzebne oznaczenia;
- umie wskaza znane bryły w architekturze i sztuce artystycznej;
- wiedzie , e mo na wykorzysta komputer do ilustrowanie niektórych zada ;
- wiedzie , e wiadomo ci ze stereometrii mo na wykorzysta w yciu co dziennym;
- wiedzie , e w przyrodzie wyst puj ciekawe obiekty, tzw. Fraktale.
Metody : elementy wykładu i pogadanki, wiczenia, demonstracja.
Formy pracy : grupowa, indywidualna, zespołowa.
rodki dydaktyczne : komputer + oprogramowanie /programy: CABRI, FRACTINT/,
wydruki z komputera, dodatkowe tablice z rysunkami pomocniczymi,
Literatura : 1. A.Cewe, H.Nahorska – „Matura – Zbiór zada ”;
2. K.Cegiełka, J.Przyjemski, K. Szyma ski – „Matematyka kl. III”;
3. J.Janikowski, W.Wendorff, L.Włodarski – „Kurs przygotowawczy z
matematyki na wy sze uczelnie – geometria”.
Przebieg lekcji
Czynno ci nauczyciela
Czynno ci
ucznia
1.Sprawy organizacyjno-porz dkowe: sprawdzenie listy
obecno ci, rozdanie pomocy naukowych (zalecane przed
lekcj ).
1
Czas
trwania
1-2 min
2.Rekapitulacja wtórna: przypomnienie potrzebnych poj i własno ci brył, które ucze ju zna oraz niektórych
twierdze :
- rodzaje brył (przykładowe pytania: wymie poznane
bryły przestrzenne, opisz graniastosłupy i jego rodzaje);
- prawidłowy tok rozumowania przy rozwi zywaniu zada ze stereometrii (na co trzeba zwraca uwag przy
rozwi zywaniu zada , zwrócenie uwagi na główne etapy zadania);
- pokazanie modeli brył ze wskazaniem na istnienie brył
w najbli szym otoczeniu;
- pokaz komputerowy ze szczególnym zwróceniem uwagi na sze cian.
Uczniowie indywidualnie lub grupowo
odpowiadaj na pytania nauczyciela; w
razie
konieczno ci 8 min
mog
podej
do
komputera /w przypadku jednego egzemplarza/.
3.Ogniwo wi ce: np.: jak wida szczególn uwag
zwrócili my na sze cian i to on b dzie przedmiotem na0.5 min
szych zainteresowa . Na jego przykładzie utrwalimy i powiczymy nasz wyobra ni i wiedz
4.Temat lekcji: zapisanie tematu na tablicy i zapoznanie Zapisuj w zeszytach
uczniów z celami lekcji /patrz: cele lekcji/
1 min
5. Realizacja:
Zad.1.
Sze cian o kraw dzi podstawy długo ci 1 przeci to płaszczyzn przechodz c przez przek tn podstawy i nachylon do płaszczyzny podstawy pod k tem α. Oblicz pole
otrzymanego przekroju.
Czytaj tre zad. na
przygotowanych wy- 1-2 min
drukach i zastanawiaj si nad rozwi zaniem,
szczególnie
jakie mog by prze- Pokaz komputerowy ró nych przekrojów sze cianu dla kroje o których mowa
w zad. Podaj propolepszego wyobra enia rozwa anego problemu.
zycje odp.
- Posłu enie si przygotowanymi planszami
- Rozwi zanie zadania /szkic/:
a) przypadek dla α=0o – przekrojem b dzie kwadrat o
Ch tni
uczniowie
polu 1
o
zadanie
b) przypadek dla α=90 – przekrojem b dzie prostok t o rozwi zuj
na
tablicy
polu 2
c) przypadek 3 /patrz zał czony rys/
-ustalenie warto ci /tg/ k ta αο
-pole jest trójk tem równoramiennym
α ∈ (0 ,α ),
P=
Z
gdzie
tg α = 2
1
| DB | ⋅ | LR |
2
| RC |
2
=
cos α 2 cos α
1
P=
2 cos α
∆RCL : | RL |=
ostatecznie
Ch tni
uczniowie 5 min
rozwi zuj
zadanie
2
d) przypadek 4 /patrz rys/
pole jest trapezem równoramiennym
na tablicy
| DB | + | ML |
| OR |
2
Dane :
P=
| DB |= 2 ,
| RC |=
zauwa au,
warto
∆RPO : | OR |=
Z
oraz
2
, | OP |= 1
2
e | ML |=| M ' L' |
1
sin α
| RP |= ctg α , bo
| OP |
= tg α
| RP |
| PC | | M ' L' |
=
| RC | | DB |
∆DBC ~`∆M ' CL'
| PC |=| RC | − | RP |=
Ch tni
uczniowie
rozwi zuj
zadanie
10 min
na tablicy
2
− ctg α
2
| M ' L' |= 2 − 2 ctg α
ostatecznie
P=
2 − ctg α
sin α
Zad.2.
Sze cian o kraw dzi a wpisano w ostrosłup prawidłowy
czworok tny tak, e cztery jego wierzchołki nale do
kraw dzi bocznych ostrosłupa, za cztery pozostałe do jego
płaszczyzny podstawy. ciana boczna ostrosłupa nachyloCzytaj tre
zad. i
na jest do płaszczyzny podstawy pod k tem α. Oblicz obj zastanawiaj si nad 1 min
to ostrosłupa.
jego rozwi zaniem
Szkic rozwi zania /patrz zał czony rys./:
V = 13 Pp H
Dane : a, α
Szukane : b, H
∆ROS :
Z
H
b
2
b
2
= tg α
− a2
= ctg α
a
ostatecznie :
H=
b
2 ctg α
b = a (1 + 2 ctg α )
V =
H=
a (1 + 2 ctg α )
2 ctg α
1 3
a (1 − 2 ctg α ) 3 tg α
6
Rozwi zuj na tablicy. Posługuj
si 10-12
przygotowanymi ry- min
sunkami
3
6.Rekapitulacja pierwotna: podsumowanie omawianych
problemów ze zwróceniem uwagi jak du e znaczenie maj
dotychczas poznane wiadomo ci, podkre lenie znaczenia
brył przestrzennych w yciu codziennym, itp.
Jako ciekawostka na tej lekcji; dla porównania brył, które Ogl danie pokazu
stworzył człowiek mo na pokaza , u ywaj c komputera,
wspaniałe zbiory stworzone przez przyrod –tzw. fraktale
/pokaz komputerowy/
2-3 min
7.Praca domowa: przygotowana na wydruku komputerowym
0.5 min
8.Ocena osób odpowiadaj cych
0.5 min
Rysunki do zad.1.
Przypadek 3)
4
Przypadek 4)
Rysunek do zad.2.
Przykładowe fraktale:
5