6. ←↑→ 6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
6.
1

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
6.1. Wstęp
Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15
niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych:
trzy składowe wektora przemieszczenia u
sześć składowych tensora naprężeń s
• sześć składowych tensora odkształceń e
•
•
Znamy już dziewięć równań:
•
•
trzy równanie różniczkowe równowagi Naviera (związki między naprężeniami)
sześć równań geometrycznych Cauchy'ego (związki między odkształceniem a przemieszczeniem)
Ostatnie sześć brakujących równań to równania fizyczne zwane także konstytutywnymi lub
uogólnionym prawem Hooke'a
6.2. Wyprowadzenie
Założenia:
związki fizyczne są niezależna od czasu i warunków zewnętrznych, czyli zależności dla każdej chwili i
każdej temperatury są takie same
➢ zależność s (e) jest liniowa
➢ ciała zachowują się sprężyście tzn. s i e zanikają po usunięciu przyczyny
➢
Najogólniejszą postać związków fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i
odkształcenia, w przypadku trójwymiarowym, w ciałach materialnych zarówno izotropowych jak i
anizotropowych liniowo sprężystych można przedstawić następująco:
= f 
(6.1)
 ij =C ijkl⋅kl
(6.2)
Wskaźnikowo:
Gdzie i, j, k, l = 1,2,3
Tensor Cijkl o walencji 4 nazywamy tensorem sprężystości (sztywności) stałych materiałowych.
Tensor ten dla ciał izotropowych jest tensorem izotropowym zatem można go zapisać w następującej
postaci:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
C ijlk =⋅ij⋅ kl ⋅ik⋅ jl ⋅il⋅ jk
2
(6.3)
Gdzie i, j, k, l =1, 2, 3; l, m, k -dowolne stałe
Jeżeli sij i ekl są symetryczne to Cijkl również jest symetryczny:
C ijkl =C jikl
(6.4)
wykorzystując równanie (6.3) otrzymamy:
C ijlk =⋅ij⋅ kl ⋅ik⋅ jl ⋅il⋅ jk
C jilk =⋅ ji⋅ kl ⋅ jk⋅il ⋅ jl⋅ik
Zatem:
⋅ij⋅kl ⋅ik⋅ jl ⋅il⋅ jk =⋅ ji⋅kl ⋅ jk⋅il ⋅ jl⋅ik
Po uporządkowaniu:
−⋅ik⋅ jl −−⋅il⋅ jk =0
−⋅ik⋅ jl −il⋅ jk =0
Równanie to jest spełnione gdy:
a)
b)
c)
−=0 lub
ik⋅ jl −il⋅ jk =0
Dla dowolnej kombinacji wskaźników warunek b) nie zawsze będzie spełniony zatem:
−=0 ⇒ =
(6.5)
Uwzględniając warunek (6.5) w równaniu (6.3) otrzymamy:
C ijlk =⋅ij⋅ kl ⋅ik⋅ jl il⋅ jk 
(6.6)
Podstawiając wyrażenie (6.6) do (6.2) dostaniemy:
 ij =⋅ij⋅ kl⋅kl ⋅ik⋅ jl⋅kl ⋅il⋅ jk⋅kl
(6.7)
Zauważmy, że:
1)
ij⋅ kl⋅kl ≠0 gdy l=k, wtedy ij⋅ kl⋅kl =ij⋅kk
2)
ik⋅ jl⋅kl ≠0 gdy k=i oraz l=j, wtedy ik⋅ jl⋅kl =ij
3)
il⋅ jk⋅kl ≠0 gdy k=j oraz l=i, wtedy
il⋅ jk⋅kl = ji
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
4)
3
ij = ji
Stąd po podstawieniu tych warunków do (6.7) otrzymamy:
 ij =2 ⋅⋅ij ⋅ij⋅kk
(6.8)
Wzór (6.8) przedstawia skrócony zapis równań fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów
naprężenia i odkształcenia w przypadku trójwymiarowym (dla dowolnych osi), w ciałach materialnych
izotropowych, liniowo-sprężystych bez uwzględnienia temperatury i czasu.
Stałe m i l to tzw. Stałe Lamego.
W uzyskanym równaniu fizycznym naprężenia zostały wyrażone przez odkształcenia. Doprowadźmy
do zależności odwrotnej.
 ij =2 ⋅⋅ij ⋅ij⋅kk
Przyjmijmy i=j=k:
 kk =2 ⋅⋅kk ⋅ kk⋅kk
 kk =kk⋅2 ⋅3 ⋅
Wówczas:
kk =
 kk
2 ⋅3 ⋅
(6.9)
Podstawmy (6.9) do (6.8)
 kk
 ij =2 ⋅ij ⋅ij⋅
2 ⋅3 ⋅
Po przekształceniach:
ij =

1
⋅ ij −
⋅ ⋅
2
2 2 3  kk ij
(6.10)
Przyjmując:
1
4

 =−

2 2 3 

=
Otrzymamy wzór na eij analogiczny do wzoru na sij:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
⋅ij⋅ kk
ij =2 ⋅
⋅ ij 
4
(6.11)
Wprowadzamy stałe materiałowe:
E – moduł Younga (sprężystości)
G – moduł Kirchoffa (Ścinania, odkształcenia postaciowego)
n - współczynnik Poissona
➔
=G=
=
E
21
(6.12)
E⋅
1⋅1−2 
(6.13)
Po podstawieniu (6.12) i (6.13) do (6.8) uzyskamy związki fizyczne w postaci :
 ij =2 G⋅ij 
2G 

⋅kk⋅ij =2 G [ij 
⋅ ⋅ ]=
1−2 
1−2  kk ij

E
=
[ij 
⋅ ⋅ ]
1
1−2  kk ij
(6.14)
Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k = 1,2,3 otrzymamy:

E
[11
⋅   ] ,
1
1−2  11 22 33

E
 22 =
[22 
⋅   ] ,
1
1−2  11 22 33

E
 33=
[33
⋅   ] ,
1
1−2  11 22 33
 11 =
E
⋅ =2 G 12
1 12
E
 13=
⋅ =2 G 13
1 13
E
 23=
⋅ =2 G 23
1 23
 12 =
(6.15)
➔

=
1
1
=
4 G 2E
=−

E
(6.16)
(6.17)
Po podstawieniu (6.16) i (6.17) do (6.11) uzyskamy związki fizyczne w postaci :
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE


1
1
1
ij =2 ⋅
 ij −
⋅
⋅ kk⋅ij =
[ ij −
⋅ ⋅ ]=
4G
2 G 1
2G
1 kk ij
1

=
[ ij −
⋅ ⋅ ]
E
1 kk ij
5
(6.18)
Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k = 1,2,3 otrzymamy:
11=
=
1

[ 11−
⋅  22  33 ]=
E
1 11
1
[ ⋅1−⋅ 11  22  33 ]=
E 11
1
[ −⋅ 22  33 ] ,
E 11
1
22 = [ 22 −⋅ 11 33 ] , 2 G
E
1
33= [ 33 −⋅ 11 22 ] ,
E
=

1
 12 = 12
E
2G

1
13=
 12 = 13
E
¿
 23
1
23=
 12 =
E
2G
12 =
(6.19)
6.3. Podsumowanie
Do opisu stanu w punkcie mamy:
1)
 ji , j  pi =0 - 3 równania Naviera
2)
ij =
3)
 ij =2 ⋅⋅ij ⋅ij⋅kk - 6 równań fizycznych
1
u u j ,i  - 6 równań geometrycznych
2 i, j
Jest to pełen komplet równań potrzebnych do opisu 15 niewiadomych.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater