7. ←↑→ 7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
7.
1

7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
7.1. Wprowadzenie
Równania Lamego wyrażają się wzorem:
∇ 2 ui 
1
u =0
1−2  j , j i
(7.1)
gdzie:
ui – jest funkcją biharmoniczną
uj,j = υ - dylatacja (jest funkcją harmoniczną)
Warunek na funkcję harmoniczną:
∇ 2 f =0
(7.2)
∇ 4 f =0
(7.3)
Warunek na funkcję biharmoniczną:
7.2. Dylatacja – dowód
W dalszych rozważaniach przeprowadzimy dowód na to, iż dylatacja - υ jest funkcją harmoniczną.
Powinna zatem spełniać warunek określony wzorem (7.2):
∇
2
=0
Pamiętamy, że:
2
2
2
∇2 = ∂ 2  ∂ 2  ∂ 2
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(7.4)
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
Możemy zatem zapisać, że:
⋅u i , jj u j , j i =0
Różniczkujemy obustronnie po i:
⋅u i , jj u j , j i =0
/,i
⋅u i , j j i u j , j i i =0
Zauważamy że
u i , i j j , można zapisać jako u j , j i i , co w rezultacie daje:
⋅u j , j i i u j , j i i =0
u j , j i i⋅2 ⋅=0
Korzystając z tego że uj,j = υ oraz
f ,ii =∇ 2 f otrzymamy odpowiednio:
A , i i =0
∇ 2 A=0
Co należało dowieść.
Wniosek:
Dylatacja jest więc funkcją harmoniczną – spełnia równanie funkcji harmonicznej
7.3. ui – funkcja biharmoniczna. Dowód
Jeżeli funkcja ui jest funkcją biharmoniczną, powinna spełniać równanie
udowodnić:
∇ 4 u i =0 , co należy
⋅∇ 2 ui u j , j i =0
⋅∇ 2 u i 
Na wyrażenie działamy operatorem Laplace'a
,i
=0
∇2
i w wyniku tego otrzymujemy:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
⋅∇ 4 u i  ∇ 2
Gdzie drugi człon wyrażenia
 ∇ 2
,i
,i
3
=0
jest równy zero (patrz dowód 7.2.). Mamy zatem:
⋅∇ 4 u i =0
(7.5)
∇ 4 u i =0
(7.6)
Co należało dowieść.
7.4. Równania teorii sprężystości wyrażone w naprężeniach
(Równania Beltrami – Mitchel'a).
Na wcześniejszych wykładach zapisaliśmy równania
przemieszczeniach. Równanie fizyczne wyrażało się poprzez:
teorii
sprężystości
wyrażone
w
 ij =2  ij ij kk
Równanie to możemy zapisać w następującej postaci:
ij =
1

⋅ ij − ⋅s ij
E
E
, gdzie s= kk
(7.7)
Wzór 7.7. podstawiamy do równania nierozdzielności odkształceń:
ij , kl kl , ij −ik , j l − j l , ik =0
(7.8)
1

[ ij , kl  kl , ij − ik , j l − j l ,ik ]− [ s , kl ij s ,ij kl −s , j l ik −s , ik  j l ]=0
E
E
(7.9)
Otrzymamy:
Możemy dokonać zwężenia, jeżeli równanie powyżej bedzie spełnione dla dowolnej kombinacji
wskaźników, to będzie także spełnione dla k = l:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
 ij , kk  kk , ij − ik , jk − jk , ik =
4

[ s  s  −s  −s  ]
1  , kk ij , ij kk , jk ik , ik jk
(7.10)
Następnie można zauważyć że:
 ij , kk =∇ 2  ij oraz  kk , ij =sij
w lewym członie równania:
w prawym członie równania:
s , kk ij =ij ∇ 2 s ,  kk =3 , s , jk ik =s , ij , s , ik  jk =s , ij
∇ 2  ij s ,ij − ik , jk − jk ,ik =

[ ∇ 2 s3 ⋅s , ij −s , ij −s ,ij ]
1  ij
(7.1)

[ ∇ 2 ss , ij ]
1  ij
(7.12)
∇ 2  ij s , ij − ik , jk − jk , ik =
∇ 2  ij s ,ij [1−


]− ik , jk − jk , ik =
 ∇2 s
1 
1  ij
(7.13)
Korzystamy z równań równowagi Naviera:
 ik , k  pi =0
/, j
 ik , kj  pi , j =0
 jk , k  p j =0
(7.14)
/,i
 jk , ki  p j , i =0
(7.15)
Podstawiamy równania 7.14 oraz 7.15 do równania 7.13 i otrzymujemy:
∇ 2  ij s ,ij [1−
∇ 2  ij 


] pi , j  p j , i =
 ∇2 s
1 
1  ij

1
s ,ij −
 ∇ 2 s=−[ pi , j  p j ,i ]
1
1 ij
(7.16)
(7.17)
Dokonujemy mnożenia wewnętrznego (kontrakcji) i = j:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
∇ 2  ii 
∇ 2 s
5

1
s , ii −
 ∇ 2 s=−[ pi , i  pi , i ]
1
1 ii
(7.18)

1
∇ 2 s−3 ⋅
∇ 2 s=−2 ⋅pi , i
1
1
(7.19)
∇ 2 s=−
1 
p
1 − i , i
(7.20)
Podstawiamy równanie 7.20 do równania 7.17 i otrzymujemy:
∇ 2  ij 

1
s =−
 p −[ pi , j  p j ,i ]
1 , ij
1− ij k , k
(7.21)
Uzyskaliśmy w ten sposób równanie Beltrami – Mitchel'a.
Przykład: Rozpiszemy równanie Beltrami – Mitchel'a dla i = 1 oraz j =1:
∇ 2  11
∇ 2  11
∇ 2  11

1
s =−
 p −[ p1,1  p1,1 ]
1 ,11
1− 11 k , k
 ∂ p1 ∂ p 2 ∂ p 3
1 ∂2 s
=−
[


]−2 ⋅p1,1
2
1 ∂ x 1
1− ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3
2
2
2
 ∂ p1 ∂ p 2 ∂ p 3
1 ∂  11 ∂  22 ∂  33
[


]=−
[


]−2 ⋅p 1,1
2
2
2
1 ∂ x 1
1− ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3
∂ x1
∂ x1
7.5. Podstawy energetyczne
W każdym punkcie na ciało działają siły masowe i powierzchniowe. Całkowita energia ciała
sprężystego, które doznaje odkształcenia 
u wyraża się wzorem:
L=
gdzie:
1 
∫ f ⋅u dS  12
2 S
∫ p⋅u dV
(7.22)
V

f - siły powierzchniowe
p - siły masowe
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
6
Zapisując skalarowo:
L=
1
1
f i⋅u i dS 
∫
2 S
2
∫ pi⋅ui dV
(7.23)
V
f n
i = ji⋅ nj = f i = ji⋅n j
(7.24)
Podstawiając 7.24 do 7.23 otrzymamy:
L=
1
1
∫  ⋅n ⋅u dS  2
2 S ji j i
∫ pi⋅ui dV
(7.25)
V
Korzystając z twierdzenia Gaussa – Greena – Ostrogradzkiego:
∫ Ak⋅nk dS =∫ Ak , k dV
S
V
podstawiając za A j = ji⋅u i
Otrzymamy:
∫  ji⋅ui ⋅n j ds=∫  ji⋅ui , j dV
(7.26)
∫  ji⋅ui ⋅n j ds=∫ [ ji , j⋅ui  ji⋅ui , j ]dV
(7.27)
s
V
s
V
Podstawiając wzór 7.27 do wzoru 7.25 otrzymamy:
L=
1
∫ [ ji , j⋅ui ji⋅ui , j pi⋅ui ]dV
2 V
(7.28)
1
∫ [ ji , j pi ⋅ui  ji⋅ui , j ]dV
2 V
(7.29)
L=
Gdzie zgodnie z równaniami równowagi Naviera:
L=
 ji , j  pi =0 zatem:
1
∫  ⋅u dV
2 V ji i , j
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(7.30)
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
Ponieważ
7
 ji⋅u i , j = ij⋅u j , i zatem możemy zapisać, że:
1
1
 ji⋅u i , j = ⋅ ji⋅u i , j  ⋅ ij⋅u j , i
2
2
(7.31)
Podstawiamy wyrażenie 7.31 do wzoru 7.30:
L=
1
1
1
[ ⋅ ji⋅u i , j  ⋅ ij⋅u j , i ]dV
∫
2 V 2
2
(7.32)
1
1
∫ [ ⋅ ⋅u u j , i ]dV
2 V ij 2 i , j
(7.33)
1
∫ [ ⋅ ]dV
2 V ij ij
(7.34)
L=
L=
Jeżeli na ciało sprężyste działa obciążenie zewnętrzne to wielkość pracy jaką te siły wykonają wyraża
się wzorem 7.34:
L=
1
∫ [ ⋅ ]dV
2 V ij ij
(energia zmagazynowana w ciele)
Energię właściwą (energię jednostkową) wyrażamy wzorem:
W=
o
T ij
1
 ⋅
2 ij ij
(7.35)
- aksjator (odpowiada za zmianę objętości)
T ij

- dewiator (odpowiada za zmianę postaci)
T d
ij
1
T o
ij = ⋅T kk⋅ij
3
(7.36)
1

T d
ij =T ij − ⋅T kk⋅ij
3
(7.37)
Wzór 7.35 możemy wyrazić poprzez  ij oraz ij jako sumę aksjatorów i dewiatorów:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
W=
1 o

o
d 
[  d
ij ]⋅[ij ij ]
2 ij
8
(7.38)
Wykorzystując zależności 7.36 i 7.37 otrzymamy:
 o
 d
ij ⋅ij =[ ij −
gdzie:
1
1
1
1
 ⋅ ]⋅[ ⋅ ⋅ ]= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3 kk ij 3 l l ij 3 ij l l ij 9 kk l l ij ij
ij⋅ij =3
1
1
1
1
 o
 d
ij ⋅ij = ⋅ ij⋅l l⋅ij − ⋅3 ⋅ kk⋅ l l = ⋅ kk⋅l l − ⋅ kk⋅l l =0
3
9
3
3
(7.39)
Analogicznie otrzymamy:
d 
o
ij ⋅ij =[
1
1
1
1
1
1
 ⋅ ]⋅[ − ⋅ ⋅ ]= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =0
3 kk ij ij 3 l l ij 3 kk ij ij 9 kk l l ij ij 3 kk l l 3 kk l l
(7.40)
Oznacza to że odkształcenia normalne nie pracują na kątach obrotu.
Podstawiając wyżej otrzymane zależności (7.39 i 7.40) do wzoru:
W=
1 o o
d 
d  o
d  d 
[ ⋅  o
ij ⋅ij  ij ⋅ij  ij ⋅ij ]
2 ij ij
(7.41)
Otrzymamy:
1
1 d  d 
o
o
d 
W = ⋅ o
ij ⋅ij  ⋅ ij ⋅ij =W W
2
2
(7.42)
Całkowita energia właściwa jest równa sumie energii odkształcenia postaciowego i energii
odkształcenia objętościowego.
1−2 ⋅
1
1 o 1−2 ⋅ 1
1 1−2 ⋅
o
W o= ⋅ o
 ij ⋅
⋅ ⋅ kk⋅ij = ⋅
⋅[ l l⋅ij⋅ kk⋅ij ]=
⋅ l l⋅ kk
ij ⋅ij =
2
2
E
3
6
E
6 ⋅E
W o=
1−2 ⋅
1−2 ⋅ 2 1−2 ⋅ 2
⋅ l l⋅ kk =
⋅ lkk =
⋅I 1
6 ⋅E
6 ⋅E
6 ⋅E
(7.43)
Gęstość energii aksjatora wyraża się wzorem:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
W o=
1−2 ⋅ 2
⋅I 1 
6 ⋅E
9
(7.44)
Gdzie I 1 jest to pierwszy niezmiennik stanu naprężenia.
Gęstość energii wynikającą z pracy dewiatora wyprowadzamy w następujący sposób:
ij =
1
⋅ d
2 G ij
(7.45)
Zatem:
W d =
1 d d 1 d 1
1
  = 
d =
d d
2 ij ij 2 ij 2 G ij 4 G ij ij
(7.46)
Drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco:

I d
2  =−
1 d d
 
2 ij ij
(7.47)
Gęstość energii dewiatorów można przedstawić następująco:
W d =−
1
⋅I d 
2 G 2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(7.48)
AlmaMater