wyznaczanie przemieszczeń w kratownicy

Wyznaczanie przemieszczeń w kratownicy
N P ⋅ Lp ⋅ N P
N⋅N
δ =∫
dL = ∑
EA
E P AP
P =1
L
n
Całkujemy siły normalne na poszczególnych prętach
i sumujemy dla całej konstrukcji
Zadanie: Wyznacz przemieszczenie pionowe węzła A
z zasady prac wirtualnych, EA=const
4
18kN
A 16kN
3
3
Wyznaczenie reakcji
4
18kN
H1=18kN
2
1
A 16kN
V1 =4kN
3
V2 =20kN
3
Wyznaczenie sił w prętach od obciążenia zewnętrznego
4
18kN
S1
H1=18kN
4
G1
3
K1
S2
K2
D1
1
D2
2
A 16kN
V1 =4kN
3
V2 =20kN
3
Wykres sił normalnych w kratownicy
18kN
4
15
3
N
5
H1=18kN
18
4
4
1
20
25
15
[kN]
2
A 16kN
V1 =4kN
3
V2 =20kN
3
4
Obciążenie wirtualne
2
1
A
3
1
3
4
Obciążenie wirtualne
H1=0
2
1
A
V1 =1/2
3
1
V2 =1/2
3
Wyznaczenie sił od obciążenia wirtualnego
4
4
S1
G1
K1
3
K2
S2
D1
H1=0
1
D2
A
V1 =1/2
3
2
1
V2 =1/2
3
Wykres sił od obciążenia wirtualnego
4
3
3/8
N
4
1/2
5/8
1/2
H1=0
5/8
3/8
1
A
V1 =1/2
3
1
2
V2 =1/2
3
Wyznaczenie przemieszczenia
18kN
4
3
15
N
5
4
4
H1=18kN
20
25
18
15
1
[kN]
2
A 16kN
V1 =4kN
V2 =20kN
3
4
3
3
3/8
N
4
1/2
5/8
1/2
H1=0
5/8
3/8
1
A
V1 =1/2
3
1
2
V2 =1/2
3
1
(4 ⋅ (−0,5) ⋅ 4 + 20 ⋅ 0,5 ⋅ 4)
vA =
EA
1 
3
 3 
+
 0 ⋅ 18 ⋅ 3 + 15 ⋅ ⋅ 3 − 15 ⋅  −  ⋅ 3 
EA 
8
 8 
1 
5
5 
+
 − 5 ⋅ ⋅ 5 − 25 ⋅ ⋅ 5 
EA 
8
8 
513
=
4 EA
Metoda Sił
Metoda Sił
• Metoda rozwiązywania układów statycznie
niewyznaczalnych
• Układy statycznie niewyznaczalne –
układy mające więcej reakcji niż liczba
równań równowagi
• Liczba niewiadomych reakcji określa
stopień statycznej niewyznaczalności
Stopień statycznej niewyznaczalności dla belek
i ram bez obwodu zamkniętego:
ns = lr − l P − 3
lr – liczba reakcji w układzie
lP – liczba przegubów z uwzględnieniem ich krotności
3 – liczba równań równowagi na płaszczyźnie
Metoda Sił – tok postępowania
• Wyznaczamy stopień statycznej
niewyznaczalności układu
ns = 5 − 0 − 3 = 2
Układ dwukrotnie statycznie niewyznaczalny
Metoda Sił – tok postępowania
• Konstrukcję pozbawiamy więzów, tak aby powstał
układ statycznie wyznaczalny i geometrycznie
niezmienny
Metoda Sił – tok postępowania
• W miejscu usuniętych więzów wprowadzamy nadliczbowe
niewiadome – uogólnione siły,
zamiast blokady przesuwu – siły skupione
zamiast blokady obrotu - moment
X1
X2
Metoda Sił – tok postępowania
• Obciążamy schemat podstawowy pierwszą nadliczbową
X1=1
11
21
X1=1
d11 – wartość przemieszczenia
na kierunku działania X1,
pod wpływem obciążenia
układu podstawowego
siłą X1 =1
d21 –
wartość przemieszczenia
na kierunku działania X2,
pod wpływem obciążenia
układu podstawowego
siłą X1 =1
Metoda Sił – tok postępowania
• Wyznaczenie d11
M 1M
M 1M 1
δ 11 = ∫
ds = ∫
ds
EI
EI
s
s
M1
X1=1
M
1
Metoda Sił – tok postępowania
• Wyznaczenie d21
δ 21
M1
X1=1
M
1
M2
X2=1
M 1M
M 1M 2
=∫
ds = ∫
ds
EI
EI
s
s
Metoda Sił – tok postępowania
• Obciążamy schemat podstawowy drugą nadliczbową X2=1
d22 –
12
22
X2=1
d12 –
wartość przemieszczenia
na kierunku działania X2,
pod wpływem obciążenia
układu podstawowego
siłą X2 =1
wartość przemieszczenia
na kierunku działania X1,
pod wpływem obciążenia
układu podstawowego
siłą X2 =1
Metoda Sił – tok postępowania
• Wyznaczenie d22 i d12
11
δ 22
M 2M 2
=∫
ds
EI
s
δ 12
M 1M 2
=∫
ds
EI
s
21
X1=1
M1
X1=1
12
22
X2=1
M2
X2=1
Metoda Sił – tok postępowania
• Wpływ obciążenia zewnętrznego - d10 i d20
11
21
X1=1
M1
X1=1
d10 –
wartość przemieszczenia
na kierunku działania X1,
pod wpływem obciążenia
układu podstawowego
obciążeniem zewnętrznym
12
22
X2=1
M2
X2=1
M0
d20 – wartość przemieszczenia
na kierunku działania X2,
pod wpływem obciążenia
układu podstawowego
obciążeniem zewnętrznym
Metoda Sił – tok postępowania
• Wpływ obciążenia zewnętrznego - d10 i d20
11
21
X1=1
δ 10
M 1M 0
=∫
ds
EI
s
δ 20
M 2M 0
=∫
ds
EI
s
M1
X1=1
12
22
X2=1
M2
X2=1
M0
Metoda Sił – tok postępowania
• Ogólnie – w przypadku belek i ram pod obciążeniem
statycznym
11
21
X1=1
δ jk = ∫
s
M1
X1=1
δ j0 = ∫
12
s
22
X2=1
M2
X2=1
M0
M jMk
EI
M jM0
EI
ds
ds
Metoda Sił – tok postępowania
W rzeczywistym schemacie statycznie niewyznaczalnym
przemieszczenia w miejsce podpór są równe 0, stąd
Przemieszczenie na podporze 1
11
21
X1=1
δ 1 = δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + δ 10 = 0
M1
X1=1
Przemieszczenie na podporze 2
12
22
X2=1
M2
X2=1
M0
δ 2 = δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + δ 20 = 0
Układ równań kanonicznych metody sił
dla schematu dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego:
δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + δ 10 = 0
⇒ X1, X 2

δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + δ 20 = 0
11
21
X1=1
M1
X1=1
12
Wyznaczenie wartości momentu w punkcie „i”
od obciążenia zewnętrznego dla układu
statycznie niewyznaczalnego:
22
X2=1
M2
X2=1
M0
M i = M i1 ⋅ X 1 + M i 2 ⋅ X 2 + M i 0
Metoda sił – tok postępowania, podsumowanie:
• Obliczenie stopnia statycznej niewyznaczalności,
• Przyjęcie schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego
• Wrysowane wykresów od nadliczbowych X1,, X2 ,…, Xn
• Wyznaczenie współczynników układu równań
δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + ... + δ 1n ⋅ X n + δ 10 = 0
δ ⋅ X + δ ⋅ X + ... + δ ⋅ X + δ = 0
 21 1
22
2
2n
n
20

.................................................................
δ n1 ⋅ X 1 + δ n 2 ⋅ X 2 + ... + δ nn ⋅ X n + δ n 0 = 0
• Rozwiązanie równań i obliczenie nadliczbowych X1, X2, …,X3
• Wyznaczenie wartości momentów w charakterystycznych
punktach na podstawie wzoru:
M i = M i1 ⋅ X 1 + M i 2 ⋅ X 2 + M i 0
• Wyznaczenie wykresów sił T i N na podstawie wykresów momentów