Stan naprężenia
Transkrypt
Stan naprężenia
3. STAN NAPRĘŻENIA 1 3. 3. STAN NAPRĘŻENIA 3.1. Twierdzenie Stokes'a W zapisie absolutnym: dl =∫ n rot A dS ∮ A⋅ (3.1) ∮ Ai⋅dxi =∫ ni e jk A j , k dS (3.2) C S W zapisie wskaźnikowym: C S Całka krzywoliniowa funkcji wektorowej A wzdłuż krzywej zamkniętej C jest równa strumieniowi rotacji wektora przez powierzchnię S, której granicą jest krzywa C. Strumień rotacji – wektor R =rot A mnożymy przez wektor normalny n w danym punkcie pola. n R S C Rys. 3.1. Strumień rotacji wektora. 3.2. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego-Greena Zapis absolutny: ∮ A⋅n ds=∫ div A⋅dV S V Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. (3.3) AlmaMater 3. STAN NAPRĘŻENIA 2 Zapis wskaźnikowy: ∮ Ai ni ds=∫ Ai ,i dV S (3.4) V Strumień wektora pola przez powierzchnię zamkniętą S równy jest całce po objętości V ograniczonej powierzchnią S z dywergencji wektora pola. 3.3. Podstawowe wiadomości o stanie naprężenia Jeżeli ciało znajduje się w równowadze to wypadkowa wszystkich sił działających na to ciało, zwana także wektorem głównym, jest równa zero. W = O (3.5) W powyższym przypadku moment główny także wynosi zero. M = O (3.6) Obrazem punktu we współrzędnych kartezjańskich jest prostopadłościan (we współrzędnych cylindrycznych tę rolę spełnia walec, a w biegunowych – wycinek pierścienia). 3 σ23 σ22 σ21 2 1 Rys. 3.2. Obraz punktu we współrzędnych kartezjańskich Składowe tensora naprężenia ij : [ 11 12 13 ij = 21 22 23 31 32 33 ] (3.7) Suma całki po powierzchni S wszystkich sił powierzchniowych f i całki po objętości V wszystkich Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater 3. STAN NAPRĘŻENIA 3 sił objętościowych (masowych) p jest równa zero. ∫ f dS ∫ p dV =0 S (3.8) V n f Rys. 3.3. Wektor f sił działających na dowolnej powierzchni ij - cosinusy kierunkowe wektora f fi = ji ei f n i = n i f n i ds= 11 ds1 21 ds 2 31 ds3 ds j =ds n j (3.9) Suma wektora sił powierzchniowychi wektora sił masowych wynosi zero: ∫ ji n j ds∫ pi dV =0 S V (3.10) Z twierdzenia Greena-Gaussa-Ostrogradskiego: ∫ ji , j dV ∫ pi dV =0 V V (3.11) Żeby ostatnie równanie było spełnione, konieczne jest spełnienie warunków: a) równania równowagi w punkcie materialnym ciała odkształcalnego (równania Naviera) ji , j pi =0 Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. (3.12) AlmaMater 3. STAN NAPRĘŻENIA 4 Rozpisujemy poprzedni zapis wskaźnikowy: ∂ 11 ∂ 21 ∂ 31 p1=0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3 ∂ 12 ∂ 22 ∂ 32 p 2 =0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3 ∂ 13 ∂ 23 ∂ 33 p3=0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3 i=1 i=2 i=3 (3.13) W postaci macierzowej: [ ∂ ∂ x1 ∂ ∂ x2 ∂ ∂ x3 ][ ]{ }[] 11 12 13 p1 0 21 22 23 p 2 = 0 0 31 32 33 p3 (3.14) b) moment główny układu sił – suma momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu M =r × W (3.15) W r i wektor odległości Rys.3.4. Wektor siły W r ∫ r ×f dS ∫ r ×p dV =0 S V (3.16) r - wektor, którego początek jest w początku układu współrzędnych ∫ eijk x j f nk dS ∫ eijk x j pk dV =0 S V (3.17) Analizujemy pierwszą całkę: ∫ eijk x j lk nl dS =∫ eijk x j lk ' l dV =∫ eijk x j lk ' l dV =0 S V V Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. (3.18) AlmaMater 3. STAN NAPRĘŻENIA x j lk , l = ∂xj ∂ lk ∂ lk lk x j = jk x j ∂ xl ∂ xl ∂ xl 5 (3.19) Zauważmy, że ∂xj ≠0 ⇔ j=l ∂ xl (3.20) Stąd po podstawieniu do (3.16) otrzymujemy ∫ V e ijk ∫ V (3.21) dV =0 (3.22) ∂ xi ∂ lk lk e ijk x j e ijk x j p k dV =0 ∂ xl ∂ xl [ e ijk jk e ijk x j ∂ lk pk ∂ xl ] Na mocy równania Naviera LK , l p k =0 (3.23) ∫ eijk jk dV =0 (3.24) A więc ostatecznie: V Powyższe wyrażenie jest równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy: jk = kj (3.25) ∫ 23− 32 dV =0 (3.26) Przykładowo dla i mamy: V Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater