TOPOLOGIA OG ´OLNA WPPT WYK LAD 13 Ciagi uogólnione

TOPOLOGIA
O G Ó L N A
WPPT
WYKLAD 13
Cia̧gi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych
Definicja. Przez rodzinȩ skierowana̧ rozumiemy dowolny zbiór z porza̧dkiem
czȩściowym (K, ≥), taki że
∀κ1 ,κ2 ∈K ∃κ3 ∈K κ3 ≥ κ1 oraz κ3 ≥ κ2
(istnienie wspólnej majoranty).
Uwaga. Latwo zauważyć, że wtedy dowolny skończony zbiór {κ1 , κ2 , . . . , κn } ⊂ K
posiada wspólna̧ majorantȩ.
PRZYKLADY:
1. (N, ≥), (R, ≥), ([0, 1), ≥).
2. (K, ≥) = ({podzbiory skończone jakiegoś ustalonego zbioru}, ⊃)
(wiȩkszy zbiór jest ,,dalszy” w porza̧dku, wspólna̧ majoranta̧ jest suma zbiorów).
3. (K, ≥) = ({otoczenia ustalonego punktu w przestrzeni topologicznej}, ⊂)
(mniejsze otoczenie jest ,,dalsze” w porza̧dku, wspólna̧ majoranta̧ jest przekrój
otoczeń). Podobna̧ rodzinȩ skierowana̧ tworzy baza topologii w punkcie.
4. Jeśli (K1 , ≥) i (K2 , <) sa̧ rodzinami skierowanymi, to (K1 × K2 , ≫) jest też
rodzina̧ skierowana̧, gdzie porza̧dek w produkcie jest zadany zależnościa̧
(κ1 , κ2 ) ≫ (κ′1 , κ′2 ) ⇐⇒ κ1 ≥ κ′1 oraz κ2 < κ′2 .
Definicja. Cia̧giem uogólnionym (netem) w przestrzeni X nazywamy dowolna̧
funkcjȩ f : K → X, gdzie K jest dowolna̧ rodzina̧ skierowana̧. Konwencja zapisu
jest taka, że zamiast f (κ) piszemy xκ , a caly net zapisujemy jako (xκ )κ∈K .
PRZYKLADY:
1. Zwykle cia̧gi (indeksowane n ∈ N).
2. Na przestrzeni X rozważamy funkcje charakterystyczne 1A zbiorów skończonych.
Dostajemy net funkcji z X w [0, 1] indeksowany rodzina̧ zbiorów skończonych A ⊂
X (jak w przykladzie drugim powyżej).
3. Z każdego otoczenia U punktu x0 w przestrzeni topologicznej X wybieramy po
jednym punkcie i oznaczamy go xU . Dostajemy net punktów z X indeksowany
rodzina̧ skierowana̧ otoczeń punktu x0 (z przykladu trzeciego powyżej).
Definicja. Powiemy, że net (xκ )κ∈K zbiega do x ∈ X, jeśli dla każdego otoczenia
U ∋ x istnieje indeks κU , taki że xκ ∈ U dla wszystkich κ ≥ κU .
PRZYKLADY: Net z przykladu 3 powyżej zbiega do x0 . Net funkcji z przykladu 2
powyżej zbiega do funkcji stalej 1 w topologii zbieżności punktowej (to wyjaśnimy
za chwilȩ).
Definicja. Dany jest net (xκ )κ∈K w przestrzeni X. Jego podnetem nazwiemy inny
net (yλ )λ∈Λ (również elementów przestrzeni X), jeśli istnieje funkcja φ : Λ → K
spelniaja̧ca:
(1) ∀κ∈K ∃λκ ∈Λ ∀λ≥λκ φ(λ) ≥ κ,
(2) ∀λ∈Λ yλ = xφ(λ) .
2
PRZYKLAD: Jeśli K′ ⊂ K spelnia ∀κ∈K ∃κ′ ∈K′ κ′ ≥ κ, to K′ jest rodzina̧ skierowana̧
i indeksowany nia̧ net (xκ′ )κ′ ∈K′ jest podnetem netu (xκ )κ∈K (funkcja̧ φ : K′ → K
jest wtedy funkcja identycznościowa). Jednak nie każdy podnet netu powstaje w
ten sposób. Na przyklad dla cia̧gów otrzymamy w ten sposób tylko znane nam
klasyczne podcia̧gi, podczas gdy istnieja̧ podnety zwyklych cia̧gów, które nie sa̧
podcia̧gami. Zobaczymy to na późniejszym przykladzie.
Podamy teraz listȩ klasycznych faktów, których dowody pominiemy.
Fakty:
(1) Każdy podnet netu zbieżnego zbiega do tej samej granicy.
(2) Zbiór w przestrzeni topologicznej jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy, gdy
wraz z każdym netem zawiera wszystkie jego granice.
(3) Domkniȩcie zbioru A jest równe zbiorowi wszystkich granic wszystkich zbieżnych netów punktów z A.
(4) Aksjomat rodzielania T2 jest równoważny temu, że każdy net ma co najwyżej
jedna̧ granicȩ.
PRZYKLAD. Niech X = R i T = {dopelnienia zbiorów skończonych i zbiór pusty}.
Jest to topologia T1 ale nie T2 . Weźmy net (x)x∈R (indeksowany sam soba̧ ze
zwyklym porza̧dkiem w R). Latwo widać, że net ten zbiega do każdego punktu w
R. Tȩ sama̧ wlasność ma de facto dowolny zwykly cia̧g o parami różnych wyrazach.
Zbieżność netowa determinuje topologiȩ w nastȩpuja̧cym sensie:
Twierdzenie. Na przestrzeni X dane sa̧ dwie topologie, T1 , T2 . Wtedy T1 jest
slabsza od T2 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy net w X zbieżny w T2 jest zbieżny
w T1 do przynajmniej tych samych granic. Jeśli dwie topologie maja̧ te same nety
zbieżne i nety te maja̧ te same zbiory granic, to topologie te sa̧ tożsame.
Dowód: Jest oczywiste, że jeśli T1 ⊂ T2 , to każdy net zbieżny w T2 jest zbieżny w
T1 do przynajmniej tych samych granic (bo zbieżność w T2 do jakiejś granicy x to
pewien warunek spelniony dla każdego otoczenia x w topologii T2 – jest on wtedy
automatycznie spelniony dla każdego otoczenia x w topologii T1 ).
Na odwrót. To, że każdy net zbieżny w T2 jest zbieżny w T1 do przynajmniej
tych samych granic, można streścić mówia̧c, że każdy net ma ,,wiȩcej” (de facto
powinniśmy użyć slów ,,nie mniej”) granic w T1 niż w T2 . Jeśli jakiś zbiór jest
domkniȩty w T1 , to spelnia on warunek (2) dla każdego netu i wszystkich jego granic
w T1 , a wiȩc tym bardziej spelnia on warunek (2) dla każdego netu i wszystkich
jego granic w topologii T2 , a zatem jest w niej domkniȩty. Czyli topologia T2 ma
,,wiȩcej” zbiorów domkniȩtych niż T1 . Ponieważ każdy zbiór otwarty, to dopelnienie
zbioru domknier tego, przeto T2 ma też ,,wiȩcej” zbiorów otwartych niż T1 , czyli po
prostu jest jej nadzbiorem. Ostatnie zdanie tezy twierdzenia jest teraz oczywiste.
Twierdzenie. Przestrzeń topologiczna jest (pokryciowo) zwarta wtedy i tylko
wtedy, gdy każdy net ma podnet zbieżny (do przynajmniej jednej granicy).
Dowód: Pokryciowa zwartość latwo tlumaczy siȩ na warunek, że każda rodzina
scentrowana (zbiorów domkniȩtych) ma przekrój niepusty. Zalóżmy to i rozważmy
dowolny net (xκ ) w X. Zbiory Fκ = {xκ′ : κ′ ≥ κ} stanowia̧, co latwo widać,
rodzinȩ scentrowana̧, a wiȩc ma ona przekrój niepusty F . Niech x ∈ F . Dla
każdego otoczenia U ∋ x i każdego indeksu κ ∈ K przekrój U ∩ {xκ′ : κ′ ≥ κ}
jest niepusty. Wybierzmy z niego jeden punkt (jest on postaci xκ′ dla pewnego
κ′ ≥ κ) i przypiszmy go parze (U, κ) jako y(U,κ) = xκ′ , a jednocześnie określmy
φ((U, κ)) = κ′ . Teraz latwo sprawdzić, że (y(U,κ) ) (jako net indeksowany parami
3
z ,,porza̧dkiem produktowym” opisamym w przykladzie 4 na poprzedniej stronie)
jest podnetem netu xκ zbieżnym do x.
Zalóżmy ,,netowa̧ zwartość” i weźmy rodzinȩ scentrowana̧ C, czyli taka̧, że każdy
jej poduklad skończony C ⊂ C ma przekrój niepusty. Wybierzmy z każdego takiego
przekroju po jednym punkcie. Uzyskamy net (xC ) indeksowany skończonymi podukladami rodziny T
C. Net ten ma podnet zbieżny, powiedzmy (yκ ), do granicy y.
Pokażemy, że y ∈ C, co zakończy dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy w
C znajdziemy element (zbiór domkniȩty F ) nie zawieraja̧cy y. Oczywiście {F } jest
jednoelementowym (a wiȩc skończonym) ukladem C ⊂ C. Powyżej pewnego indeksu
wszystkie indeksy κ spelniaja̧ φ(κ) ≥ C, czyli φ(κ) jest ukladem skończonym w
sklad którego wchodzi zbiór F . To oznacza, że yκ = xφ(κ) ∈ F . Skoro F jest
domkniȩty, to y, jako granica netu (yκ ), też należy do F . Sprzeczność.
TOPOLOGIA PRODUKTOWA (TICHONOWA)
Najpierw uzupelnienie ze wstȩpu do topologii ogólnej.
Definicja. Pólbaza̧ topologii T nazywamy taka̧ rodzinȩ P zbiorów otwartych, że
rodzina wszystkich skończonych przekrojów zbiorów z P stanowi bazȩ.
Wymogiem na to aby rodzina zbiorów P byla pólbaza̧ pewnej topologii jest jedynie
to, aby pokrywala ona cala̧ przestrzeń i zawierala zbiór pusty (co można latwo
uzyskać dorzucaja̧c do P zbiory X i ∅). Dlatego latwo jest definiować topologie przy
pomocy pólbaz. Można z dowolnej rodziny podzbiorów zrobić topologiȩ. Bȩdzie to
najslabsza (czyli najmniejsza w sensie zawierania) topologia zawieraja̧ca tȩ rodzinȩ.
Na przyklad odcinki otwarte o dlugości 1 stanowia̧ pólbazȩ w dla standardowej
topologii w R. Albo, rodzina wszystkich pólplaszczyzn otwartych stanowi pólbazȩ
dla standardowej topologii w R2 . Sprawdza siȩ elementarnie, że do tego aby funkcja
f : Y → X byla cia̧gla wystarcza, aby przeciwobrazy wszystkich zbiorów z ustalonej
pólbazy w X byly otwarte w Y .
Niech (Xι , Tι )ι∈J oznacza rodzinȩ przestrzeniQtopologicznych indeksowana̧ dowolnym zbiorem J. Przez
produkt (kartezjański) ι∈J Xι rozumiemy zbiór wszystkich
S
funkcji f : J → ι∈J Xι , takich że dla każdego ι ∈ J mamy f (ι) ∈ Xι . Zgodnie
z konwencja̧, w miejsce f (ι) piszemy xι , (pamiȩtaja̧c, że jest to element Xι ), a
zamiast f piszemy (xι )ι∈J . Czyli
Y
Xι = {(xι )ι∈J : ∀ι∈J xι ∈ Xι }.
ι∈J
Dla wybranego
indeksu ι0 , rzutem na wspólrzȩdna̧ ι0 nazywamy odwzorowanie
Q
πι0 : ι∈J Xι → Xι0 zadane wzorem
πι0 ((xι ))ι∈J ) = xι0 .
W takim produkcie wprowadzimy teraz topologiȩ poprzez wskazanie bazy.
Q
Definicja. Topologia̧ produktowa̧ (Tichonowa) w X = ι∈J Xι nazywamy topologiȩ,
której baza̧ sa̧ zbiory postaci
Y
Uι ,
ι∈J
gdzie dla każdego indeksu ι Uι jest otwartym podzbiorem Xι , oraz tylko dla
skończenie wielu indeksów Uι nie jest cala̧ przestrzenia̧ Xι . Zbiory takie nazywamy
cylindrami. Cylindry można zapisywać jako zbiory
C(ι1 , . . . , ιn , Uι1 , . . . , Uιn ) = {(xι )ι∈J : xι1 ∈ Uι1 , . . . , xιn ∈ Uιn , },
4
gdzie {ι1 , . . . , ιn } reprezentuje dowolny skończony podzbiór J, zaś dla każdego
i ∈ {1, . . . , n} Uιi jest (dowolnym niepustym) otwartym podzbiorem Xιi . To,
że wszystkie takie cylindry tworza̧ bazȩ, sprawdza siȩ elementarnie. Cylindry nad
jedna̧ wspólrzȩdna̧ C(ι, Uι ) stanowia̧ pólbazȩ.
Twierdzenie.
Q
1. Net (xκ )κ∈K punktów z X = ι∈J Xι (gdzie każdy xκ jest postaci (xκι )ι∈J )
zbiega do punktu x = (xι )ι∈J ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ι zachodzi
zbieżność netu (xκι )κ∈K do xι . Innymi slowy, zbieżność w topologii produktowej, to
to samo co zbieżność na każdej wspólrzȩdnej (wspólrzȩdnymi sa̧ dla nas indeksy ι).
2. Rzuty πι sa̧ cia̧gle.
3. Funkcja f : Y → X (określona na dowolnej przestrzeni topologicznej Y ) jest
cia̧gla wtedy i tylko wtedy, gdy cia̧gle sa̧ zlożenia πι ◦ f dla wszystkich ι ∈ J.
Dowód. Ad 2. Udowodnimy cia̧glość rzutu πι . Przeciwobrazem zbioru otwartego
U ∈ Xι jest, jak latwo widać, cylinder C(ι, Uι ), gdzie Uι = U . A to jest zbiór
otwarty (a nawet bazowy) w topologii produktowej.
Ad 3. Jeśli f jest cia̧gla, to jej zlożenia z rzutami (które też sa̧ cia̧gle) sa̧ cia̧gle. Na
odwrót. Niech f nie bȩdzie cia̧gla. Wtedy istnieje zbiór otwarty, którego przeciwobraz nie jest otwarty. Musi istnieć taki zbiór bazowy, a nawet z pólbazy. A wiȩc
istnieje cylinder C(ι, Uι ), którego przeciwobraz przez f nie jest otwarty. Ale ten
przeciwobraz pokrywa siȩ z przeciwobrazem Uι przez zlożenie πι ◦ f . Zatem to
zlożenie nie jest cia̧gle.
Ad 1. Jeśli net (xκ )κ∈K zbiega do x, to z cia̧glości rzutów natychmiast dostajemy
zbieżność na każdej wspólrzȩdnej. Zalóżmy dla każdego ι ∈ J zbieżność (xκι )κ∈K do
xι . Weźmy dowolne otoczenie U (w topologii produktowej) punktu x. Otoczenie
to zawiera bazowe otoczenie x, a wiȩc pewien cylinder C(ι1 , . . . , ιn , Uι1 , . . . , Uιn ).
To, że cylinder ten zawiera x oznacza, że xιi ∈ Uιi dla każdego i ∈ {1, . . . n}. Ze
zbieżności po wspólrzȩdnych wnioskujemy, że dla każdego takiego i istnieje indeks κi
powyżej którego xκιi ∈ Uιi . Niech κ0 oznacza wspólna̧ majorantȩ dla {κ1 , . . . , κn }.
Wtedy powyżej κ0 punkt xκ wpada do naszego cylindra, a wiȩc i do U .
Pozostalo do udowodnienia jedno z najważnieszych twierdzeń w tym dziale.
Q
Twierdzenie Tichonowa. Przestrzeń produktowa X = ι∈J Xι (z topologia̧
produktowa̧) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zwarte sa̧ wszystkie przestrzenie
skladowe (Xι , Tι ).
Dowód. Jeśli produkt jest zwarty, to zwartość skladowych wynika natychmiast
z cia̧glości rzutów i tego, że sa̧ one surjekcjami (cia̧gly obraz zbioru zwartego
jest zwarty). Dowód implikacji przeciwnej wymaga technicznego lematu na temat
pólbazy.
Lemat (Twierdzenie Aleksandera). Do zwartości przestrzeni topologicznej X z
ustalona̧ pólbaza̧ P wystarcza, aby każde pokrycie X zbiorami z P zawieralo podpokrycie skończone.
Dowód lematu. Rodzina wszystkich pokryć nie maja̧cych podpokrycia skończonego
spelnia zalożenia lematu Kuratowskiego–Zorna (suma wstȩpuja̧cej rodziny takich
pokryć też nie ma podpokrycia skończonego — to sprawdza siȩ elementarnie), a
wiȩc istnieje maksymalne takie pokrycie U . Ma ono tȩ wlasność, że dorzucaja̧c
dowolny inny zbiór otwarty V otrzymamy pokrycie już posiadaja̧ce podpokrycie
skończone. Innymi slowy U zawiera pokrycie skończone dopelnienia V . Ustalmy
x ∈ X. Skoro U jest pokryciem, to istnieje U0 ∈ U zawieraja̧ce x. Wtedy U0
zawiera też zbiór bazowy zawieraja̧cy x, w postaci przekroju P1 ∩ · · · ∩ Pn zbiorów
z P. Zalóżmy, że żaden z Pi nie należy do U . Wtedy, dla każdego i, U zawiera
5
Sn
podpokrycie skończone Ui dopelnienia Pi . Rodzina i=1 Ui (która jest skończona̧
podrodzina̧ U ) pokrywa sumȩ dopelnień zbiorów Pi , czyli dopelnienie przekroju
P1 ∩ · · · ∩ Pn . Ale teraz wystarczy dorzucić zbiór U0 aby pokryć cale X. W ten
sposób udalo siȩ skonstruować skończone pokrycie calej przestrzeni X wybrane z U ,
co jest sprzecznościa̧, bo U nie posiada skończonych podpokryć. Wykazaliśmy wiȩc,
że każdy punkt jest pokryty zbiorem (nazwijmy go Px ) należa̧cym jednocześnie do
P i do U . Tak wybrane zbiory {Px : x ∈ X} stanowia̧ pokrycie X zbiorami pólbazy
i bȩda̧ce zarazem podpokryciem U , co implikuje, że nie może ono mieć podpokrycia
skończonego (bo nie ma go U ).
Cia̧g dalszy dowodu twierdzenia Tichonowa: W przestrzeni produktowej X mamy
pólbazȩ cylindrów nad jedna̧ wspólrzȩdna̧. Ustalmy pokrycie U takimi cylindrami.
Zakladaja̧c zwartość wszystkich przestrzeni skladowych mamy pokazać, że U zawiera podpokrycie skończone.
Jeśli jednym z elementów pokrycia U jest X, to {X} jest podpokryciem skończonym,
co kończy rozumowanie. W pozostalym przypadku U sklada siȩ z istotnych cylindrów nad jedna̧ wspólrzȩdna̧, czyli zbiorów postaci C(ι, Uι ), gdzie Uι jest wlaściwym
podzbiorem otwartym Xι . Indeks ι jest dla takiego cylindra określony jednoznacznie
(ι nie jest jednoznacznie określone jedynie wtedy, gdy Uι = Xι ; w tym wypadku
nasz cylinder pokrywa siȩ z X i dowolna wspólrzȩdna może być uznana za ι; dlatego ten przypadek musieliśmy rozważać osobno). Indeks ι wystȩpuja̧cy w tej roli
w elementach U przebiega pewien podzbiór J ′ ⊂ J (to może, ale nie musi być cale
J). Ponieważ w pokryciu U może wysta̧pić wiele cylindrów z tym samym indeksem
ι ∈ J ′ , (i różnymi zbiorami Uι ), wprowadzimy dodatkowy indeks α numeruja̧cy te
zbiory jako Uια (dla różnych ι ∈ J ′ , α przebiegać bȩdzie być może różne zbiory Aι ).
W ten sposób nasze pokrycie zapisujemy jako
U = {C(ι, Uια ) : ι ∈ J ′ , ∀ι∈J ′ α ∈ Aι }.
Teraz dla ι ∈ J ′ niech Uι oznacza rodzinȩ {Uια : α ∈ Aι }. Jest to oczywiście
rozdzina zbiorów otwartych w Xι . Twierdzimy, że istnieje ι0 ∈ J ′ , dla którego Uι0
jest pokryciem Xι0 . Gdyby tak nie bylo, to dla każdego ι ∈ J ′ istnialby punkt
xι ∈ Xι nie pokryty przez Uι , a wtedy dowolny punkt y = (yι )ι∈J spelniaja̧cy
yι = xι dla wszystkich ι ∈ J ′ nie bylby wcale pokryty przez U (każdy zbiór z U
′
jest postaci C(ι, Aα
ι ) dla pewnego ι ∈ J i wtedy na wspólrzȩdnej ι ,,mijalby siȩ” z
yι ). Zatem rzeczywiście, dla pewnego ι0 ∈ J ′ , Uι0 pokrywa Xι0 . Ze zwartości Xι0
istnieje skończone podpokrycie {Uια0i , : i = 1, . . . , k}. Ale wtedy cylindry C(ι0 , Uια0i )
(i = 1, . . . , k) pokrywaja̧ cale X (bo przeciwobraz pokrycia jest pokryciem, a zbiory
C(ι0 , Uια0i ) sa̧ wlaśnie przeciwobrazami przez πι0 zbiorów Uια0i ).
PRZYKLADY
Podamy teraz kilka przykladów pokazuja̧cych, że intuicje wziȩte z analizy cia̧gów
czȩsto sa̧ zawodne w odniesieniu do ,,dużych” przestrzeni, takich jak na przyklad
przestrzenie produktowe.
1) Zbiór wszystkich funkcji (bynajmniej koniecznie
Q cia̧glych albo nawet mierzalnych)
f : [0, 1] → [0, 1] jest przestrzenia̧ produktowa̧ x∈[0,1] [0, 1]x (gdzie [0, 1]x = [0, 1];
indeks x dodano tylko po to, żeby ujawnić pozycjȩ wspólrzȩdnej i odróżnić przestrzenie skladowe od zbioru indeksów, który też jest odcinkiem [0, 1]). Ponieważ na
każdej wspólrzȩdnej wystȩpuje przestrzeń zwarta [0, 1]x , wiȩc przestrzeń produktowa jest zwarta. Zbieżność netu funkcji, to zbieżność na każdej wspólrzȩdnej, czyli
dobrze nam znana zbieżność punktowa (tylko teraz myślimy o netach, a nie tylko
cia̧gach, funkcji). Rozważmy net funkcji charakterystycznych zbiorów skończonych
(1A )A∈A indeksowany rodzina̧ skierowana̧ A podzbiorów skończonych odcinka [0, 1].
6
Otóż net ten (wbrew pewnym intuicjom) zbiega do funkcji 1 (równej 1 w każdym
punkcie). Faktycznie, ustalmy wspólrzȩdna̧ x ∈ [0, 1] i niech Ax = {x}. Jest to
element rodziny A oraz dla każdego A ≥ Ax (czyli A ⊃ Ax ) mamy 1A (x) = 1. To
dowodzi, że na wspólrzȩdnej x net (1A (x))A∈A (w przestrzeni [0, 1]x ) zbiega do 1.
Zatem net (1A )A∈A (w przestrzeni produktowej) zbiega do funkcji 1.
Jest to o tyle nieintuicyjne, że wszystkie funkcje w tym przykladzie sa̧ mierzalne i
wspólnie ograniczone, wiȩc ,,powinno” zachodzić twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności
zmajoryzowanej (również net ten jest rosna̧cy, tzn. A ≥ A′ =⇒ 1A ≥ 1A′ , czyli
,,powinno” stosować siȩ monotoniczne twierdzenie Lebesgue’a). Ale tak nie jest, bo
calki z funkcji w necie sa̧ zerami, a calka z funkcji granicznej jest równa 1. A wiȩc
twierdzenia Lebesgue’a nie stosuja̧ siȩ do netów!
2) Na zespolonym okrȩgu jednostkowym T = {z ∈ C : |z| = 1} rozważmy cia̧g
funkcji
fn (z) = z n . Sa̧ to funkcje z T w T, a wiȩc należa̧ do przestrzeni zwartej
Q
z∈T Tz (konwencja zapisu jak poprzednio). Zatem cia̧g ten ma podnet zbieżny
do funkcji f : T → T. Jest to bardzo nieintuicyjne, gdyż, jak pokażemy, cia̧g ten nie
posiada podcia̧gów zbieżnych (do żadnej funkcji). Faktycznie, ewentualny podcia̧g
zbieżny bylby zbieżny punktowo, a wiȩc granica f bylaby mierzalna i dla cia̧gu
|fnk − f | zachodziloby twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej (wersja
zespolona dla miary Lebesgue’a na okrȩgu):
Z
|fnk − f | dλ −
→
k
Z
|f − f | dλ = 0.
Czyli zachodzilaby zbieżność fnk do f w normie L1 (λ), a co za tym idzie również
w normie L2 (λ). To jest jednak niemożliwe, gdyż funkcje fn sa̧ ukladem ortonormalnym w przestrzeni
Hilberta L2 (λ), zatem odleglości miȩdzy dowolnymi dwiema
√
z nich wynosi 2, co oznacza, że cia̧g ten nie ma podcia̧gów podstawowych (a
tym bardziej zbieżnych) w L2 (λ). Jednak, jak już powiedzielśmy, istnieje podnet
zbieżny. A wiȩc istnieje przyklad podnetu cia̧gu, które nie jest podcia̧giem.
∗(tekst nieobowia̧zkowy) Aby lepiej zrozumieć, jak takie podnety wygla̧daja̧, wskażemy
explicie, że cia̧g ten ma podnet zbieżny do każdej ,,swojej” funkcji fn0 (z) = z n0 .
W tym celu ustalmy n0 . Nasz podnet bȩdzie indeksowany trójkami (A, n, ǫ), gdzie
A jest podzbiorem skończonym T, n ∈ N i ǫ > 0 (dla ǫ-ów stosujemy porza̧dek
odwrócony: im mniejszy ǫ tym ,,dalszy”). Otóż, nietrudno wykazać (co jednak
pominiemy), że dla dowolnej takiej trójki istnieje takie n′ > n, że w każdym punkcie
′
z ∈ A zachodzi |z n − 1| < ǫ. Umawiamy siȩ, że n′ oznacza najmniejszy taki numer
powyżej n. Ponieważ mnożenie przez liczbȩ zespolona̧ o module 1 jest izometria̧
′
na C, mamy też |z n +n0 − z n0 | < ǫ. Przyporza̧dkujmy g(A,n,ǫ) = fn′ +n0 oraz
φ(A, n, ǫ) = n′ + n0 . Sprawdzenie, że (g(A,n,ǫ) ) jest podnetem cia̧gu (fn ) (maja̧c
już wskazana̧ funkcjȩ φ) jest natychmiastowe, podobnie jak sprawdzenie zbieżności
punktowej tego podnetu do fn0 .
Tomasz Downarowicz