Stosując analogię wzgórza piaskowego Nádaia określić nośność
Transkrypt
Stosując analogię wzgórza piaskowego Nádaia określić nośność
Balbina Litak TKI rok IV TEORIA PLASTYCZNOŚCI ZADANIE 43 Stosując analogię wzgórza piaskowego Nádaia określić nośność graniczna pręta skręcanego, wykonanego z materiału idealnie plastycznego o kształcie przekroju w postaci ośmiokąta foremnego. a a a a W stanie plastycznym naprężenia muszą spełniać warunek plastyczności τ zx2 + τ zy2 = τ 02 y zy zx x z gdzie τ 0 oznacza granicę plastyczności przy ścinaniu i wynosi: σ0 τ 0TG = według kryterium Tresci-Guesta 2 τ 0HMH = σ0 3 według kryterium Hubera-Misesa- Hencky'ego Wprowadzając funkcję Prandtla Ø: τ zx = − ∂φ ∂φ τ zy = ∂y ∂x do warunku plastyczności otrzymujemy: 2 ∂φ ∂φ + = τ 02 ∂y ∂x 2 lub: gradφ = τ 0 Równanie to posiada analogiczną postać jak równanie wzgórza idealnie sypkiego piasku, zbudowanego na płaskiej figurze o kształcie przekroju poprzecznego pręta: 2 ∂w ∂w − + = tgµ ∂x ∂y 2 lub: grad ( w) = tgµ gdzie µ oznacza kąt zsypu (tarcia wewnętrznego). Z analogii równań oraz zgodności warunków brzegowych wynika: φ =τ0 w tgµ Moment skręcający wynosi natomiast M s = 2∫∫ φdA =2 A τ0 tgµ 2τ 0 ∫∫ wdA = tgµ V A gdzie V oznacza objętość wzgórza piasku o stałym kącie zsypu µ PRĘT O PRZEKROJU WIELOKĄTA FOREMNEGO O N BOKACH H h a α = 0.5 π − 2π n α= π 2 − π n tg (α ) = tg ( h = tg (α ) 0.5a π h = 0.5a ⋅ ctg n H = tgµ h π H = 0.5a ⋅ ctg ⋅ tgµ n π 2 − π π ) = ctg n n Pole powierzchni podstawy ostrosłupa: 1 P = n⋅ ⋅a⋅h 2 1 π n π P = n ⋅ ⋅ a ⋅ 0.5a ⋅ ctg = ⋅ a 2 ⋅ ctg 2 n 4 n Objętość ostrosłupa: V = 1 PH 3 V= 1 n 2 n 3 2π π π ⋅ ⋅ a ⋅ ctg ⋅ 0.5a ⋅ ctg ⋅ tgµ = a ctg ⋅ tgµ 3 4 24 n n n Podstawiając do wzoru na graniczny moment skręcający: Ms = 2τ 0 n 3 2 π ⋅ a ctg ⋅ tgµ tgµ 24 n Ms = n π ⋅ τ 0 ⋅ a 3 ctg 2 12 n Dla n=8 otrzymujemy: Ms = 8 π ⋅ τ 0 ⋅ a 3 ctg 2 12 8 M s = 3.89 ⋅ τ 0 ⋅ a 3