STABILNOŚĆ OBSERWATORA PROPORCJONALNEGO Z

ELEKTRYKA
Zeszyt 3 (215)
2010
Rok LVI
Tadeusz BIAŁOŃ
Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach
Arkadiusz LEWICKI
Katedra Automatyki Napędu Elektrycznego, Politechnika Gdańska
Roman NIESTRÓJ
Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach
Marian PASKO
Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach
STABILNOŚĆ OBSERWATORA PROPORCJONALNEGO
Z DODATKOWYMI INTEGRATORAMI NA PRZYKŁADZIE
OBSERWATORA STRUMIENI MAGNETYCZNYCH SILNIKA
INDUKCYJNEGO
Streszczenie. W artykule opisano zagadnienia związane ze stabilnością
proporcjonalnego obserwatora Luenbergera z dodatkowymi integratorami. Udowodniono,
Ŝe istnieje klasa obiektów obserwowanych, dla których rozwaŜany obserwator jest
zawsze niestabilny, niezaleŜnie od doboru jego wzmocnień. Przedstawiono równieŜ
warunki stabilności. Problem stabilności rozwiązano zastępując dodatkowe integratory
integratorami zmodyfikowanymi. Wykazano, Ŝe właściwy dobór parametrów
zmodyfikowanych integratorów i wzmocnień obserwatora zapewnia jego stabilność dla
kaŜdego obiektu obserwowanego. Przedstawiono równieŜ wyniki badań laboratoryjnych
uzyskane dla obserwatora strumieni magnetycznych silnika indukcyjnego.
Słowa kluczowe: silnik indukcyjny, obserwator Luenbergera, stabilność
STABILITY OF A PROPORTIONAL OBSERVER WITH ADDITIONAL
INTEGRATORS ON THE EXAMPLE OF THE FLUX OBSERVER
OF INDUCTION MOTOR
Summary. The paper describes issues connected with stability of a proportional
Luenberger observer with additional integrators. It is proven that there exists a class of
observed systems for which discussed observer is always unstable, independent of its
gains selection. Stability conditions are presented as well. The problem of stability is
solved by replacing additional integrators with modified integrators. It is shown that
proper selection of parameters of modified integrators and observer’s gains ensures its
stability for every observed system. Experimental results are also presented, these were
obtained for the observer of magnetic fluxes of induction motor.
Keywords: induction motor, Luenberger observer, stability.
30
T. Białoń, A. Lewicki, R. Niestrój, M. Pasko
1. WPROWADZENIE
Odtwarzanie strumieni wirnika silnika indukcyjnego przy uŜyciu proporcjonalnego
obserwatora Luenbergera jest dobrze opisane w literaturze [1, 2] i często stosowane
w praktyce. Obserwator proporcjonalny wymaga informacji o prędkości kątowej silnika,
traktowanej jako sygnał wejściowy obserwatora. Szumy pomiarowe oraz inne zakłócenia
nakładające się na prędkość silnika mają jednak decydujący wpływ na jakość odtwarzania
obserwatora. Wpływ ten moŜe być zmniejszony przez wprowadzenie do struktury
obserwatora proporcjonalnego dodatkowych integratorów [3]. Wtedy sygnały odpowiadające
zakłóceniom nałoŜonym na prędkość silnika są traktowane jako niedostępne pomiarowo
wymuszenia.
2. OBIEKT OBSERWOWANY
Biliniowy stacjonarny obiekt dynamiczny z niedostępnymi pomiarowo wymuszeniami
moŜna opisać układem równań macierzowych w wielkościach względnych [2], składającym
się z róŜniczkowego równania stanu (1) oraz algebraicznego równania wyjścia (2):
p


t b x& =  A + ∑ ui Ai  x + B1d + B2 u,
i =1


(1)
y = Cx,
(2)
gdzie: x ∈ Rn – wektor stanu, u ∈ Rp – wektor wymuszeń, y ∈ Rq – wektor wyjść, d ∈ Rz –
wektor zakłóceń (niedostępnych pomiarowo wymuszeń), A, A3, B1, B2 i C – macierze
o odpowiednich wymiarach i rzeczywistych, stałych wartościach elementów, ui – i-ty element
wektora u, tb – czas odniesienia.
3. OBSERWATOR Z DODATKOWYMI INTEGRATORAMI
Zmienne stanu obiektu opisanego równaniami (1) i (2), zawarte w wektorze x mogą być
odtwarzane za pomocą biliniowego, stacjonarnego proporcjonalnego obserwatora
Luenbergera z dodatkowymi integratorami [3, 4, 5], przedstawionego równaniem (3):
Stabilność obserwatora proporcjonalnego…
31
p


1
tb xˆ& =  A + ∑ ui Ai  xˆ + B2 u + K (Cxˆ − y ) + B1 Kν
tb
i =1


1
+ B1 Kν −1 2
tb
t t
∫ ∫ (Cxˆ − y )dτ
2
+ K + B1 K1
0 0
1
ν
tb
t
t
∫ (Cxˆ − y )dτ +
0
t
ν
∫0 L∫0 (Cxˆ − y )dτ ,
{
(3)
ν
gdzie: x̂ – odtwarzany wektor stanu x, K, Ki – macierze wzmocnień o odpowiednich
wymiarach i rzeczywistych wartościach elementów, ν – liczba dodatkowych integratorów.
Schemat blokowy odpowiadający równaniu (3) przedstawiono na rysunku 1.
Rys. 1. Schematy blokowe biliniwego obiektu dynamicznego i obserwatora z dodatkowymi
integratorami
Fig. 1. Block diagrams of the bilinear dynamic system and the observer with additional integrators
Równanie błędu obserwatora [3, 6] moŜna zapisać w następujący sposób (pominięto
wymuszenia związane z zakłóceniami):
t b ε& = E (u)ε,
(4)
gdzie: ε – wektor błędów, E(u) – macierz stanu obserwatora określająca jego stabilność
i właściwości dynamiczne, zdefiniowana następująco:
E (u) = Aˆ (u ) + Kˆ Cˆ ,
(5)
32
T. Białoń, A. Lewicki, R. Niestrój, M. Pasko
gdzie:
p

 A + ∑ ui Ai
i =1

Aˆ (u ) = 
0 z×n
 0 z (ν −1)×n


[
Kˆ = K T
K1
T
K Kν
0n× z (ν −1)
0n× z (ν −1)
I z (ν −1)
T
],
T



0 z× z ,
0 z (ν −1)× z 


B1
[
Cˆ = C
(6)
]
0 q× zν .
(7)
Przez 0z×n oznaczono z-wierszową, n-kolumnową macierz zerową, oraz przez In
oznaczono macierz jednostkową n-tego rzędu.
Dobór parametrów obserwatora polega na takim ustaleniu wartości elementów
wszystkich macierzy wzmocnień K, aby wszystkie wartości własne macierzy E były połoŜone
w lewej części płaszczyzny zespolonej (ich wartości własne miały części rzeczywiste
mniejsze od zera). JeŜeli warunek ten nie jest spełniony, to obserwator jest niestabilny.
4. SILNIK INDUKCYJNY JAKO OBIEKT OBSERWOWANY
RozwaŜany model matematyczny silnika indukcyjnego, klatkowego jest opisany za pomocą czterech równań róŜniczkowych dla uzwojeń stojana i wirnika, zapisanych w prostokątnym układzie współrzędnych α-β zorientowanym względem uzwojenia stojana [7]:
t bψ& sα + Rs isα = u sα ,
(8)
t b ψ& sβ + Rs isβ = u sβ ,
(9)
t bψ& rα + ωψ rβ + R r i rα = 0,
(10)
t bψ& rβ − ωψ rα + Rr i rβ = 0,
(11)
oraz czterech równań algebraicznych:
ψ sα = Ls isα + Lm i rα ,
(12)
ψ sβ = Ls isβ + Lm i rβ ,
(13)
ψ rα = Lr i rα + Lm isα ,
(14)
ψ rβ = Lr irβ + Lm isβ ,
(15)
Stabilność obserwatora proporcjonalnego…
33
gdzie: usα, usβ – napięcia uzwojenia stojana; isα, isβ, irα, irβ – prądy uzwojeń stojana i wirnika;
ψsα, ψsβ, ψrα, ψrβ – strumienie magnetyczne sprzęŜone z uzwojeniami stojana i wirnika; Rs, Rr,
Ls, Lr, Lm – parametry schematu zastępczego silnika indukcyjnego.
Model matematyczny silnika został przekształcony do postaci równań stanu (1) i (2), przy
załoŜeniu następujących postaci wektorów stanu, wymuszeń i wyjść:
[
]
T
x = ψ sα ψ sβ ψ rα ψ rβ ,
[
(16)
ω] ,
(17)
]
(18)
T
u = u sα
u sβ
[
T
y = isα
is β .
Biorąc pod uwagę zakłócenia δω nakładające się na prędkość kątową silnika ω oraz
równania (10) i (11), wektor zakłóceń zdefiniowano jako:
[
]
T
d = − ψ rα δω ψ rβ δω .
(19)
Dla rozpatrywanego modelu silnika n = 4, p = 3, q = z = 2, macierze A, Ai, B1, B2 i C
mają wartości elementów zaleŜne tylko od parametrów schematu zastępczego silnika.
W szczególności:
 RLI
A=γ s r 2
− R r Lm I 2
− Rs L m I 2 
0 
, B1 =  2×2  ,

R r Ls I 2 
 J 
0
A1 = A2 = [0]4×4 , A3 =  2×2
0 2×2
C = γ [− Lr I 2
0 2×2 
,
J 
Lm I 2 ] ,
(20)
(21)
(22)
gdzie:
(
γ = Lm 2 − Ls Lr
)
−1
0 − 1
, J =
.
1 0 
(23)
5. STABILNOŚĆ OBSERWATORA
Stabilność asymptotyczna obserwatora moŜe być zapewniona tylko wtedy, gdy macierz
stanu obserwatora E jest nieosobliwa, jednakŜe dla silnika, opisanego macierzami od (20) do
(22), rząd macierzy E jest zawsze mniejszy od liczby jej wierszy. Macierz E składa się
z sumy macierzy  i iloczynu macierzy K̂ i Ĉ (5). Z postaci macierzy  (6) wynika, Ŝe ma
ona z = 2 wierszy wypełnionych zerami. Maksymalny rząd iloczynu macierzy K̂ i Ĉ jest
34
T. Białoń, A. Lewicki, R. Niestrój, M. Pasko
równy ich najmniejszemu wymiarowi q = 2, co powoduje, Ŝe iloczyn ten zawiera tylko dwa
liniowo niezaleŜne wiersze. Z (7) i (22) wynika, Ŝe dowolny i-ty wiersz tego iloczynu moŜna
zapisać następująco:
q
∑ ki , j c j ,1 K
 j =1

= γ − ki ,1 Lr

q
∑k
j =1
q
K
i , j c j ,m
− ki , 2 Lr
∑k
j =1
ki ,1 Lm
i, j

c j , n + zν  =

ki , 2 Lm

0 K 0 ,
1424
3
2ν

(24)
gdzie ki,j i cj,m są odpowiednio elementami macierzy K̂ i Ĉ . Ostateczna postać i-tego wiersza
iloczynu jest kombinacją liniową dwóch pierwszych wierszy macierzy  , co wynika z (6),
(20) i (21). Dlatego więc iloczyn macierzy K̂ i Ĉ nie zwiększa rzędu macierzy E, która
pozostaje osobliwa.
Udowodniono, Ŝe macierz stanu obserwatora E dla silnika indukcyjnego jest zawsze
osobliwa i ma co najmniej z = 2 wartości własnych równych zeru, co jest przyczyną
niestabilności obserwatora.
Ogólnie, dla kaŜdego obiektu obserwowanego, obserwator z dodatkowymi integratorami
jest zawsze niestabilny, gdy następująca nierówność jest prawdziwa [6]:
p

  A + ∑ ui Ai
rank 
i =1
 
C


B1  
< n + z.
 
0q× z  
(25)
Stabilność obserwatora moŜe być zapewniona przez zastąpienie dodatkowych integratorów integratorami zmodyfikowanymi, opisanymi w pracach [6, 8]. Opisane w tych pracach
integratory zawierają w swojej strukturze korekcyjne sprzęŜenie zwrotne, załączane, gdy
sygnał wyjściowy integratora przekroczy pewną zadaną wartość. Integratory te, zastosowane
w obserwatorze w celu zapewnienia jego stabilności, muszą mieć sprzęŜenie zwrotne
załączone na stałe, co pozwala uprościć ich strukturę [6], sprowadzając ją do postaci obiektu
inercyjnego opisanego równaniem stanu:
tb g& = h − ωc g ,
(26)
gdzie przez g i h oznaczono odpowiednio sygnały wyjściowy i wejściowy integratora, przez
ωc oznaczono pulsację graniczną integratora. Zastosowanie zmodyfikowanych integratorów
jest równieŜ konieczne w celu uchronienia obserwatora przed kumulacją składowej stałej [4,
6]. Obiekty inercyjne opisane równaniem (26) mają wpływ na postać macierzy E,
wprowadzając dodatkowe niezerowe elementy, zwiększają jej rząd. Nowa postać macierzy E
moŜe być zapisana następująco:
Stabilność obserwatora proporcjonalnego…
35
0n× n 0n× z
0
ωc 1 I z
ˆ
E ( u) = E ( u) −  z × n
 M
M

0 z × n 0 z × z
L 0n× z 
L 0z × z 
,
O
M 

L ωc ν I z 
(27)
gdzie przez ωci oznaczono pulsację graniczną i-tego obiektu inercyjnego (dodatkowego
integratora). Nierówność (25) równieŜ przyjmuje nową postać:
p

  A + ∑ ui Ai
rank 
i =1
 
C


B1  
< n.
 
0q× z  
(28)
p


Zakładając, Ŝe macierz stanu obiektu obserwowanego  A + ∑ ui Ai  jest nieosobliwa,
i =1


nierówność (28) jest zawsze nieprawdziwa, dlatego teŜ stabilność obserwatora jest zawsze
moŜliwa do zapewnienia i zaleŜy tylko od doboru jego wzmocnień.
6. WYNIKI BADAŃ LABORATORYJNYCH
Badania laboratoryjne zostały przeprowadzone na
w laboratorium Katedry Automatyki Napędu Elektrycznego.
Politechnice
Gdańskiej,
RozwaŜany obserwator został zastosowany do odtwarzania strumieni magnetycznych
silnika indukcyjnego pracującego w multiskalarnym układzie sterowania [9, 10, 11].
Wykorzystano silnik indukcyjny klatkowy typu AAUZD o mocy znamionowej 3 kW,
zasilany z falownika napięcia. Obserwator pracuje jako model przestrajany w strukturze
estymatora typu MRAS [12], odtwarzającego prędkość kątową silnika (rys. 2).
Rys. 2. Schemat blokowy estymatora typu MRAS do odtwarzania prędkości kątowej i strumieni
magnetycznych
Fig. 2. Block diagram of MRAS-type estimator for angular speed and magnetic fluxes reconstruction
36
T. Białoń, A. Lewicki, R. Niestrój, M. Pasko
Jednym z wejść obserwatora jest prędkość odtwarzana przez estymator. W celu
zmniejszenia wpływu błędów odtwarzania prędkości na działanie obserwatora, do jego
struktury zostały wprowadzone dwa (z = 2) dodatkowe integratory. Porównanie właściwości
obserwatora przed i po zastosowaniu obiektów inercyjnych w miejsce dodatkowych
integratorów przedstawiono na rysunku 3.
Rys. 3. Wartości własne obserwatora proporcjonalnego z dwoma dodatkowymi integratorami przed
i po zastosowaniu zmodyfikowanych integratorów
Fig. 3. Eigenvalues of proportional observer with two additional integrators with and without modified
integrators
NajwaŜniejszą róŜnicą pomiędzy nimi jest to, Ŝe bez zmodyfikowanych integratorów ma
dwie wartości własne o częściach rzeczywistych równych zeru, co jest przyczyną jego
niestabilności. W trakcie badań laboratoryjnych przeprowadzono nawrót silnika przy małej
prędkości, równej 10% znamionowej prędkości silnika. Zarejestrowane przebiegi przedstawiono na rysunku 4. Porównanie odtwarzanej prędkości kątowej z mierzoną ukazuje poziom
zakłóceń zawartych w jej przebiegu. Zakłócenia te mają jednak niewielki wpływ na jakość
odtwarzania strumienia wirnika, która jest wystarczająco dobra, aby zapewnić właściwe
działanie układu sterowania. W szczególności, wartość zmiennej stanu x21 [9] jest poprawnie
stabilizowana przez układ sterowania i pozostaje stała.
7. WNIOSKI
Wprowadzenie dodatkowych integratorów do struktury proporcjonalnego obserwatora
strumieni magnetycznych silnika indukcyjnego zwiększa jego odporność na zakłócenia
nakładające się na podawaną na jego wejście prędkość kątową. Zastosowanie obiektów
Stabilność obserwatora proporcjonalnego…
37
inercyjnych w strukturze obserwatora z dodatkowymi integratorami jest konieczne w celu
zapewnienia jego stabilności.
Rys. 4. Wyniki badań laboratoryjnych uzyskane w trakcie nawrotu silnika
Fig. 4. Experimental results obtained during reversal of the motor
BIBLIOGRAFIA
1. Kubota H., Matsuse K., Nakano T.: New adaptive flux observer of induction motor for
wide speed range motor drives. 16th Conf. of IEEE Industrial Electronics Society IECON,
Pacific Grove, 1990, p. 921-926,
2. Orłowska-Kowalska T.: Bezczujnikowe układy napędowe z silnikami indukcyjnymi.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2003.
3. Guo-Ping J., Suo-Ping W., Wen-Zhong S.: Design of observer with integrators for linear
systems with unknown input disturbances. „Electronics Letters” 2000, 13 (36), p. 11681169.
4. Białoń T., Lewicki A., Niestrój R., Pasko M.: Badania porównawcze obserwatorów
z dodatkowymi integratorami w estymatorze typu MRAS strumieni magnetycznych
i prędkości obrotowej silnika indukcyjnego. „Przegląd Elektrotechniczny” 2010, nr 2,
s. 101-106.
5. Białoń T., Pasko M.: Zastosowanie obserwatora rozszerzonego do odtwarzania
elektromagnetycznych strumieni sprzęŜonych i prędkości obrotowej silnika indukcyjnego.
„Przegląd Elektrotechniczny” 2005, nr 1, s. 13-17.
38
T. Białoń, A. Lewicki, R. Niestrój, M. Pasko
6. Białoń T.: Zastosowanie obserwatorów Luenbergera do odtwarzania zmiennych stanu
silnika indukcyjnego. Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2010.
7. Paszek W.: Dynamika maszyn elektrycznych prądu przemiennego. Helion, Gliwice 1998.
8. Hu J., Wu B.: New Integration Algorithms for Estimating Motor Flux over a Wide Speed
Range. „IEEE Trans. on Power Electronics” 1998, 5 (13), p. 969-977.
9. Białoń T., Lewicki A., Pasko M.: Badania obserwatorów proporcjonalnych w muliskalarnym układzie sterowania silnika indukcyjnego. „Przegląd Elektrotechniczny” 2008, nr
9, s. 105-108.
10. Krzemiński Z., Lewicki A., Włas M.: Properties of control systems based on nonlinear
models of the induction motor. EPNC, Poznań 2004, p. 24-26,
11. Krzemiński Z.: Nonlinear control of induction motor. Proceedings of the 10th IFAC
World Congress, Munich 1987, p. 349-354.
12. Niestrój R., Lewicki A., Białoń T., Pasko M.: Odtwarzanie strumieni magnetycznych
i prędkości obrotowej silnika indukcyjnego przy uŜyciu estymatora typu MRAS
z obserwatorem Luenbergera w roli modelu adaptacyjnego. XLV SME, Rzeszów Krasiczyn 2009, s. 23-26.
Recenzent: Prof. dr hab. inŜ. Zbigniew Krzemiński
Wpłynęło do Redakcji dnia 2 października 2010 r.
Abstract
Reconstruction of rotor fluxes of induction motor with use of a proportional Luenberger
observer is well described in literature [1, 2] and frequently used in practice. The proportional
observer requires information about angular speed of the motor, treated as an observer’s input.
However, measurement noise and other disturbances overlaying motor’s speed have crucial
impact on reconstruction quality of the observer. This impact can be decreased with
introduction of additional integrators into the structure of proportional observer [3].
A bilinear time-invariant dynamic system with unmeasured inputs can be described with
a set of matrix equations (1) and (2). State variables of this system may be reconstructed with
use of a bilinear time-invariant proportional Luenberger observer with additional integrators
[3, 4, 5], described with equation (3). Block diagram corresponding to equations (1), (2) and
(3) is shown in the figure 1.
The discussed mathematical model of squirrel-cage induction motor is described
equations from (8) to (15) for stator and rotor windings, written in stator winding oriented α-β
Stabilność obserwatora proporcjonalnego…
39
Cartesian coordinate system. Taking into consideration noises overlaying motor’s angular
speed, disturbance vector (19) was introduced to the mathematical model of the motor.
Asymptotical stability of the observer can be provided only when observer’s state matrix
(5) is non-singular. However, for discussed motor, the rank of this matrix is always less than
number of its rows and the observer remains unstable. Stability of the observer can be
provided by replacing additional integrators with modified integrators, described with state
equation (26). Application of modified integrators is also necessary in order to prevent the
observer from dc-offset accumulation [4, 6].
Discussed observer was applied to reconstruction of magnetic fluxes of induction motor
operating in multiscalar control system. The observer operates as an adjustable model in the
structure of MRAS estimator [12], reconstructing motor’s angular speed (fig.2). Comparison
of properties of the observer before and after application of modified integrators is shown in
the figure 3. Recorded transients are shown in the figure 4.
Conclusions drawn from investigations are placed in chapter 6.