Całki podwójne Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład II)

Całki podwójne
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład II)
Całka podwójna po prostokącie - pojęcia wstępne
Niech f będzie funkcją ciągłą na prostokącie P = ha, bi × hc, di.
P1 , P2 , . . . Pn – podział P prostokąta P na podprostokąty
∆xk = xk − xk−1 , k = 1, 2, . . . , n – długość k-tego podprostokąta
∆yk = yk − yk−1 , k = 1, 2, . . . , n – wysokość k-tego podprostokąta
δ(P) = max
k
p
(∆xk )2 + (∆yk )2 – średnica podziału P (długość najdłuższej przekątnej podprostokąta)
(x∗k , yk∗ ) – punkt pośredni podziału P (dowolny punkt z k-tego podprostokąta)
Całka podwójna po prostokącie - suma całkowa
DEFINICJA Sumą całkową z funkcji f na prostokącie P odpowiadającą wybranemu podziałowi P i punktom
pośrednim (x∗k , yk∗ ) nazywamy liczbę
S(f, P) =
n
X
f (x∗k , yk∗ )∆xk ∆yk .
k=1
Całka podwójna po prostokącie - definicja
DEFINICJA Całką podwójną z funkcji f na prostokącie P nazywamy liczbę
n
X
ZZ
f (x, y)dP =
lim
δ(P)→0
P
f (x∗k , yk∗ )∆xk ∆yk ,
k=1
jeśli granica po prawej stronie równości istnieje i jest skończona oraz nie zależy od podziału P i wyboru punktów
pośrednich (x∗k , yk∗ ).
Całka podwójna po prostokącie – interpretacja geometryczna
Niech f będzie
Z Z funkcją ciągłą i nieujemną na prostokącie P .
Wówczas
f (x, y)dP jest równa objetości bryły ograniczonej wykresem funkcji z = f (x, y), płaszczyzną Oxy
P
oraz płaszczyznami x = a, x = b, y = c i y = d.
Liniowość całki podwójnej po prostokącie
TWIERDZENIE RR
RR
Jeżeli istnieją całki f (x, y)dP oraz
g(x, y)dP , gdzie P jest prostokątem, to
P
P
RR
RR
RR
1.
(f (x, y) + g(x, y)) dP = f (x, y)dP + g(x, y)dP ;
PRR
PRR
PRR
2.
(f (x, y) − g(x, y)) dP = f (x, y)dP − g(x, y)dP ;
PRR
P
P
RR
3.
(cf (x, y)) dP = c f (x, y)dP , gdzie c ∈ R.
P
P
Addytywność całki podwójnej po prostokącie wzgledem obszaru całkowania
1
ZZ
f (x, y)dP , gdzie P jest prostokątem, to dla dowolnego podziału tego
TWIERDZENIE Jeżeli istnieje całka
P
prostokąta na prostokąty P1 i P2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y)dP =
f (x, y)dP +
f (x, y)dP.
P
P1
P2
Całki iterowane
TWIERDZENIE Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostokącie P = ha, bi × hc, di, to




Zd Zb
Zb Zd
ZZ
f (x, y)dP =  f (x, y)dy  dx =  f (x, y)dx dy.
a
P
c
c
a
Całki występujące po prawej stronie równości nazywamy całkami iterowanymi funkcji f po prostokącie.
Całka podwójna po obszarze normalnym względem osi Ox
DEFINICJA Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox, jeżeli można zapisać go w
postaci:
D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ d(x) 6 y 6 g(x)} ,
gdzie funkcje d i g są ciągłe na ha, bi oraz d(x) 6 g(x) dla każdego x ∈ (a, b).
TWIERDZENIE Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym D normalnym względem osi Ox, to


g(x)
ZZ
Zb
Z


f (x, y)dP = 
f (x, y)dy  dx.
a
D
d(x)
Całka podwójna po obszarze normalnym względem osi Oy
DEFINICJA Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy, jeżeli można zapisać go w
postaci:
D = {(x, y) : c 6 y 6 d ∧ l(y) 6 x 6 p(y)} ,
gdzie funkcje l i p są ciągłe na hc, di oraz l(y) 6 p(y) dla każdego y ∈ (c, d).
TWIERDZENIE Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym D normalnym względem osi Oy, to


p(y)
ZZ
Zd
Z


f (x, y)dP = 
f (x, y)dx dy.
c
D
l(y)
Zastosowania geometryczne całek podwójnych
1. Pole figury.
Niech D będzie dowolną figurą ograniczoną na płaszczyźnie. Wówczas pole figury D można obliczyć przy użyciu
całki podwójnej w następujący sposób:
ZZ
|D| =
dP
D
2. Objętość bryły. Niech funkcje f oraz g będą ciągłe na zbiorze D ⊂ R2 oraz niech f (x, y) 6 g(x, y) dla każdego
(x, y) ∈ D. Wtedy objętość bryły B ograniczonej wykresami funkcji f i g dla (x, y) ∈ D wyraża się wzorem:
ZZ
|B| =
[g(x, y) − f (x, y)]dP.
D
2