2. Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji równoważności
Transkrypt
2. Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji równoważności
2. Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji równoważności, relacje porządku. 1 Iloczyn kartezjański Niech dane będą niepuste zbiory X i Y . Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y) takich, że x ∈ X, y ∈ Y , czyli: X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } Inaczej: (x, y) ∈ X × Y ⇔ (x ∈ X ∧ y ∈ Y ) Przykład 1. Niech X = {1, 2, 3}, Y = {α, β}. Wówczas X × Y = {(1, α), (2, α)(3, α), (1, β), (2, β), (3, β)} Przykład 2. Zwróćmy uwagę na fakt, że iloczyn kartezjański nie jest przemienny, tzn. X × Y 6= Y × X. Np. X = {1, 2}, Y = {0, 1}, wtedy: X × Y = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)} ale Y × X = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}. 2 Relacja Niech dane będą niepuste zbiory X i Y . Relacją w zbiorze X × Y nazywamy każdy pozbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y . Relacje zazwyczaj będziemy oznaczać grecką literą ρ. Jeżeli rozpatrujemy relację ρ pomiędzy elementami zbioru X, a elementami zbioru Y , to ρ ⊂ X × Y. Piszemy wtedy, że: • (x, y) ∈ ρ i mówimy, ze para (x, y) należy do relacji ρ, albo • xρy i wtedy mówimy, że element x jest w relacji ρ z elementem y dla x ∈ X, y ∈ Y . Uwaga 1. Jeżeli X jest zbiorem n-elementowym i Y jest zbiorem m-elementowym, to istnieje 2m·n wszystkich relacji w zbiorze X × Y . 1 3 Rodzaje relacji Przyjmijmy, że ρ ⊂ X × X 1. Relacja zwrotna ∀x∈X xρx 2. Relacja przeciwzwrotna ∀x∈X ∼ xρx 3. Relacja symetryczna ∀x,y∈X (xρy ⇒ yρx) 4. Relacja przeciwsymetryczna ∀x,y∈X (xρy ⇒∼ yρx) 5. Relacja antysymetryczna ∀x,y∈X [(xρy ∧ yρx) ⇒ x = y] 6. Relacja przechodnia ∀x,y,z∈X [(xρy ∧ yρz) ⇒ xρz] 7. Relacja spójna ∀x,y∈X (xρy ∨ yρx) 4 Relacja równoważności Relację ρ ⊂ X ×X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Relację równoważności zazwyczaj oznaczamy ≈. Przykład 3. 1. x ≈ y ⇔ x = y, 2. k ≈ l ⇔ k · l > 0 x, y ∈ R k, l ∈ Z\{0} 3. x ≈ y ⇔ x − y ∈ Z x, y ∈ R Relacja jest zwrotna, ponieważ ∀x∈R x−x=0∈Z Relacja jest symetryczna, ponieważ ∀x,y∈R x − y ∈ Z ⇒ y − x = −(x − y) ∈ Z Relacja jest przechodnia, ponieważ ∀x,y,z∈R 5 x − y ∈ Z ∧ y − z ∈ Z ⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ Z Klasa abstrakcji Jeżeli X jest niepustym zbiorem oraz ≈ jest relacją równoważności w tym zbiorze, to zbiory [x], dla x ∈ X, nazywamy klasami abstrakcji relacji ≈ w X. Dokładniej, klasę [x] nazywamy klasą równoważności (abstrakcji) relacji ≈ w X wyznaczoną przez x lub o reprezentacji x, jeśli spełnia warunki: 1. [x] = {y ∈ X : x ≈ y} 2. ∀x,y∈X (y ∈ [x]) ⇔ (x ≈ y) Zbiór wszystich klas równoważności relacji ≈ w X oznaczamy symbolem X/≈ . Twierdzenie 1. Dla dowolnych elementów x, x1 , x2 ∈ X mamy: 2 1. x ∈ [x] 2. [x1 ] = [x2 ] ⇔ x1 ≈ x2 3. [x1 ] 6= [x2 ] ⇒ [x1 ] ∩ [x2 ] = ∅ Twierdzenie 2 (Zasada abstrakcji). Relacja równoważności ≈ określona w zbiorze X ustala podział tego zbioru na podzbiory niepuste i parami rozłączne, czyli na klasy abstrakcji tej relacji, w taki sposób, że dwa elementy x, y ∈ X należą do tej samej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy x ≈ y. Przykład 4. Niech L będzie zbiorem wszystkich prostych na płaszczyźnie. Niech ≈ będzie relacją w L taką, że dla dowolnych prostych k, l ∈ L k≈l ⇔ kkl Relacja ta jest relacją równoważności, ponieważ: Zwrotność: l k l - jeśli proste się pokrywają, to są równoległe Symetryczność: jeśli k k l, to l k k Przechodniość: jeśli k k l i l k m, to k k m, dla m ∈ L. Do klasy równoważności wyznaczonej przez dowolną prostą k, czyli do klasy [k] należy każda prosta l równoegła do k: [k] = {l : l ≈ k} = {l : l k k} Każdą klasę abstrakcji relacji równoważności prostych nazywamy kierunkami. 6 Relacje porządku Relacja ρ jest relacją częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Przykład 5. xρy ⇔ x | y, x, y ∈ N Zwrotność: x | x Antysymetryczność: (x | y ∧ y | x) ⇒ (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y Przechodniość: (x | y ∧ y | z) ⇒ (∃p∈N y = p · x ∧ ∃q∈N z = y · q) ⇒ (∃p,q∈N z = p · x · q) ⇒ x | z Zatem ρ jest relacją częściowego porządku. Relacja ρ jest relacją liniowego porządku, jeśli jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia i spójna. Przykład 6. xρy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ R Zwrotność: x ≤ x Antysymetryczność: (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y Przechodniość: (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z Spójność: x ≤ y ∨ y ≤ x Zatem ρ jest relacją liniowego porządku. 3