1. Niech Y = {1,2,3,4}. Narysuj diagramy następujących relacji w Y
Transkrypt
1. Niech Y = {1,2,3,4}. Narysuj diagramy następujących relacji w Y
Mariusz Urbański, Katarzyna Paluszkiewicz Logika II Relacje Relacja binarna R jest: 1. seryjna w zbiorze X wtw ∀x ∈ X ∃y ∈ X(xRy) 2. zwrotna w zbiorze X wtw ∀x ∈ X(xRx) 3. symetryczna w zbiorze X wtw ∀x, y ∈ X(xRy → yRx) 4. przechodnia w zbiorze X wtw ∀x, y, z ∈ X(xRy ∧ yRz → xRz) 5. euklidesowa w zbiorze X wtw ∀x, y, z ∈ X(xRy ∧ xRz → yRz) 6. równoważnościowa w zbiorze X wtw R jest w X relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią 1. Niech Y = {1, 2, 3, 4}. Narysuj diagramy następujących relacji w Y : (a) (b) (c) (d) (e) R1 R2 R3 R4 R5 = {< 1, 2 >, < 3, 4 >, < 2, 1 >, < 4, 3 >} = {< 1, 2 >, < 1, 3 >, < 1, 4 >, < 2, 3 >, < 2, 4 >, < 3, 4 >, < 4, 4 >} = {< 1, 2 >, < 1, 3 >, < 2, 3 >, < 3, 2 >} = {< 3, 1 >, < 3, 2 >, < 1, 1 >, < 2, 2 >, < 1, 2 >, < 2, 1 >} = {< 1, 2 >, < 2, 1 >, < 1, 1 >, < 2, 2 >, < 4, 3 >, < 3, 4 >, < 4, 4 >, < 3, 3 >} Określ dziedziny, przeciwdziedziny i pola powyższych relacji i sprawdź, czy któraś z nich jest w Y relacją seryjną, zwrotną, symetryczną, przechodnią lub euklidesową. 2. Niech X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wskaż następujące relacje: (a) (b) (c) (d) relacja relacja relacja relacja podzielności w zbiorze X mniejszości w zbiorze X niewiększości w zbiorze X identyczności w zbiorze X 3. Dla każdej z relacji z zadania 2 sprawdź, czy relacja jest: seryjna, zwrotna, symetryczna, przechodnia, euklidesowa. 4. Zapisz formalnie (przy pomocy par uporządkowanych) relacje przedstawione na diagramach (a), (b), (c). Następnie uzupełnij relacje tak, aby posiadały następujące własności: • przechodniość; • euklidesowość; • symetryczność. 2 4 1 0 1 (a) 2 0 3 1 5 (b) 3 (c) 5. Odpowiedz na poniższe pytania, w uzasadnieniu wykorzystaj diagramy relacji lub wskaż kontrprzykład. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Czy Czy Czy Czy Czy Czy Czy każda każda każda każda każda każda każda relacja relacja relacja relacja relacja relacja relacja równoważnościowa jest relacją euklidesową? symetryczna jest relacją euklidesową? przechodnia jest relacją euklidesową? symetryczna i przechodnia jest relacją euklidesową? zarazem seryjna, symetryczna i przechodnia jest relacją równoważnościową? seryjna i euklidesowa jest relacją równoważnościową? zwrotna i euklidesowa jest relacją równoważnościową? 1