3. Obliczanie elementów sprężonych

Transkrypt

BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
3. Obliczanie elementów sprężonych
3.1.
3.1.1.
Elementy obciążone osiowo
Charakterystyki geometryczne przekrojów
Przy obliczaniu charakterystyk geometrycznych przekrojów korzystamy z wcześniejszych ustaleń:
=
+
A
Ac
+
Ap
As
=
A
Acs
Rys. 3.1-1 Pole powierzchni symetrycznego przekroju sprowadzonego
Pole powierzchni przekroju sprowadzonego pokazanego na Rys. 3.1-1 określa wzór:
Acs  Ac   p Ap   s As  A   p  1Ap   s  1As
(3.1-1)
a w sytuacji początkowej elementów kablobetonowych i z cięgnami bez przyczepności:
A'cs  Ac  s As  A  s  1As
(3.1-2)
gdzie: Ac – pole powierzchni przekroju netto betonu podstawowego
Ap – pole powierzchni przekroju cięgien sprężających
As – pole powierzchni przekroju zbrojenia zwykłego (niesprężonego)
A – pole powierzchni przekroju brutto betonu podstawowego
Katedra Konstrukcji Budowlanych
1/26
3.1.2.
Wprowadzenie
Analiza elementów sprężonych i obciążonych osiowo pozwala na zapoznanie się z zachowaniem konstrukcji
sprężonej w porównaniu do równoważnej konstrukcji żelbetowej. Elementy sprężone i obciążone osiowo nie są
typowym przykładem elementów sprężonych, choć występują jako słupy i pale oraz ściągi czy wieszaki w
większych konstrukcjach.
Analiza odnosi się do następujących zagadnień:
1. Dopuszczalnych naprężeń w betonie w sytuacji początkowej (bezpośrednio po sprężeniu)
2. Naprężeń w stanie granicznym użytkowalności w sytuacji trwałej
3. Stanu granicznego nośności w sytuacji trwałej
4. Odkształcenia pod obciążeniem całkowitym
3.1.3.
Analiza sytuacji początkowej
Naprężenia w betonie w sytuacji początkowej przekroju można obliczyć ze wzorów:
w kablobetonie: cp0 
Pm0
P
, w strunobetonie:; cp0  m0
A'cs
Acs
(3.1-3)
gdzie:
A’cs – pole powierzchni przekroju sprowadzonego bez uwzględnienia cięgien sprężających
Acs – pole powierzchni przekroju sprowadzonego z uwzględnieniem cięgien sprężających
Eurokod wymaga, aby te naprężenia nie przekraczały wartości (por punkt 1.6.3) 0,6f ck(t), a w strunobetonie, jeśli
potwierdzono doświadczalnie - 0,7fck(t).
3.1.4.
Analiza w sytuacji trwałej (SLS)
Naprężenia w betonie można obliczyć ze wzorów:
c 
Pm ,
Acs

N
Acs
(3.1-4)
gdzie:
N
siła osiowa wywołana obciążeniem zewnętrznym, + jeśli ściskanie,
Pm,∞
siła sprężająca po stratach całkowitych
Naprężenia c powinny mieścić się w granicach dopuszczalnych, tzn. dla rozciągania |c| ≤ fctm – jeśli
dopuszczamy rozciągania w betonie lub c ≥ 0 – jeśli nie dopuszczamy rozciągań. Dla ściskania, w obszarach
wystawionych na działanie środowisk należących do klas ekspozycji XD, XF i XS właściwe może być ograniczenie
naprężeń ściskających do wartości f ck. Jeśli naprężenie w betonie przekracza 0,45f ck, to należy uwzględnić
pełzanie nieliniowe (patrz 1.6-7).
2/26
3.1.5.
Analiza w sytuacji trwałej (ULS)
Graniczna nośność na rozciąganie przekroju jest opisana równaniem naprężeniowym:
NRd  Fpd  Fyd
(3.1-5)
gdzie:
Fpd  Ap
Fyd  As
fp0 ,1k
s
fyk
s
s
obliczeniowa nośność zbrojenia sprężającego
obliczeniowa nośność zbrojenia zwykłego
częściowy współczynnik stali w ULS równy 1,15
Przyjmując za Eurokodem f pk/f p0,1k ≥ 1,1, obliczeniową nośność cięgien można także określić wzorem:
Fpd  Ap
fpk
(3.1-6)
1,1 s
Graniczna nośność przekroju sprężonego na ściskanie (z pominięciem mimośrodów obciążenia także wywołanych
imperfekcjami) wymaga rozpatrzenia stanu odkształcenia przekroju. Dla przekroju osiowo ściskanego graniczne
odkształcenie wynosi c2 lub c3 (por. Tabl. 1.5-1). Oznaczmy je jako cd.
Skrócenie betonu siłą Pm,oo
cp
Pm,oo
Siły w ULS
cd
Fyd
NRd
Pd
Fyd
fcd
Rys. 3.1-2 Ściskany przekrój osiowo sprężony w ULS
Siła sprężająca w ULS:
Odkształcenie (ściskające) w betonie siłą Pm,∞:
Spadek odkształceń w cięgnach w ULS:
cp 
Pm ,
AcsEcm
(3.1-7)
 p  cd  cp
3/26
P   pE p Ap  cd  cp E p Ap
Spadek siły Pm,∞:
Pd   p ,unfav Pm ,  P 
Siła w ULS:
(3.1-8)
Gdzie p,unfav = 1,3 (Eurokod)
Po wykorzystaniu równania (3.1-7) i uproszczeniach:


Ap 

  cd ApE p 
Pd   p,unfav Pm , 1   p
Acs 



(3.1-9)
Nośność zbrojenia zwykłego w ULS:
Dla cd < yd = fyd/Es: Fyd  As
Dla cd ≥ yd
:
Fyd  As
fyk ud
 s  yk
fyk
s
Warunek równowagi sił w ULS:
NRd  Pd  fcd Ac  Fyd
stąd:
NRd  fcd Ac  Fyd  Pd
(3.1-10)
4/26
3.2.
Sprężone elementy zginane w liniowym rozkładzie naprężeń
3.2.1.
Wprowadzenie
Podobnie jak dla elementów poddanych obciążeniu osiowemu, analiza elementów zginanych wymaga spełnienia
odpowiednich wymagań w odniesieniu do:
1. Dopuszczalnego sprężenia z uwagi na ograniczenie naprężeń w betonie w sytuacji początkowej
(bezpośrednio po sprężeniu)
2. Naprężeń w stanie granicznym użytkowalności w sytuacji trwałej
3. Stanu granicznego nośności w sytuacji trwałej
4. Odkształcenia pod obciążeniem całkowitym
Założenia:
Zgodnie z postanowieniami Eurokodu przyjmuje się następujące założenia:
1. Płaskie przekroje pozostają płaskie aż do zniszczenia (hipoteza Bernoulliego)
2. Istnieje doskonała (sztywna) więź pomiędzy betonem a cięgnami z przyczepnością (w strunobetonie i
kablobetonie – poza sytuacją początkową)
Zasady mechaniki:
Analiza stosuje trzy zasady mechaniki:
1. Równowagę sił wewnętrznych z obciążeniem zewnętrznym. Ściskanie w betonie (oznaczane jako C) jest
równe sile w cięgnach (T). Moment pary sił C i T jest równy momentowi zginającemu wywołanemu
obciążeniem.
2. Zgodność odkształceń w betonie i zbrojeniu (w tym: w cięgnach z przyczepnością), z zachowaniem zasady
płaskich przekrojów.
3. Związki konstytutywne opisujące zależność naprężeń od odkształceń materiałów jak dla materiałów liniowo
- sprężystych.
Zmienność sił wewnętrznych
W elementach żelbetowych poddanych zginaniu, wartości sił ściskających w betonie C i sił rozciągających w
zbrojeniu T rośnie wraz z przyrostem obciążenia. Zmiana ramienia sił wewnętrznych z jest nieznaczna.
W zginanych elementach sprężonych, w sytuacji początkowej siła C jest zlokalizowana blisko rozciągań T. Para sił
C i T równoważy jedynie ciężar własny elementów. Pod obciążeniem użytkowym siła C przesuwa się ku górze
przekroju i rośnie ramię sił wewnętrznych. Wzrost sił T i C jest stosunkowo nieznaczny.
Poniższy rysunek objaśnia tę różnicę dla przypadku belki swobodnie podpartej
5/26
g
g
C1
z1
C1
T1
z1
T1
g+q
g+q
C2
C2
z2
z2
T2
T2
Beton sprężony
C2 = C1; z2 > z1
Żelbet
C2 > C1; z2 = z1
Rys. 3.2-1 Rozkład sił wewnętrznych w zginanym elemencie żelbetowym i sprężonym
W elemencie żelbetowym siła C2 jest istotnie większa od C1, podczas gdy z2 jest bliskie z1. W elemencie
sprężonym C2 jest bliska C1, ale ramię z2 jest znacznie większe od z1.
3.2.2.
Analiza sprężonego elementu zginanego
Podejście do analizy naprężeń w zginanym przekroju sprężonym jest analogiczne w sytuacji początkowej jak i
trwałej. Zwykle elementy sprężone są niezarysowane także w warunkach obciążeń użytkowych, i zakłada się
sprężyste zachowanie materiałów (stali i betonu). Obowiązuje także zasada superpozycji. Pomija się przyrost
naprężeń w cięgnach wskutek zginania.
Stosuje się trzy metody analizy przekroju sprężonego po sprężeniu i w warunkach użytkowych:
Metoda naprężeniowa
Metoda równowagi sił
Metoda obciążeń zastępczych
Metoda naprężeniowa
Poniższy szkic ilustruje rozkłady naprężeń w przekroju sprężonym poddanym zginaniu
M
CGC
+
+
=
P
P/A
Pepy/J
Naprężenia od
sprężenia
My/J
Naprężenia od
zginania
Naprężenia
wypadkowe
Rys. 3.2-2 Wykresy naprężeń zginanego przekroju sprężonego
6/26
Naprężenia wypadkowe w odległości y od środka ciężkości przekroju (CGC) zgodnie z zasadą superpozycji są
równe:
c 
P Pep
M

y y
A
J
J
(3.2-11)
Dla cięgien zakrzywionych siłę P należy zastąpić jej składowa poziomą. Z uwagi na małą różnicę, najczęściej to się
pomija.
Metoda równowagi sił
Rozciąganie w cięgnach (T) i wynikowe ściskanie w betonie (C) rozpatrywane są w równowadze z siłami
zewnętrznymi. Takie podejście stosowane jest do wstępnego doboru przekroju. Oczywiście naprężenia w betonie
w tej metodzie są takie same jak w metodzie naprężeniowej.
C
ec
z
ep
T
T
C
Siły wewnętrzne przy sprężeniu
(z pominięciem ciężaru własnego)
Siły wewnętrzne po obciążeniu
Rys. 3.2-3 Rozkład sił wewnętrznych w sytuacji początkowej i trwałej
Warunki równowagi przedstawiają się następująco:
C T
(3.2-12)
M  Cz
(3.2-13)
M  C ec  ep 
(3.2-14)
Naprężenia wypadkowe w betonie w odległości y od środka ciężkości przekroju (CGC) zgodnie z zasadą
superpozycji są równe:
c 
Podstawiając
C Cec

y
A
J
(3.2-15)
C = P i Cec = M – Pep powyższe wyrażenie przyjmuje taką samą postać jak w metodzie
naprężeniowej (3.2-1).
7/26
Metoda obciążeń zastępczych
a) Cięgno paraboliczne
P
P
ep
qp
L
Ciało w równowadze
M
Wykres momentów zginających
Rys. 3.2-4 Belka swobodnie podparta z cięgnem parabolicznym
Moment zginający w środku rozpiętości M = Pep. Wielkość obciążenia qp jest obliczona jako wywołująca ten sam
paraboliczny moment zginający:
qp 
8Pep
(3.2-16)
L2
b) Cięgno załamane w środku rozpiętości
P
P
ep
Qp
L
M
Rys. 3.2-5 Belka swobodnie podparta z cięgnem załamanym w środku rozpiętości
Podobnie jak poprzednio otrzymujemy:
Qp 
4Pep
L
(3.2-17)
8/26
c) Cięgno dwukrotnie symetrycznie załamane
P
P
ep
aL
Qp
Qp
L
M
Rys. 3.2-6 Belka swobodnie podparta z cięgnem dwukrotnie symetrycznie załamanym
Qp 
Otrzymujemy:
3.2.3.
Pep
aL
(3.2-18)
Naprężenia w sytuacji początkowej
Naprężenia w betonie wywołane sprężeniem w sytuacji początkowej można obliczyć ze wzorów:
w kablobetonie: cp0 
Pm0ep
Pm0 Pm0 ep
P

y , w strunobetonie:; cp0  m0 
y
A 'cs
J'cs
A cs
Jcs
(3.2-19)
gdzie:
Pm0 – siła sprężająca bezpośrednio po sprężeniu (po stratach doraźnych)
A’cs, J’cs – pole i moment bezwładności przekroju sprowadzonego bez uwzględnienia cięgien sprężających
Acs, Jcs – pole i moment bezwładności przekroju sprowadzonego z uwzględnieniem cięgien sprężających
Dodatkową, istotną kwestią jest uwzględnienie ciężaru własnego elementu (ewentualnie innych obciążeń
zewnętrznych działających w chwili sprężania). Ciężar własny w tej sytuacji działa zazwyczaj „odciążająco”,
redukując moment zginający wywołany sprężeniem. Podobny efekt mają zmiany położenia cięgna wypadkowego
lub zmiany wartości siły sprężającej na długości elementu. Oba aspekty omówiono poniżej.
Ciężar własny
Wywołuje obciążenie ciągłe, przyjmowane jako równomiernie rozłożone, także, z pewnym przybliżeniem, dla
elementów o zmiennym przekroju. Moment zginający na długości w belki/płyty swobodnie podpartej ma postać
paraboli o wartości:
Mg ( x ) 
g(L  x )x
2
(3.2-20)
9/26
Sprężenie
Moment zginający wywołany sprężeniem jest równy: Mp = Pep:

Jeśli P = const i ep = const wówczas moment Mp jest stały na długości belki.

Dla cięgien zakrzywionych (kablobeton) lub załamanych na dewiatorach (strunobeton) czyli wtedy, gdy
ep = ep(x) ≠ const, zaś P = const. jak poprzednio, przebieg momentu zginającego odzwierciedla zmianę
mimośrodu.

Jeśli zmienia się na długości wartość siły P – co jest istotne w przypadku tzw. cięgien wyłączanych w
strunobetonie, wówczas P ≠ const (najczęściej przy ep = const)
Cięgna zakrzywione
P = const. ep  const.
siła sprężająca P
moment zginający
od sprężenia Pe
Rys. 3.2-7 Moment Mp = Pep w kablobetonie przy trasie parabolicznej
Cięgna odgięte
P = const. ep  const.
Cięgna wyłączane
P  const. ep = const.
Dewiatory
Długość
zakowienia
moment zginający
od sprężenia Pe
moment zginający
od sprężenia Pe
Rys. 3.2-8 Moment Mp = Pep w strunobetonie przy cięgnach odgiętych i wyłączanych
Uwzględnienie ciężaru własnego w sytuacji początkowej
Jeśli na wykresy momentów od sprężenia Mp „nałożymy” wykresy momentu Mg zgodnie ze wzorem (3.2-2)
wówczas można wyznaczyć przekroje, w których wypadkowy moment zginający jest największy i konsekwentnie –
należy się liczyć z największymi naprężeniami.
KABLOBETON
Mmax
M max = max{M p(x) – M g(x)}
STRUNOBETON
Cięgna odgięte
Mmax
Cięgna wyłączane
M max
Rys. 3.2-9 Moment Mp = Pep w strunobetonie przy cięgnach odgiętych i wyłączanych
10/26
W podstawowych przypadkach:

dla belek strunobetonowych i kablobetonowych z cięgnami prostymi ciężar własny należy pominąć,

dla belek kablobetonowych z trasą paraboliczna – należy ciężar własny uwzględnić.
Generalnie, właśnie zabiegi konstrukcyjne, czyli odchylanie lub odginanie cięgiem albo ich wyłączanie mają
na celu redukcję niekorzystnego rozkładu naprężeń w sytuacji początkowej w tych przekrojach, gdzie odciążający
wpływ ciężaru własnego jest nieznaczny.
Podobną rolę w strunobetonie odgrywa umieszczanie niewielkiej liczby cięgien u góry przekroju. Redukują
one w sytuacji początkowej wielkość mimośrodu ep, zaś w warunkach użytkowych, gdy znajdują się w strefie
ściskanej, zmniejsza się ich wydłużenie wstępne, czyli redukuje się część siły sprężającej przez nie generowanej.
Sprawdzenie naprężeń w betonie w sytuacji początkowej
Eurokod wymaga, aby te naprężenia nie przekraczały wartości (por punkt 1.6.3) 0,6fck(t), a w strunobetonie, jeśli
potwierdzono doświadczalnie - 0,7fck(t).
Jeśli mogą pojawić się rozciągania, to nie powinny one przekroczyć wartości fctm,fl(t).
Przy sprawdzeniu naprężeń na krawędziach przekroju należy w tej sytuacji uwzględnić niekorzystne działanie
sprężenia i korzystne działanie ciężaru własnego. Ma to swoje odzwierciedlenie w stosowaniu odpowiednich
wartości charakterystycznych w odniesieniu do siły sprężającej i ciężaru objętościowego betonu.
I tak, dla siły sprężającej stosujemy współczynnik rsup:

rsup = 1,05 – w strunobetonie

rsup = 1,10 – w kablobetonie
Charakterystyczny ciężar objętościowy betonu, zgodnie z EC1 należy przyjąć równy 24 kN/m2.
Warunki spełnienia kryterium dopuszczalnych naprężeń w betonie w przekroju x w sytuacji początkowej można
sformułować następująco:
włókna dolne:
*)
M gk ( x )
Pk ( x ) Pk ( x )e p ( x )

yd 
y d  0,6*) fck ( t )
Acs
J cs
J cs
(3.2-21)
dla strunobetonu, jeśli poświadczono doświadczalnie: 0,7
włókna górne:
**)
 c 0,d 
 c 0,g 
M gk ( x )
Pk ( x ) Pk ( x )e p ( x )

yg 
y g  fctm ,fl ( t )* *)
Acs
J cs
J cs
(3.2-22)
znak „-„ oznacza naprężenia rozciągające
gdzie:
Pk(x) = rsupPm,0(x)
charakterystyczna siła sprężająca w przekroju x,
ep(x)
mimośród cięgien w przekroju x,
Mgk(x)
moment zginający w przekroju x wywołany charakterystycznym ciężarem własnym (i
innymi charakterystycznymi obciążeniami zewnętrznymi w czasie sprężenia),
yd, yg
odległość krawędzi przekroju od środka ciężkości, odpowiednio dolnej i górnej,
Acs, Jcs
pole
i
moment
bezwładności
przekroju
sprowadzonego,
dla
kablobetonu
bez
uwzględnienia cięgien sprężających
11/26
Pk Pk ep

yg
Acs
Jcs
M gk
yg
J cs
c 0 ,g
Mgk
yg
+
ep yd
=
Pk
Pk Pk ep

yd
Acs
Jcs

M gk
J cs
yd
c 0 ,d
Rys. 3.2-10 Rozkład naprężeń w sytuacji początkowej zginanego przekroju sprężonego
3.2.4.
Naprężenia w sytuacji trwałej (SLS)
Ta sama metodą jak w sytuacji początkowej można analizować rozkład naprężeń w sytuacji trwałej:
c 
Pm Pmep
M

y
y
Acs
Jcs
Jcs
(3.2-23)
gdzie:
M
moment zginający wywołany obciążeniem zewnętrznym,
Pm,∞
siła sprężająca po stratach całkowitych
Naprężenia c powinny mieścić się w granicach dopuszczalnych, tzn. dla rozciągania |c| ≤ fctm,fl – jeśli
dopuszczamy rozciągania w betonie lub c ≥ 0 – jeśli nie dopuszczamy rozciągań. Dla ściskania, w obszarach
wystawionych na działanie środowisk należących do klas ekspozycji XD, XF i XS właściwe może być ograniczenie
naprężeń ściskających do wartości f ck. Jeśli naprężenie w betonie przekracza 0,45f ck, to należy uwzględnić
pełzanie nieliniowe (patrz 1.6-7).
Z punktu widzenia właściwości konstrukcji w warunkach użytkowych istotne jest rozpatrzenie następujących
zagadnień:

Jeśli naprężenia ściskające trwale przekraczają 0,45fck, to należy uwzględnić pełzanie nieliniowe przy
obliczaniu strat (por. punkt 2.2-3),

Jeśli naprężenia rozciągające nawet chwilowo przekroczą wytrzymałość betonu na rozciąganie f ctm,fl,
wówczas nastąpi zarysowanie przekroju, mogące występować trwale mimo, że naprężenia trwałe
|c| ≤ fctm,fl
Celowe jest wobec tego zarówno rozpatrzenie naprężeń w warunkach działania całkowitych obciążeń
zewnętrznych (rozstrzygnięcie kwestii zarysowania), jak również pod działaniem obciążeń trwałych w kombinacji
prawie stałej (w aspekcie pełzania i zarysowania długotrwałego).
12/26
Przy sprawdzeniu naprężeń na krawędziach przekroju należy w tej sytuacji uwzględnić korzystne działanie
sprężenia. Ma to swoje odzwierciedlenie w stosowaniu odpowiednich wartości charakterystycznych w odniesieniu
do siły sprężającej, stosując współczynnik. rinf:

rinf = 0,95 – w strunobetonie

rinf = 0,90 – w kablobetonie
Naprężenia w przekroju pod całkowitym obciążeniem – moment rysujący
Wartość naprężeń w betonie w przekroju x pod całkowitym obciążeniem opisują równania:
włókna dolne:
c ,d 
Pk ( x ) Pk ( x )ep ( x )
M (x)

yd  k
yd
Acs
Jcs
Jcs
(3.2-24)
włókna górne:
c ,g 
Pk ( x ) Pk ( x )ep ( x )
M (x)

yg  k
yg
Acs
J cs
Jcs
(3.2-25)
gdzie:
Pk(x) = rinfPm,∞(x)
ep(x)
Mk(x)
moment zginający w przekroju x wywołany całkowitym charakterystycznym obciążeniem
zewnętrznym,
yd, yg
Acs, Jcs
pole i moment bezwładności przekroju sprowadzonego,
Z punktu widzenia problemu zarysowania konstrukcji, istotne jest rozpatrzenie spełnienia kryterium zarysowania na
dolnej krawędzi przekroju: c,d ≥ fctm,fl. Odpowiednio wykorzystując równanie (3.2-14) dla przekroju krytycznego
można wyznaczyć wartość momentu zginającego wywołanego obciążeniem zewnętrznym, przy którym pojawia się
pierwsza rysa w elemencie:
c 
*)
Pk Pk ep
M

y d  cr y d  fctm ,fl *)
Acs
Jcs
Jcs
znak „-„ oznacza naprężenia rozciągające
Mcr 
stąd:
Jcs
cp,k  fctm,fl 
yd
(3.2-26)
gdzie:
cp,k
naprężenia od sprężenia równe:
cp,k 
Pk Pk ep

yd
Acs
Jcs
Wyznaczony moment Mcr nosi nazwę momentu rysującego i jest istotny przy ocenie zachowania się elementu
sprężonego poddanego zginaniu.
13/26
Mcr
+
ep yd
=
Pk
Pk Pk ep

yd
Acs
Jcs

M gk
J cs
yd
fctm ,fl
Rys. 3.2-11 Rozkład naprężeń w przekroju pod obciążeniem momentem rysującym
Naprężenia w przekroju pod obciążeniem prawie stałym – problem trwałego zarysowania i nieliniowego pełzania
Rozkład naprężeń w betonie w przekroju x pod obciążeniem prawie stałym i odpowiednie kryteria zarysowania
trwałego (dla włókien dolnych) i nieliniowego pełzania (dla włókien górnych) można przedstawić analogicznie:
włókna dolne:
włókna górne:
Mq p ( x )
Pk ( x ) Pk ( x )e p ( x )

yd 
yd  0
Acs
J cs
J cs
(3.2-27)
Mq p ( x )
Pk ( x ) Pk ( x )ep ( x )

yg 
y g  0,45fck
Acs
J cs
J cs
(3.2-28)
 c ,d 
 c ,g 
gdzie:
ep(x)
Mq-p(x)
moment zginający w przekroju x wywołany charakterystycznym prawie stałym obciążeniem
zewnętrznym,
yd, yg
Acs, Jcs
pole i moment bezwładności przekroju sprowadzonego,
Wartość momentu dekompresji, czyli takiego momentu zginającego wywołanego obciążeniem zewnętrznym, przy
którym naprężenia na dolnej krawędzi osiągają wartość 0, można wyznaczyć podobnie jak w przypadku momentu
rysującego przyjmując zamiast fctm,fl wartość 0.
M dec 
 J

J cs
 cp ,k  Pk  cs  e p 
yd
 Acs y d

(3.2-29)
14/26
3.2.5.
Rdzeń przekroju sprężonego
Jeśli wypadkowa naprężeń ściskających w przekroju (C) leży wewnątrz rdzenia przekroju, wówczas nie powstaną
naprężenia rozciągające. Dla przekroju z pionową osią symetrii wierzchołki rdzenia noszą nazwę promieni rdzenia i
są definiowane wyrażeniami:
Promień górny rdzenia:
kg 
r2
yd
(3.2-30)
Promień dolny rdzenia:
r2
kd 
yg
(3.2-31)
gdzie:
J
A
r
promień bezwładności przekroju: r 
yd, yg
yg
CGC
CGC
kd
C
kg
yd
C
Naprężenia wypadkowe w przekroju
przy sile C w dolnym promieniu rdzenia
Naprężenia wypadkowe w przekroju
przy sile C w górnym promieniu rdzenia
Rys. 3.2-12 Rozkład naprężeń przy ściskaniu w wierzchołkach rdzenia przekroju
Pojecie rdzenia przekroju sprężonego jest istotne z punktu widzenia wykluczenia powstania naprężeń
rozciągających w przekroju. Jeśli dopuścimy powstanie naprężeń rozciągających w granicach wytrzymałości na
rozciąganie, to mówimy o tzw. rdzeniu uogólnionym, którego promienie można wyznaczyć ze wzorów:
Promień górny rdzenia uogólnionego:
k'g  kg  kg  k g 
fct J
C yd
(3.2-32)
Promień dolny rdzenia uogólnionego:
k' d  k d   kd  k g 
fct J
C yg
(3.2-33)
gdzie:
C
wypadkowa naprężeń ściskających (C = P)
fct
wytrzymałość betonu na rozciąganie
kg
CGC
kg
C
+
=
yd
Położenie
wypadkowej ściskań
fct
Naprężenia
wypadkowe
Rys. 3.2-13 Rozkład naprężeń przy zarysowaniu na dolnej krawędzi
15/26
3.2.6.
Linia ciśnień
Linią ciśnień w belce jest linia położenia wypadkowej ściskań w betonie (C) na długości belki. Wykorzystuje się ją
do sprawdzenia położenia środka ściskań względem rdzenia przekroju. Mimośród ściskań względem środka
ciężkości przekroju (CGC) powinien leżeć wewnątrz rdzenia przekroju (wykluczenie rozciągań) lub rdzenia
uogólnionego (wykluczenie zarysowania).
Linia ciśnień może być wyznaczona z ramienia sił wewnętrznych równoważących zewnętrzny moment zginający
działający w przekroju, jako mimośród ściskań ec względem (CGC):
z
M
C
ec  z  ep
stąd:
(3.2-34)
Przyjmując klasycznie, że dodatnia wartość momentu zginającego oznacza rozciąganie dolnych włókien betonu,
dodatnia wartość ec ze wzoru (3.2-24) oznacza, że linia ciśnień leży powyżej (CGC) i jeśli jest większa od kg, na
dolnej krawędzi mogą powstać rozciągania (pod obciążeniem użytkowym), natomiast jeśli ec jest ujemne i |ec| > kd,
wówczas – po sprężeniu – powstaną rozciągania na górnej krawędzi przekroju.
Linia ciśnień po sprężeniu (w sytuacji początkowej)
Linia ciśnień jest obliczana od momentu wywołanego ciężarem własnym. Ilustruje to Rys. 3.2-14
Ściskania w środku rozpiętości przekroju są podniesione w stosunku do osi cięgien (CGS) działaniem ciężaru
własnego.
Linia ciśnień
kg
CGC
kd
CGS
Rys. 3.2-14 Linia ciśnień po sprężeniu
Linia ciśnień w warunkach użytkowych (w sytuacji trwałej)
Linia ciśnień jest obliczana od momentu wywołanego obciążeniem użytkowym. Ilustruje to Rys. 3.2-15
16/26
Linia ciśnień
kg
CGC
kd
CGS
Rys. 3.2-15 Linia ciśnień w warunkach użytkowych
Obwiednia położenia cięgna wypadkowego
Jeśli w konstrukcji nie dopuszczamy rozciągań, wówczas przebieg linii ciśnień w każdej sytuacji powinien
znajdować się wewnątrz rdzenia przekroju. Jeśli dopuszczamy rozciągania w granicach wytrzymałości betonu na
rozciąganie wówczas linia ciśnień znajduje się wewnątrz rdzenia uogólnionego.
Wykorzystując warunki:
Mg ( x )

 ep,max ( x )  kd
ec 
C

ec  Mk ( x )  ep ,min ( x )  kg

C
Odpowiednio dla sytuacji początkowej (po sprężeniu) i trwałej (w warunkach użytkowania) można wyznaczyć
obwiednię położenia cięgna wypadkowego ograniczoną liniami ep,max i ep,min na długości belki podstawiając C = P:
Mg ( x )

ep ,max ( x )  P  kd

ep ,min x   Mk ( x )  k g

P
(3.2-35)
W powyższym układzie nierówności, dodatnie wartości mimośrodów ep są poniżej CGC. Przebieg ep,max(x) jest
uwarunkowany brakiem rozciągań (lub zarysowania) w sytuacji początkowej, zaś ep,min(x) brakiem rozciągań (lub
zarysowania) w sytuacji trwałej. Można także uwzględnić różnicę w wartości siły P po sprężeniu i po stratach
trwałych pod obciążeniem użytkowym. Podobnie, można podstawić odpowiednie promienie rdzenia uogólnionego z
równań (3.2-22 i 3.2-23) podstawiając za C odpowiednią wartość siły P.
CGC
ep,min
kg
kd
CGS
ep,max
Rys. 3.2-16 Obwiednia mimośrodów ep
17/26
3.3.
Elementy zginane w stanie granicznym nośności
3.3.1.
Założenia
Podstawowe założenia analizy, także zgodne z Eurokodem są następujące:
-
płaskie przekroje pozostają płaskie,
-
odkształcenie zbrojenia powiązanego z betonem siłami przyczepności lub cięgien sprężających
mających przyczepność, zarówno przy ściskaniu, jak i przy rozciąganiu jest równe odkształceniu
otaczającego je betonu,
-
pomija się wytrzymałość betonu na rozciąganie,
-
naprężenia ściskające w betonie wyznacza się na podstawie zależności naprężenie-odkształcenie
podanej w punkcie 1.6.2, zaś w zbrojeniu i cięgnach z zależności idealnie liniowo – sprężystych (por.
Rys. 1.7-5).
-
obliczając naprężenia w cięgnach sprężających, uwzględnia się początkowe odkształcenie tych cięgien.
Wykres odkształceń w stanie granicznym nośności za Eurokodem przedstawia Rys. 3.3-1


1  c 2


cu 2

lub

h


B

 
 1  c3 h

cu 3 

h
d
C
 lim d 
D
A
Ap
p(0)
py
p


c2
cu2
c3) cu3)
Rys. 3.3-1 Zginany przekrój sprężony w ULS
3.3.2.
Cięgna sprężające w ULS
W zakresie uwzględnienia roli cięgien sprężających w stanie granicznym nośności Eurokod proponuje następujące
podejście, w którym skutki sprężenia można rozpatrywać jako oddziaływania (np. siły podłużne i momenty
wywołane przez sprężenie) lub jako zmiany wytrzymałości elementów.
1).
Na ogół sprężenie wprowadza się do kombinacji oddziaływań określonych w EN 1990 jako obciążenie, a
jego efekty należy włączyć do wewnętrznego momentu i siły osiowej, które działają na przekrój lub element.
2).
Wpływ na nośność przekroju ma tylko przyrost naprężeń w cięgnach z przyczepnością równy różnicy
pomiędzy ich wytrzymałością a naprężeniami wywołanymi przez sprężenie. Ten przyrost naprężeń można
obliczyć, zakładając że punkt zerowy zależności naprężenie-odkształcenie w cięgnach jest przesunięty na
skutek wpływu sprężenia.
18/26
Takie podejście sankcjonuje dualistyczne traktowanie cięgien sprężających: w części po stronie obciążeń oraz w
części po stronie nośności.
Siła sprężająca jako obciążenie
Siła sprężająca P, zazwyczaj po stratach całkowitych, czyli Pm,∞, działając na mimośrodzie ep jest obciążeniem
przekroju. Wartość obliczeniowa tej siły wynosi:
Pd   p ,fav Pm ,   P ,fav  p( 0 ) E p Ap
(3.3-36)
gdzie:
p,fav – częściowy współczynnik: p,fav = 1,0
Nośność cięgien z przyczepnością jako nośność zbrojenia przekroju
Jako zbrojenie cięgna pracują w zakresie różnicy pomiędzy ich nośnością a wstępnym sprężeniem
(konsekwentnie: siłą Pm,∞), uwzględniając zależność naprężenie-odkształcenie:

’yd
’ud
p(0)
Sprężenie
=
obciążenie
pd,oo
f’yd
zbrojenie
fpd

p
tan = Ep

pd,oo
pyd
pud
Rys. 3.3-2 Cięgna w ULS
Stają się w tym zakresie „zbrojeniem” o polu powierzchni przekroju Ap, wytrzymałości obliczeniowej f’yd, module
sprężystości Ep i granicy odkształceń plastycznych ’yd. Można wyznaczyć f’yd i’yd z zależności:
f ' yd  ' yd E p 
' yd 
3.3.3.
f p0,1k
f ' yd
Ep
s


f pd
Ep
Pd
P
 f pd  d
Ap
Ap
(3.3-37)
  p( 0 )
(3.3-38)
Obciążenia w ULS
Jeśli przekrój zginany jest obciążony zewnętrznym momentem MEd0, to udział sprężenia jako obciążenia powoduje,
że mamy do czynienia z przypadkiem ściskania mimośrodowego o obciążeniach:
19/26
NEd  Pd
(3.3-39)
M Ed  M Ed 0  Pd e p
(3.3-40)
e
i mimośrodzie statycznym:
MEd
Pd
(3.3-41)
gzie mimośród e jest dodatni, gdy leży powyżej CGC
MEd0
MEd
NEd
CGC
=
ep
NEd=Pd
=
e
Pd
Rys. 3.3-3 rozkład sił wewnętrznych w zginanym elemencie żelbetowym i sprężonym
3.3.4.
Sprawdzenie stanu granicznego nośności na zginanie
Cięgna z przyczepnością: strunobeton i kablobeton
Zagadnienie sprowadza się do przypadku przekroju żelbetowego, zbrojonego stalą f’yd, i oczywiście jeśli występuje,
zbrojeniem zwykłym.
Przyjmijmy, że sprawdzenie stanu granicznego nośności na zginanie polega na wykazaniu, że w warunkach
równowagi sił osiowych w płaskim przekroju moment zginający, który przenosi przekrój, jest większy od momentu
zginającego działających obciążeń.
Koniecznym działaniem jest identyfikacja granicznego stanu odkształcenia determinującego rozkład sił
wewnętrznych spełniających wyżej sformułowane warunki. Wstępnie należy rozstrzygnąć, czy w stanie granicznym
nośności zbrojenie przekroju (tu: „zastępcze”, reprezentujące nośność cięgien f’yd) ulegnie uplastycznieniu. Taki
stan odkształcenia (linia B-D na Rys. 3.3-1) opiszmy odkształceniem granicznym betonu we włóknach górnych cu,
i względną graniczną wysokością strefy ściskanej, określanej jako:
lim 
xlim
d
(3.3-42)
Zgodnie z warunkami geometrycznymi na Rys. 3.3-1 otrzymujemy:
lim 
cu
cu  ' yd
(3.3-43)
gdzie:
cu – graniczne odkształcenie strefy ściskanej betonu dla wybranego modelu odkształcalności (cu2 lub cu3)
’yd – granica plastyczności „zastępczego” zbrojenia, obliczana ze wzoru (3.3-3)
W projektowaniu konstrukcji należy dążyć do takiego wytężenia przekroju, aby x / d     lim . Zapewnia to
bezpieczny – poprzedzony uplastycznieniem cięgien i rysami – sposób zniszczenia przekroju.
20/26
Wykorzystując model prostokątnego rozkładu naprężeń w betonie (Rys. 1.6-3) także można wyznaczyć graniczną
wysokość strefy ściskanej, oznaczanej tradycyjnie jako eff,lim:
(3.3-44)
 eff ,lim   eff
gdzie:
lim – graniczne odkształcenie strefy ściskanej betonu dla wybranego modelu odkształcalności (cu2 lub cu3)
 – współczynnik według Rys. 1.6-3.
a)
b)
b
dc 
b
297 Ncd
578 bfcd
f cd
e
NEd
d
e
d
NEd
xeff =eff d
f cd
Ncd  NEd  Apf ' yd
21 Ncd
x
17 bfcd
Apf’yd
Apf’yd
Ap
Ap
Rys. 3.3-4 rozkład sił wewnętrznych w zginanym elemencie sprężonym
a) w modelu prostokątnego rozkładu naprężeń; b) w modelu paraboliczno – prostokątnym odkształceń
Należy stwierdzić, że przy projektowaniu przekrojów pracujących na zginanie, model betonu w zakresie klas do
C50/60 ma drugorzędne znaczenie. Ilustruje to Tab. 3.3-1, w której porównano parametry nośności przy różnej
względnej nośności zbrojenia rozciąganego odniesione do modelu paraboliczno – prostokątnego (Rys 1.6-1).
Tab. 3.3-1 Porównanie nośności na zginanie dla różnych modeli odkształcalności betonu ściskanego
=As1fyd/bdfcd
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
 = x/d
2
0,062
0,124
0,185
0,247
0,309
0,371
0,432
0,494
0,556
0,618
100%
z:
2:
3:
Objaśnienia:
p:
3
0,067
0,133
0,200
0,267
0,333
0,400
0,467
0,533
0,600
0,667
p
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
0,500
z/d
3
0,970
0,941
0,911
0,881
0,852
0,822
0,793
0,763
0,733
0,704
MRd/bd2fcd
2
3
0,049 0,049
0,095 0,094
0,138 0,137
0,179 0,176
0,218 0,213
0,254 0,247
0,287 0,277
0,318 0,305
0,346 0,330
0,372 0,352
100% 95%
2
p
0,974
0,975
0,949
0,950
0,923
0,925
0,897
0,900
0,872
0,875
0,846
0,850
0,820
0,825
0,794
0,800
0,769
0,775
0,743
0,750
108%
81% 100% 95%
101%
ramię sił wewnętrznych w przekroju
model paraboliczno – prostokątny według Rys 1.6-1
model dwuliniowy według Rys 1.6-2
model prostokątnego wykresu naprężeń według Rys 1.6-3
p
0,049
0,095
0,139
0,180
0,219
0,255
0,289
0,320
0,349
0,375
101%
Rozpatrzmy sumaryczne działanie cięgien, tzn Pd + Apf’yd: wykorzystując zależność (3.3-2):

P 
Pd  Ap f ' yd  Pd  Ap  f pd  d   Ap f pd

Ap 

(3.3-45)
Wynik jest wprost definicją nośności obliczeniowej cięgien sprężających; oznaczmy ją Fpd.
21/26
„Przenieśmy” siłę Pd = NEd na „prawą” stronę przekroju i „dodajmy” do nośności zbrojenia rozciąganego f’yd.
Konsekwentnie, zastąpmy działanie obciążenia NEd na mimośrodzie e obliczeniowym momentem zginającym MEd0.
Otrzymujemy warunki równowagi jak dla zginanego przekroju żelbetowego, ze zbrojeniem rozciąganym o nośności
Apf pd.
Trzeba jednak podkreślić, że graniczny stan odkształcenia przekroju istotny w modelu paraboliczno – prostokątnym
będzie odmienny niż w przypadku żelbetu, z uwagi na wstępny naciąg cięgien.
Natomiast przy wykorzystaniu prostokątnego modelu naprężeń, gdzie nie identyfikuje się wprost stanu
odkształcenia, różnic nie będzie (Rys. 3.3-5).
b
d
M Ed0
xeff=effd
fcd
Fpd=A pfpd
Ap
Rys. 3.3-5 rozkład sił wewnętrznych w zginanym elemencie żelbetowym i sprężonym
Takie podejście jest szczególnie wygodne przy wstępnym doborze przekroju zginanego elementu sprężonego.
Cięgna bez trwałej przyczepności i zewnętrzne
W tym przypadku nie można uwzględnić jakiegokolwiek udziału cięgien jako zbrojenia po stronie nośności.
Eurokod wskazuje, że w tym przypadku przyrost naprężeń w cięgnach w ULS należy obliczać jako efekt
odkształcenia całego elementu. Jeśli nie przeprowadza się takich obliczeń można przyjąć, że przyrost naprężeń od
poziomu efektywnego sprężenia do poziomu naprężeń w stanie granicznym wynosi p,ULS = 100 MPa.
Pd   P ,fav Pm ,   p ,ULS Ap 
Czyli:
(3.3-46)
Uwagi końcowe
Można wskazać trzy sposoby podejścia przy sprawdzeniu stanu granicznego nośności na zginanie przekroju
sprężonego obliczeniową siłą Pd cięgnami o nośności obliczeniowej Fpd:
1.
Przyjęcie wyłącznie siły Pd jako dodatkowego obciążenia przekroju ze zbrojeniem stalą zwykłą
Takie podejście jest „bezpieczne” dla cięgien bez trwałej i pełnej przyczepności, oraz gdy sprężenie jest bliskie
osiowemu lub zasięg strefy ściskanej uniemożliwia osiągnięcie granicy plastyczności cięgien ( > lim).
2.
Przyjęcie siły Pd jako dodatkowego obciążenia przekroju i uwzględnienie przyrostu siły w cięgnach:
–
o wartość odpowiadającą przyrostowi odkształceń p – po stronie nośności w cięgnach z przyczepnością,
celowe w konstrukcjach zginanych, gdy ( ≤ lim),
–
o wartość App,ULS – po stronie obciążeń w konstrukcjach z cięgnami bez trwałej przyczepności.
22/26
3.
Przyjęcie pełnej nośności cięgien Fpd jako zbrojenia przekroju zginanego( > lim) z cięgnami z pełną
przyczepnością.
Podejście właściwe przy wstępnym doborze/sprawdzeniu przekroju.
3.3.5.
Stan graniczny nośności na zginanie przy wstępnym kształtowaniu przekroju
Ukształtowaniu podlega zwykle przekrój poprzeczny i podłużny. Dobranie odpowiedniego przekroju
poprzecznego belki sprężonej jest punktem wyjścia do dalszej analizy obliczeniowej. Przekrój musi więc być
założony przez konstruktora w oparciu o wymagania wytrzymałościowe, wykonawcze i użytkowe, a obliczenie
uzasadnia jego prawidłowość.
Optymalny przekrój belki zginanej to taki, który ma niezbędną powierzchnię strefy ściskanej od obciążeń
zewnętrznych, minimalną powierzchnię strefy rozciąganej, w której rozmieszczono cięgna sprężające, i taki
przekrój
środnika
łączącego
obydwie
strefy,
jaki
jest
konieczny
ze
względów
technologicznych
i
wytrzymałościowych. Położenie cięgien sprężających, tj. zbrojenie belki - powinno zapewniać możliwie największe
ramię sił wewnętrznych. Prowadzi to w konsekwencji do przekroju dwuteowego, w którym górna pólka określona
jest warunkami wytrzymałościowymi, a dolna - możliwością rozmieszczenia cięgien sprężających i nośnością
elementu w stadium początkowym.
Ustalenie wysokości przekroju
Wstępnie, wysokość elementu można dobrać kierując się wskazaniami poniższej tabeli:
Tab. 3.3-2 Zalecane wysokości zginanych konstrukcji sprężonych
L/h
Element
45
Płyty pełne wieloprzęsłowe
35
Płyty jednoprzęsłowe pełne, kanałowe i gęstożebrowe
25
Płyty T i TT
18
Belki dachowe
15
Belki stropowe
12
Belki podsuwnicowe
8
Oczywiście, jeśli element silniej obciążony (dla belek także w wyniku większego rozstawu), należy przyjmować
mniejsze L/h w przedziale.
23/26
Oszacowanie ciężaru własnego belek
W belkach dwuteowych, ciężar własny w sposób przybliżony można wyznaczać z warunku:
g k   bet ( 0,2  0,25 )h 2
gdzie: bet – ciężar obj. betonu, kN/m
(3.3-47)
3
h – wysokość belki, m
Ustalenie wymaganej nośności cięgien i dobór ich liczby
Punktem wyjścia do obliczeń jest warunek równowagi momentów zginających w
ULS w sytuacji trwałej. Zakłada się, że ramię sił wewnętrznych (rozciąganie w
cięgnach i ściskanie w betonie) równoważących moment zginający od obciążeń
z
MEd wynosi:
z = (0,8  0,85)h
Stąd, wartość sił wynosi:
F
M Ed
z
Znając siłę, jaką muszą przenieść cięgna rozciągane w ULS w sytuacji trwałej, ich
wymaganą liczbę - nreq wyznacza się ze wzoru:
n req 
F
Fpd ,1
lub n req 
F
A p1f pd
(3.3-48)
gdzie:
Ap1
pole powierzchni przekroju pojedynczego cięgna
Fpd,1
obliczeniowa nośność pojedynczego cięgna lub kabla: Fpd ,1 
Fpk,1
charakterystyczna nośność pojedynczego cięgna lub kabla
Fpk ,1
s
albo Fpd ,1  Ap1f pd
Znając tę liczbę i rozpatrując wymagania Eurokodu w zakresie min. liczby cięgien sprężających dokonuje się
przyjęcia liczby cięgien – nprov. Zazwyczaj jest: n prov  n req .
W belkach strunobetonowych stosuje się cięgna górne, zabezpieczające górną półkę przed zniszczeniem wskutek
działania sprężenia i ciężaru własnego w transporcie i wadliwym składowaniu.
Potrzebną ilość tego zbrojenia n2,prov można obliczyć z uproszczonego wzoru:
n2,prov 
M Sd ,g
zFpd ,1
(3.3-49)
gdzie MEd,g – obliczeniowy moment zginający wywołany ciężarem własnym elementu
Przyjętą liczbę cięgien umieszcza się w półce górnej.
24/26
Ustalenie wymaganej powierzchni strefy ściskanej betonu
Strefa ściskana betonu tworząca górną półkę musi równoważyć siłę w cięgnach. Stąd jej pole przekroju powinno
spełniać warunek:
Acc 
gdzie: Fpd,prov  nprov Fpd1
lub
Fpd ,prov
(3.3-50)
 cc fcd
Fpd,prov  n prov A p1f pd
W przypadku płyt, szerokość elementu - b jest szerokością strefy ściskanej. Stąd, konieczna wysokość strefy
ściskanej wynika z warunku:
h2 
Acc
b
W przypadku belek, szerokość – b2 i wysokość - h2 zaleca się przyjmować, kierując się ograniczeniami:
b2  5b w ;
b2  beff
b2 
L
;
60
h 2  0,25b 2
b2
Sfazowanie krawędzi
podłużnych
h2
ok. 1015 mm
1:6
Rozmieszczenie
kabli
bw
Rozmieszczenie
strun
h1
b1
Rys. 6
Kształtowanie przekroju dwuteowego
Ustalenie wymaganej powierzchni strefy rozciąganej betonu
Pole powierzchni strefy rozciąganej betonu ma zapewnić właściwe rozmieszczenie i otulenie cięgien sprężających
z uwzględnieniem oddziaływań środowiskowych. Zaleca się aby w strunobetonie cięgna rozmieszczone były w
układzie ortogonalnym, (nieparzysta liczba kolumn daje możliwość umieszczenia każdej liczby cięgien z
zachowaniem symetrii do osi pionowej przekroju). W konstrukcjach kablobetonowych najbardziej korzystny jest
układ ┴. Środek ciężkości cięgien powinien pokrywać się ze środkiem ciężkości strefy rozciąganej
Pole przekroju strefy rozciąganej: Act = b1h1, można oszacować ze wzoru:
w konstrukcjach strunobetonowych:
Act = 50Ap
w konstrukcjach kablobetonowych:
Act = 40Ap.
gdzie Ap. – pole przekroju cięgien dolnych.
Szerokość tej strefy powinna spełniać warunek b1  3b w
25/26
Ustalenie szerokości środnika
O szerokości środnika decydują względy statyczne i technologiczne. Z przyczyn technologicznych, szerokość
środnika powinna spełniać warunki b w  0,1h i b w  80mm . W konstrukcjach kablobetonowych szerokość ta musi
zapewnić właściwy rozstaw i otulenie kabli prowadzonych w środniku.
26/26

3. Obliczanie elementów sprężonych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Prefabrykowany słup betonowy PRECON, wys

1 Zadanie 1 1) Obciążenie przekroju najbardziej wytężonego

Praca domowa - Ośrodek Geometrii i Grafiki Inżynierskiej

Opis pojedynczy

1 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów

Test-2

Nazwa Prefabrykowany słup żelbetowy Prefabrykowany słup

Przekrój

XXXVIII OLIMPIADA GEOGRAFICZNA