A A A P(A) P(A) Niech S będzie relacją równoważności na X. Wtedy
Transkrypt
A A A P(A) P(A) Niech S będzie relacją równoważności na X. Wtedy
A jest zbiorem. P(A) oznacza rodzinę podzbiorów A. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe: A A B C D A A A P(A) P(A) Niech S będzie relacją równoważności na X. Wtedy: A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ A B C D ⊥ ⊥ ⊥ A B C D S musi być funkcją. S nie może być relacją porządku liniowego, jeśli zbiór X ma przynajmniej dwa elementy. S nie może być relacją porządku częściowego. Klasa abstrakcji każdego elementu zbioru X względem relacji S jest niepusta. Funkcja f: XY jest injekcją ale nie jest surjekcją. Wtedy: ∀A: A⊆X ⇒ f—1(f(A))=A ∃B: B⊆Y ⇒ f—1(B) = X ∀B: B⊆Y ⇒ f—1(B) ≠ ∀B: B⊆C⊆Y ⇒ f—1(B)⊆ f—1(C) Które spośród poniższych operacji są łączne: Suma mnogościowa zbiorów Alternatywa zdań logicznych Składanie funkcji Składanie relacji Niech R będzie relacją porządku liniowego na X. Wtedy: Klasą abstrakcji każdego elementu zbioru X jest zbiór elementów od niego mniejszych. R-1 jest relacją porządku liniowego. R jest relacją porządku częściowego. R2 jest relacją porządku liniowego. Które z poniższych jest tautologią: (∃x p(x) ∃x q(x)) ⇔ ∃x (p(x) q(x)) ∀x (p(x) ⇔ q(x)) ⇔ (∀x p(x) ⇔ ∀x q(x)) ∀x (p(x) q(x)) (∀x p(x) ∀x q(x)) ∃x (p(x) q(x)) ( ∃x p(x) ∃x q(x)) Jeśli zbiory A, B, C są takie, że A \ B = C to prawdziwe są zdania: AB=C AC=B AC=B BC=A O relacji R na zbiorze X ×Y wiemy że R° R-1 jest jednoelementowym podzbiorem X ×X. Wtedy: X musi być zbiorem jednoelementowy. Jeśli R° R-1 ={(x,x)} to jedyne elementy R są postaci (x,y) dla pewnych y ze zbioru Y Relacja R może być funkcją. Relacja R-1° R jest jednoelementowym podzbiorem Y ×Y Wskaż poprawny pełny dowód formuły p ( q p) w systemie naturalnej dedukcji: p,q q p (qp) p(qp) p,q p p (qp) p(qp) p,q (pp) p (qp) p(qp) p (qp) p(qp) Wskaż zbiory uporządkowane według porządku leksykograficznego, jeśli a ≤ b w alfabecie: {a, ab, aab, aabb, aaabbb} {a, aaa, abb, abaaa, abbaa} {a, b, aa, bb, aaa, bbb} {a, aa, aaa, b, bb, bbb} A B C D ⊥ ⊥ A B C D ⊥ A B C D ⊥ ⊥ AB=A AB=A AB= AB=B ⊥ A B C D ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ p p q q p ⊥ A B C D Które z poniższych kawałków dowodów stosują regułę modus ponens (odrywania): (qp) qp (pq) (qp) p (qp) p(qp) Jeśli zbiory A, B są takie, że A B to prawdziwe są zdania: Aby było złożenie f°g: XZ, dowolnych funkcji g:XY i f:YZ było surjekcją: żaden z pozostałych warunków nie jest prawdziwy wystarczy jeśli g jest surjekcją wystarczy jeśli f jest surjekcją potrzeba by f i g były surjekcjami Wskaż zbiory które są drzewami ( ε to korzeń ): {ε, a, aa, aaaa, aaaaaa, aab} {ε, a, aa, aab, aaa, aaaa, aaba} {ε, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aab} {ε, a, b, bb, ab, ba, aa} f: XY jest funkcją. B⊆Y i x f -1(B). Wtedy: A f -1(B) ⇒ B \ f(A) = A (X \ f -1(B)) ⇒ f(A) Y \ B ∃ yB: f(x)=y ∀C, C B ⇒ xf -1(C) Przedziałem na X, (zbiór X z relacją porządku częściowego ≤ ) jest każdy podzbiór X, taki że jeśli x X oraz y ≤ x to y X. Proszę sprawdzić czy są przedziałami: A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D Dowolny podzbiór Y X jeśli relacja ≤ jest diagonalna ( x ≤ y ⇔ x=y) Dowolne drzewo T X, jeśli relacja ≤ jest porządkiem prefiksowym Dowolny nieskończony podzbiór zbioru liczb całkowitych (≤ zwykła relacja) Dowolny przedział [0,p), 0<p<1 dla X=[0,1] (≤ zwykła relacja) Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru A w zbiór B (A, B zbiory niepuste): Jest podzbiorem A×B Jest podzbiorem P(A×B) Jest jednoelementowy wtedy i tylko wtedy jeśli zbiór B jest jednoelementowy Jest bijektywny z A B Wśród poniższych zdań wskaż tautologie: (p q) (q p) (p ¬q) (¬p q) (p q) (q p) p ( q p) Moc zbioru A i moc zbioru B, A B są równe. Wtedy A=B B = A C, i C jest zbiorem przeliczalnym istnieje injekcja z B do A B = A C, i C jest zbiorem o skończonej liczbie elementów Rodzina zbiorów { At }, t T, spełnia: At ≠ dla każdego t T. Wtedy zachodzi: ∀sT ∀ t T As At ≠ ∀sT ∃ t T As \ At ≠ ∃ tT ∀sT As \ At ≠ ∃ sT ∃ tT As At ≠