modelowanie normalnych charakterystyk sztywnościowych

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X
MODELOWANIE NORMALNYCH
CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCIOWYCH
NIELINIOWEGO PODŁOŻA SPRĘŻYSTEGO
Rafał Grzejda1a
1
a
Katedra Mechaniki i PKM, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
[email protected]
Streszczenie
Przedstawiono modelowanie i obliczenia połączenia stykowego obciążonego niesymetrycznie. Przyjęto fizyczny
model połączenia dwóch elementów korpusowych traktowanych jako ciała odkształcalne lub nieodkształcalne.
Umowną warstwę stykową pomiędzy elementami łączonymi opisano za pomocą nieliniowego modelu Winklera.
Zaproponowano model połączenia stykowego uwzględniający sztywność stykową uzyskaną na podstawie badań doświadczalnych. Zamieszczono przykładowe obliczenia rozkładu normalnych nacisków i odkształceń stykowych
normalnych na powierzchni ściskanych elementów.
Słowa kluczowe: nieliniowe połączenie stykowe, linearyzacja, metoda siecznych
MODELLING OF NORMAL STIFFNESS CHARACTERISTICS
OF THE NONLINEAR ELASTIC FOUNDATION
Summary
In the paper modelling and calculations of a contact joint loaded by an asymmetrical force is presented. The physical model of the joint consists of two flange elements treated as flexible or inflexible bodies. Between joined elements
the nonlinear Winkler model of a contact layer is taken into account. The model of the contact joint considering experimental characteristics of the nonlinear elastic foundation is proposed. As results obtained from the calculations,
examples of pressure and normal contact deformations distributions are shown.
Keywords: nonlinear contact joint, linearization, secant method
1.
WPROWADZENIE
Nawet w wyniku dokładnej obróbki nie można uzyskać idealnego połączenia powierzchni łączonych elementów maszyn. Tym samym styk pomiędzy parą elementów ma miejsce nie na całej nominalnej powierzchni
kontaktu, ale tylko na niewielkiej jej części [11,16,17]
(rys. 1). Na rozmiar rzeczywistej powierzchni styku
wpływ mają m. in. [6]:
- kształt i wymiary mikronierówności,
- wartości sił normalnych, dociskających rozpatrywane
elementy,
- właściwości materiałów, z których wykonane zostały
stykające się ze sobą elementy.
Z tych powodów w obrębie pojedynczych mikrostyków
dochodzi do znacznych odkształceń, które mają istotny
wpływ na rozkład sił oddziaływania i wzajemne prze-
mieszczenia kontaktujących się ze sobą ciał, a tym
samym na globalne zachowanie się całego złożonego
układu mechanicznego.
Numeryczna analiza zagadnień kontaktowych w dostępnych komercyjnych systemach komputerowych
determinowana jest przez zawartość bibliotek elementów
skończonych [1] przeznaczonych do modelowania styku.
Korzystając z takich programów, użytkownik natrafia na
bardzo ograniczone możliwości opisu właściwości modelowanego styku. W najlepszym wypadku w programach
tego typu możliwe jest zadanie stałych współczynników
sztywności stykowej dla danego elementu kontaktowego
na powierzchni styku, jak ma to miejsce na przykład
w systemach ANSYS [12] i Nastran FX [13].
87
MODELOWANIE NORMALNYCH CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCIOWYCH…
An
przypowierzchniowych warstw wraz z nierównościami
i wstawieniu w ich miejsce umownej warstwy stykowej.
Tak określonej warstwie stykowej można przypisać
najistotniejsze cechy styku ciał rzeczywistych, wynikające bezpośrednio z charakterystyk otrzymanych doświadczalnie. Dzięki temu w modelu uwzględniony zostaje
rzeczywisty wpływ 88lement88 równości łączonych
powierzchni.
Aki
Ari
Fn
Rys. 1. Styk dwóch powierzchni (Ari – fragment rzeczywistej
powierzchni styku, Aki – fragment konturowej powierzchni styku,
An – nominalna powierzchnia styku)
Aby przeprowadzić obliczenia z uwzględnieniem
zmienności współczynników sztywności dla każdego
z elementów warstwy stykowej, wynikającej z nieliniowej
charakterystyki podatnościowej połączenia stykowego,
konieczne jest utworzenie specjalnych procedur obliczeniowych i wykorzystanie ich w połączeniu z obliczeniami
prowadzonymi w danym systemie komputerowym.
W niniejszej pracy, na przykładzie połączenia stykowego
dwóch elementów korpusowych obciążonych normalną
siłą zewnętrzną, zawarto porównawczą analizę kilku
modeli i metod modelowania układu dwóch ciał stałych
tworzących połączenie stykowe. Praca stanowi pewien
fragment badań prowadzonych nad rozwojem metod
modelowania i obliczeń połączeń śrubowych [7,19], które
najczęściej należy traktować jako układy nieliniowe [4,8].
Analizy dokonano na podstawie rozkładów normalnych
nacisków powierzchniowych i odkształceń stykowych
normalnych wyznaczonych z wykorzystaniem autorskiej
procedury obliczeniowej, umożliwiającej uwzględnienie
w modelu odmiennych współczynników sztywności dla
każdego z elementów warstwy stykowej.
Rys. 2. Połączenie dwóch płaskowników: a) układ rzeczywisty,
b) fragment przekroju przez rzeczywistą powierzchnię styku,
c) model warstwy stykowej
Budowa modelu fizycznego połączenia stykowego zostanie przedstawiona na przykładzie połączenia dwóch
płaskowników tworzących stos, posadowionych na
nieodkształcalnym podłożu i obciążonych mimośrodowo
siłą Fn (rys. 2).
Warstwę stykową pomiędzy łączonymi elementami
modeluje się za pomocą modelu Winklera [18] opisanego
za pomocą j ( j = 1, 2, 3, …, l ) sprężyn nieliniowych
o charakterystyce
=
∙
=
∙
(1)
gdzie:
Rj – siła zaczepiona w środku ciężkości j-tej elementarnej powierzchni styku,
pnj – normalne naciski powierzchniowe na elementarnej
powierzchni styku,
nj – odkształcenia stykowe normalne elementarnej
części warstwy stykowej (sprężyny nieliniowej),
Aj – pole elementarnej powierzchni styku.
Tworzenie struktury modelu warstwy stykowej prowadzi się według następującej procedury:
- podział powierzchni styku między łączonymi 88lementtami na elementarne powierzchnie (o polu Aj),
- wyznaczenie środków ciężkości dla każdej elementarnej powierzchni styku,
- wprowadzenie węzłów siatki w środkach ciężkości
elementarnych powierzchni styku,
- dodanie nieliniowych sprężyn w węzłach zdefiniowanych w poprzednim kroku.
2. OGÓLNY MODEL PŁASKIEGO
STYKU DWÓCH POWIERZCHNI
Aby zjawiska zachodzące w obszarze kontaktu 88lementów korpusowych poddać rozważaniom 88lement88
nym, należy przyjąć konkretny model powierzchni
danych ciał oraz ich styku. Rozpatrując zagadnienia
mechaniki kontaktu w skali makroskopowej, można
zrezygnować z wielu szczegółów dotyczących styku.
Celowe jest wówczas wydzielenie obszaru kontaktu
z dwóch przylegających do siebie ciał i traktowanie go
jako umownej warstwy stykowej, posiadającej właściwości odmienne od łączonych części korpusu, związane m.
88l. Z nieciągłością strefy kontaktu, różną strukturą, czy
niejednorodnymi właściwościami fizykochemicznymi [10].
Przejście od styku ciał rzeczywistych do fizycznego
modelu polega na myślowym wycięciu płaszczyznami
88
Tak zdefiniowany fizyczny model połączenia stykowego
podlega dyskretyzacji, a następnie obliczeniom z wykorzystaniem metody elementów skończonych (MES) [1].
Rozwiązanie układu równań (3) przebiega w procesie
iteracyjnym prowadzonym z wykorzystaniem metody
siecznych [3]. W kolejnych przybliżeniach poszukuje się
takich wartości reakcji (rys. 4), dla których spełniony
zostanie warunek
NIEODKSZTAŁCALNE
Model A
Fn
Fn
pn,śr
(4)
≤
gdzie:
R’j – reakcja w j-tej sprężynie, wyznaczona na podstawie zastępczej charakterystyki liniowej,
 – dopuszczalny błąd względny linearyzacji.
Model B
ODKSZTAŁCALNE
CIAŁA
Rafał Grzejda
Fn
Fn
pn,śr
3.
pn
pn,śr = f(Fn)
Zgodnie z przedstawioną metodą wykonano obliczenia połączenia dwóch stalowych płaskowników stykających się na długości 50 mm. Założono prostokątny
przekrój płaskowników. Powierzchnię kontaktu pomiędzy elementami łączonymi podzielono na 10 równych
powierzchni elementarnych o polu Aj = 25 mm2.
W środku ciężkości każdego z pól elementarnych powierzchni dodano nieliniową sprężynę. W modelu obliczeniowym wprowadzono zatem 10 sprężyn tworzących
warstwę stykową (oznaczonych kolorem czerwonym na
rys. 5). Na powierzchniach płaskowników przylegających
do warstwy stykowej utworzono po 20 elementów
skończonych.
Właściwości sprężyste warstwy stykowej na kierunku
normalnym opisano przykładową nieliniową charakterystyką, uzyskaną eksperymentalnie dla elementów łączonych w połączeniu wielośrubowym, według metody
przedstawionej w pracy [7]
Rys. 3. Modele styku ciał stałych (na podstawie [5,14])
Współczynniki sztywności elementów warstwy stykowej kj wyznacza się ze wzoru [9]
(2)
=
Przyjmując założenie o odkształcalności warstwy stykowej, można rozpatrzyć dwa modele połączenia stykowego:
- model A, w którym ciała łączone są nieodkształcalne,
- model B, w którym ciała łączone są odkształcalne.
Wyżej wymienione modele w przypadku obciążenia
symetrycznego, w sposób poglądowy przedstawiono na
rys. 3.
=
R
nj
n
Rys. 4. Linearyzacja krzywej metodą siecznych
układu
∙
(rys. 2)
=
zapisuje
∙ 3,428 ∙
,
(5)
Układ posadowiono na nieodkształcalnym podłożu
i obciążono mimośrodowo siłą Fn = 1,25 kN, normalną
do powierzchni styku, przyłożoną w odległości 10 mm od
lewego końca górnego płaskownika (rys. 5). Obliczenia
wykonano przy użyciu programu Nastran FX [13] oraz
procedury przygotowanej w arkuszu kalkulacyjnym
Excel [2].
Przyjęto dwa modele obliczeniowe (model A i model
B) o cechach zdefiniowanych w rozdziale 2. pracy.
W przypadku modelu A przyjęto moduł Younga
E = 2·108 MPa, jak dla materiału nieodkształcalnego
[15].
Wyniki obliczeń w formie graficznej przedstawiono
na rys. 6 i 7. Pokazano na nich rozkłady normalnych
nacisków powierzchniowych oraz odkształceń stykowych
normalnych otrzymane dla przyjętego połączenia stykowego. Maksymalne wartości nacisków i odkształceń
wyznaczone dla modelu z nieodkształcalnymi elementa-
R’j
Rj
Równanie równowagi
w postaci:
PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
się
(3)
gdzie:
K – macierz sztywności,
q – wektor przemieszczeń uogólnionych,
p – wektor sił uogólnionych.
89
MODELOWANIE NORMALNYCH CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCIOWYCH…
mi ściskanymi są niższe niż dla modelu z elementami
odkształcalnymi. Za pomocą modelu, w którym pominięto odkształcalność ściskanych elementów, uzyskano
liniowe charakterystyki nacisków i odkształceń. Przesu-
nięcie wykresów dla modelu B w stronę przyłożonego
obciążenia oraz odchylenie wykresów od osi odciętych
dla modelu A związane są z niesymetrycznym obciążeniem układu i odkształcalnością warstwy stykowej.
Rys. 5. Model połączenia stykowego w konwencji MES
Model A
Model B
16
14
pnj [MPa]
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numer elementarnej powierzchni styku
Rys. 6. Rozkłady normalnych nacisków powierzchniowych dla badanego połączenia stykowego
90
Rafał Grzejda
Model A
Model B
2,5
d nj [mm]
2
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numer elementarnej powierzchni styku
Rys. 7. Rozkłady odkształceń stykowych normalnych dla badanego połączenia stykowego
4.
Pominięcie w modelowaniu i analizie połączeń stykowych odkształcalności elementów ściskanych może
skutkować otrzymaniem rozkładów normalnych nacisków powierzchniowych i odkształceń stykowych normalnych odbiegających od rozkładów rzeczywistych.
Takie uproszczenia w modelowaniu dopuszczalne są
jedynie na etapie obliczeń wstępnych i szacowań.
W modelu w pełni dopasowanym do rzeczywistego
układu mechanicznego powinno się uwzględniać odkształcalność elementów łączonych.
Przedstawiony sposób podejścia do modelowania
i obliczeń połączeń stykowych proponuje się stosować
szczególnie do analizy połączeń, dla których ważna jest
historia obciążenia. Przykładem takiego połączenia jest
złącze wielośrubowe, w którym stan napięcia w śrubach
i stan naprężeń w elementach łączonych zależą od
historii montażu (czyli od kolejności napinania poszczególnych śrub) oraz od przykładanego obciążenia zewnętrznego [7,19].
PODSUMOWANIE
Używając do modelowania styku modeli dostępnych
w komercyjnych systemach elementów skończonych,
w analizie połączenia stykowego nie można uwzględnić
wszystkich jego charakterystycznych właściwości. Rozbudowanie tych modeli o możliwość zadania odrębnych
wartości sztywności stykowej, wyznaczonych z charakterystyk doświadczalnych, dla każdego z elementów warstwy stykowej, pozwala na zwiększenie adekwatności
fizycznego modelu styku do jego obrazu rzeczywistego.
Takiego rozwiązania nie można zastosować bezpośrednio. Wymaga ono wyboru jednej z dwóch następujących
możliwości:
- napisanie dodatkowych procedur numerycznych
i dołączenie ich do wybranego do analiz komputerowego systemu elementów skończonych (jeżeli jest taka możliwość),
- potraktowanie systemu elementów skończonych jako
narzędzia podrzędnego, wykorzystanego w innym,
nadrzędnym programie komputerowym (jak to uczyniono w niniejszej pracy).
Literatura
1.
Adams V., Askenazi A.: Building better products with finite element analysis. Santa Fe: OnWord Press, 1999.
2.
Etheridge D.: Programowanie w Excelu 2007 PL. Gliwice: Helion, 2009.
3.
Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. Warszawa: WNT, 2005.
4.
Fukuoka T.: Finite element analysis of the thermal and mechanical behaviors of bolted joint. ,,Analysis of bolted
joints”, The 2003 ASME Pressure Vessels and Piping Conference, Cleveland 2003, p. 125–131.
5.
Grudziński K.: Rola, modelowanie i obliczanie połączeń elementów w konstrukcjach maszynowych. W: Mat. XIII
Sympozjonu PKM. Cz. 2, Świnoujście 1987, s. 61 - 87.
6.
Grudziński K., Konowalski K.: Badania charakterystyk mechanicznych połączeń stykowych przy obciążeniach
dynamicznych. Cz. 1: Podstawy badań doświadczalnych i stanowisko badawcze. ,,Archiwum Technologii Maszyn
i Automatyzacji” 2002, vol. 22, nr 2, s. 105 - 114.
91
MODELOWANIE NORMALNYCH CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCIOWYCH…
7.
Grzejda R.: Modelowanie i obliczenia wielośrubowego połączenia elementu korpusowego na nieliniowym podłożu
sprężystym. Rozprawa doktorska. Szczecin: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, 2009.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Kobayashi T., Nishida T., Yamanaka Y.: Effect of creep-relaxation characteristics of gaskets on the bolt loads of
gasketed joints. ,,Analysis of bolted joints”, The 2003 ASME Pressure Vessels and Piping Conference, Cleveland
2003, p. 111 - 118.
Konowalski K.: Experimental research and modeling of normal contact stiffness and contact damping of machined joint surfaces. ,,Advances in Manufacturing Science and Technology” 2009, Vol. 33, No. 3, p. 53 - 68.
Konowalski K. i in.: Badania doświadczalne oraz modelowanie sztywności dynamicznej i tłumienia styków
połączeń spoczynkowych. Sprawozdanie z projektu badawczego nr 7 T07C 04115, Szczecin: Politechnika Szczecińska, 2001.
Kostek R.: Modelowanie charakterystyki kontaktu ciał chropowatych obciążonych w kierunku normalnym.
,,Modelowanie inżynierskie” 2012, nr 43, t. 12, s. 113 - 120.
Łaczek S.: Modelowanie i analiza konstrukcji w systemie MES ANSYS v.11. Kraków: Wyd. Pol. Krak., 2011.
Nastran FX On-line Manual, 2010.
Niektóre zagadnienia mechaniki kontaktu w budowie maszyn. Praca zbiorowa pod red. K. Grudzińskiego. Prace
Naukowe Politechniki Szczecińskiej, nr 339. Szczecin: Wyd. Uczel.Politechniki Szczecińskiej, 1987.
Nonlinear Analysis. Przewodnik do nauki obsługi programu Nastran FX, 2010.
Poulios K., Klit P.: Implementation and applications of a finite-element model for the contact between rough
surfaces. ,,Wear” 2013, Vol. 303, No. 1 - 2, p. 1 - 8.
Sellgren U., Björklund S., Andersson S.: A finite element-based model of normal contact between rough surfaces.
,,Wear” 2003, Vol. 254, No. 11, p. 1180 - 1188.
Wang Y.H., Tham L.G., Cheung Y.K.: Beams and plates on elastic foundations: a review. ,,Progress in Structural Engineering and Materials” 2005, Vol. 7, No. 4, p. 174 - 182.
Witek A. i in.: Rozwój metod modelowania i obliczeń połączeń wielośrubowych. Sprawozdanie z projektu badawczego nr 4 T07C 05527. Szczecin: Politechnika Szczecińska, 2007.
92