Funkcje wielu zmiennych (cd) - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) – str. 1/40
Automatyka i robotyka, sem. I, rok. akad. 2009/2010
Minimum lokalne
Niech f : Df → R, Df ⊆ Rn b˛edzie funkcja˛ n-zmiennych.
Niech U ⊂ Df b˛edzie zbiorem otwartym i
P0 (x01 , . . . , x0n ) ∈ U .
Funkcja f ma w punkcie P0 minimum lokalne, jeżeli istnieje
otoczenie U ⊂ Df punktu P0 , takie że dla każdego punktu
P ∈ U i P 6= P0 spełniona jest nierówność
f (P ) > f (P0 ) .
Funkcja f ma w punkcie P0 minimum lokalne właściwe, jeżeli
istnieje otoczenie U ⊂ Df punktu P0 , takie że dla każdego
punktu P ∈ U i P 6= P0 spełniona jest nierówność
f (P ) > f (P0 ) .
Maksimum lokalne
Niech f : Df → R, Df ⊆ Rn b˛edzie funkcja˛ n-zmiennych.
Niech U ⊂ Df b˛edzie zbiorem otwartym i
P0 (x01 , . . . , x0n ) ∈ U .
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje
otoczenie U ⊂ Df punktu P0 , takie że dla każdego punktu
P ∈ U i P 6= P0 spełniona jest nierówność
f (P ) 6 f (P0 ) .
Funkcja f ma w punkcie P0 maksimum lokalne właściwe, jeżeli
istnieje otoczenie U ⊂ Df punktu P0 , takie że dla każdego
punktu P ∈ U i P 6= P0 spełniona jest nierówność
f (P ) < f (P0 ) .
Ekstrema lokalne
Minima i maksima lokalne nazywamy
EKSTREMAMI
LOKALNYMI.
Minimum globalne
Liczba m jest najmniejsza˛ wartościa˛ funkcji f
na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli istnieje punkt
P0 (x01 , . . . , x0n ) ∈ A, taki że
f (P0 ) = m
i dla każdego punktu P ∈ A
f (P ) > f (P0 ) = m .
Liczb˛e m nazywamy
minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Maksimum globalne
Liczba M jest najwi˛eksza˛ wartościa˛ funkcji f
na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli istnieje punkt
P0 (x01 , . . . , x0n ) ∈ A, taki że
f (P0 ) = M
i dla każdego punktu P ∈ A
f (P ) 6 f (P0 ) = M .
Liczb˛e M nazywamy
maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Ekstrema globalne
Minimum i maksimum globalne nazywamy
EKSTREMAMI
GLOBALNYMI.
Warunek konieczny istnienia
ekstremum
Jeżeli
f ma ekstremum w punkcie P ,
∂f
istnieja˛ pochodne ∂x , i = 1, . . . , n czastkowe
˛
w punkcie
0
P0 ,
i
to
∂f
∂f
∂f
(P0 ) = 0 ,
(P0 ) = 0 , . . . ,
(P0 ) = 0
∂x1
∂x2
∂xn
m
∇f (P0 ) = [0, 0, . . . , 0] = ~0
Uwaga
Z twierdzenia tego wynika, że funkcja może mieć
ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej
pochodne czastkowe
˛
sa˛ równe 0 albo w punktach, w
których przynajmniej jedna pochodna czastkowa
˛
nie
istnieje. Zerowanie si˛e pochodnych czastkowych
˛
nie
gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego.
Np. funkcje f (x, y) = x3 , f (x, y) = x2 − y 2
∂f
∂f
spełniaja˛ warunki
(0, 0) = 0 ,
(0, 0) = 0 i nie
∂x
∂y
posiadaja˛ ekstremów w punkcie (0, 0).
Punkty krytyczne
Punkt P0 ∈ Rn , w którym przynajmniej jedna
pochodna czastkowa
˛
nie istnieje lub w którym
wszystkie pochodne czastkowe
˛
sa˛ równe zero
nazywamy
punktem krytycznym funkcji f
Punkt krytyczny P0 , w którym jest spełniony warunek
∇f (P0 ) = ~0
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f .
Hesjan
Macierz
∂2f
 ∂x21
 ∂2f

 ∂x ∂x
 2 1

..

.


∂2f
∂xn ∂x1

Hf :=
∂2f
∂x1 ∂x2
∂2f
∂x22
...
∂2f
∂xn ∂x2
...
..
.
...
...

∂2f
∂x1 ∂xn 
∂2f 

∂x2 ∂xn 

.. 
. 

∂2f
∂x2n
nazywamy HESJANEM funkcji f .
Hesjan jest macierza˛ zależna˛ od tych samych
zmiennych, od których zależy funkcja.
Rozważmy funkcj˛e f : Rn → R oraz zdefiniujmy
funkcje
∆i :=
i = 1, . . . , n.
∂2f
∂x21
∂2f
∂x ∂x
2 1
..
.
∂2f
∂x ∂x
i
1
Zauważmy, że ∆1 :=
∂2f
∂x1 ∂x2
∂2f
∂x22
...
∂2f
∂xi ∂x2
...
..
.
∂2f
∂x21
...
...
∂2f ∂x1 ∂xi ∂ 2 f ∂x2 ∂xi .. . ∂2f ∂x2 ,
i
i ∆n = detHf .
Warunek wystarczajacy
˛ istnienia
ekstremum
Załóżmy, że
∂f
∂f
∂f
(P0 ) = 0 ,
(P0 ) = 0 , . . . ,
(P0 ) = 0
∂x1
∂x2
∂xn
(punkt P0 jest punktem stacjonarnym funkcji f ).
Jeżeli
∆ (P ) > 0 , dla i = 1, 2, . . . , n, to w punkcie P
funkcja f ma minimum lokalne właściwe.
∆ (P ) < 0 , ∆ (P ) > 0 , ∆ (P ) < 0 , . . . ,
i
0
1
0
0
2
0
3
0
(−1)i ∆i (P0 ) > 0 , i = 1, . . . , n, to w punkcie P0
funkcja f ma maksimum lokalne właściwe.
Uwaga
Niech P0 b˛edzie punktem krytycznym funkcji
f : R2 → R.
Jeżeli
∆2 (P0 ) < 0 ,
to w punkcie P0 funkcja f nie ma ekstremum.
∂f
∂f
Np. dla f (x, y) = x − y mamy
(0, 0) = 0 ,
(0, 0) = 0
∂x
∂y
i
2
2
2
∆2 = detHf = 0
0 = −4 < 0 ,
−2
wi˛ec funkcja f nie ma ekstremum w punkcie krytycznym (0, 0).
Przykład
Niech f : R3 → R i
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − xy + x + 2z.
Wtedy
∂f
∂f
∂f
= 2x − y + 1 ,
= 2y − x ,
= 2z + 2 .
∂x
∂y
∂z



2x


−y+1=0
Ponieważ 2y − x = 0


2z + 2 = 0
wi˛ec P0
2
=−
3
⇔ y = − 1



3



z = −1




x




,
2 1
− , − , −1 jest punktem krytycznym.
3 3
!
Przykład
2
2
2
f (x, y, z) = x + y + z − xy + x + 2z
Ponadto


 2 −1 0



Hf = −1 2 0



0
i
0
2
∆1 (P0 ) = 2 > 0 , ∆2 (P0 ) = 3 > 0 , ∆3 (P0 ) = 6 > 0 ,
wi˛ec funkcja f ma w punkcie P0
2 1
− , − , −1 minimum
3 3
lokalne, które wynosi
4 1
2 2
4
fmin = f (P0 ) = + + 1 − − − 2 = − .
9 9
9 3
3
Przykład
Niech f : Rn → R, n > 2 i
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = −x21 − x22 − · · · − x2n .
Wtedy
∂f
= −2xi , i = 1, . . . , n.
∂xi
Ponieważ


−2x

1


=0
..
.




−2xn = 0
⇔


x


 1
=0
..
.




xn = 0
,
wi˛ec P0 (0, . . . , 0) jest punktem krytycznym.
Przykład
2
2
2
f (x1, x2, . . . , xn) = −x1 − x2 − · · · − xn
Ponadto

−2




Hf = 



0
..
.
0
0
... 0
−2 . . .
.. . .
.
.
0



0

.. 
.


... 2
i
∆1 (P0 ) = −2 < 0 , ∆2 (P0 ) = 4 > 0 , . . . , ∆n (P0 ) = (−2)n ,
wi˛ec
(−1)i ∆i (P0 ) = (−1)i (−2)i = 2i > 0 ,
funkcja f ma w punkcie P0 (0, . . . , 0) maksimum lokalne, które
wynosi fmax = f (P0 ) = 0.
Ekstrema globalne
Niech A ⊆ Rn i f : A → R.
Jeżeli A jest domkni˛ety i ograniczony, a f jest
funkcja˛ ciagł
˛ a,˛ to funkcja f osiaga
˛ w zbiorze A
wartość najmniejsza˛ i najwi˛eksza.˛
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji na
obszarze domkni˛etym
Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne
wewnatrz
˛ zbioru A i obliczmy wartości funkcji w
tych punktach.
Znajdujemy punkty krytyczne na brzegu obszaru
A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach.
Porównujemy otrzymane wartości funkcji
znajdujac
˛ wartość najmniejsza˛ i najwi˛eksza.˛
Przykład
Niech f : A ⊂ R2 → R i
f (x, y) = x2 + 2xy − 4x + 8y,
gdzie A jest trójkatem
˛
ograniczonym prostymi x = 0,
y = 0 i x + y = 4.
Przykład
Niech f : A ⊂ R2 → R i
n
f (x, y) = x2 − y 2 + 18,
o
gdzie A = (x, y) : x2 + y 2 6 9 .
Ekstrema warunkowe
Ekstrema funkcji f : D ⊆ Rn → R z ograniczeniem
g(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 . nazywamy
ekstremami warunkowymi lub wzgl˛ednymi.
Jeżeli potrafimy wyliczyć z równania
(∗)
g(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
jedna˛ ze zmiennych, np. xn = φ(x1 , x2 , . . . , xn ) , to
możemy podstawić t˛e zależność zamiast zmiennej xn
do wzoru badanej funkcji, redukujac
˛ w ten sposób
liczb˛e zmiennych o jeden.
Metoda mnożników Lagrange’a wyznaczania ekstremów
warunkowych
Funkcj˛e
L(λ, x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) + λ · g(x1 , x2 , . . . , xn )
nazywamy funkcja˛ Lagrange’a.
Załóżmy, że
g(x01 , x02 , . . . , x0n ) = 0 i ∇g(x01 , x02 , . . . , x0n ) 6= ~0.
Twierdzenie: Jeżeli P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ) jest punktem
ekstremalnym, to istnieje λ̃, taka że (λ̃, P0 ) jest punktem
krytycznym funkcji Lagrange’a, tzn.
∂L
∂L
(λ̃, P0 ) = 0 ,
(λ̃, P0 ) = 0 , i = 1, . . . , n.
∂λ
∂xi
Macierz

HL =
0

 ∂g

 ∂x1

 ∂g
 ∂x
 2
 .
 ..


∂g
∂xn
∂g
∂x1
∂2L
∂x21
∂2L
∂x2 ∂x1
∂g
∂x2
∂2L
∂x1 ∂x2
∂2L
∂x22
...
...
...
...
∂2L
∂xn ∂x1
∂2L
∂xn ∂x2
...
..
.
..
.

∂g
∂xn 
∂2L 

∂x1 ∂xn 

∂2L 
∂x2 ∂xn 

.. 
. 

∂2L
∂x2n
jest hesjanem funkcji Lagrange’a.
Zdefiniujmy
Wi :=
0
∂g
∂x1
∂g
∂x
2
.
..
∂g
∂x
i
i = 2, 3, . . . , n.
∂g
∂x1
∂2L
∂x21
∂2L
∂x2 ∂x1
∂g
∂x2
∂2L
∂x1 ∂x2
∂2L
∂x22
...
...
...
...
∂2L
∂xi ∂x1
∂2L
∂xi ∂x2
...
..
.
..
.
∂g ∂xi ∂ 2 L ∂x1 ∂xi ∂2L ∂x2 ∂xi .. . ∂2L ∂x2 ,
i
˛ istnienia
ekstremum warunkowego
∂L
∂L
Załóżmy, że
(λ̃, P0 ) = 0 ,
(λ̃, P0 ) = 0 , i = 1, . . . , n.
∂λ
∂xi
((λ̃, P0 ) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange’a).
Jeżeli
Wi (P0 ) < 0 , dla i = 2, 3, . . . , n, to w punkcie P0 funkcja
f osiaga
˛ minimum wzgl˛edne przy ograniczeniu
g(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 .
(−1)i Wi (P0 ) > 0 , dla i = 2, 3, . . . , n, to w punkcie P0
funkcja f osiaga
˛ maksimum wzgl˛edne przy ograniczeniu
g(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 .
˛ istnienia
ekstremum warunkowego
Niech n = 2 i niech (λ̃, x0 , y0 ) b˛edzie punktem krytycznym
funkcji Lagrange’a L(λ, x, y) = f (x, y) + λ · g(x, y), tzn.
∂L
∂L
∂L
(λ̃, x0 , y0 ) = 0 ,
(λ̃, x0 , y0 ) = 0 ,
(λ̃, x0 , y0 ) = 0 .
∂λ
∂x
∂y
Jeżeli
detHL(λ̃, x0 , y0 ) < 0 , to w punkcie (x0 , y0 ) funkcja f
osiaga
˛ minimum lokalne warunkowe przy warunku
g(x, y) = 0 .
detHL(λ̃, x0 , y0 ) > 0 , to w punkcie (x0 , y0 ) funkcja f
osiaga
˛ maksimum lokalne warunkowe przy warunku
g(x, y) = 0 .
Przykład
Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcji f : R2 → R i
f (x, y) = −2x + 3y + 2
przy ograniczeniu x2 + y 2 − 1 = 0.
Przykład
Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcji f : R2 → R i
f (x, y) = x2 + y 2
przy ograniczeniu x2 − y 2 = 1.
Funkcje uwikłane
Funkcja˛ uwikłana˛ określona˛ przez warunek
F (x, y) = 0
nazywamy każda˛ funkcj˛e y = ϕ(x) , spełniajac
˛ a˛ równość
F (x, ϕ(x)) = 0 dla wszystkich x z pewnego przedziału I ⊂ R.
Podobnie określa si˛e funkcj˛e uwikłana˛ x = ψ(y) , gdzie
y ∈ J ⊂ R.
Wówczas
∂F
∂F
∂F ′
+
· y = 0 ⇒ y ′ = − ∂x
∂F
∂x
∂y
∂y
Przykłady
Funkcja y =
√
1 − x2 jest funkcja˛ uwikłana˛ określona˛ w
przedziale h−1, 1i za pomoca˛ równania
x2 + y 2 − 1 = 0
ponieważ dla każdego x ∈ h−1, 1i spełniony jest warunek
x2 +
√
1 − x2
2
−1=0 .
Równanie x + y + 1 = 0 nie określa żadnej funkcji.
2
2
Twierdzenie o istnieniu i
różniczkowalności funkcji uwikłanej
Jeżeli funkcja F ma ciagłe
˛ pochodne czastkowe
˛
pierwszego
rz˛edu na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) i spełnia warunki
① F (x0 , y0 ) = 0
∂F
②
(x0 , y0 ) 6= 0 ,
∂y
to na pewnym otoczeniu O punktu x0 istnieje jednoznacznie
określona funkcja uwikłana y = ϕ(x) spełniajaca
˛ warunki:
F (x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x z tego otoczenia,
ϕ(x0 ) = y0 ,
∂F
(x, ϕ(x))
′
′
∂x
y = ϕ (x) = − ∂F
, dla każdego x ∈ O.
(x, ϕ(x))
∂y
Przykłady
Niech x + sin y = xy . Oblicz y (0) = ... i
′
y ′′ (0) = ...
Niech x = y + ln y . Oblicz y = ... i y = ...
Napisz równanie stycznej do krzywej określonej
′
′′
równaniem x + x3 = y 3 + y 5 w punkcie A(1, 1).
Twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej
Niech funkcja F b˛edzie określona na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) i
niech ma tam ciagłe
˛ pochodne czastkowe
˛
rz˛edu drugiego.
Ponadto niech ① F (x0 , y0 ) = 0
∂F
∂F
(x0 , y0 ) = 0 ,
(x0 , y0 ) 6= 0 ,
②
∂x
∂y
∂2F
(x0 , y0 )
2
③ A = − ∂x
6= 0 .
∂F
(x0 , y0 )
∂y
Wtedy funkcja uwikłana y = ϕ(x) określona przez równanie
F (x, y) = 0 ma w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum lokalne właściwe:
minimum, gdy A > 0
maksimum, gdy A < 0.
Uwaga
Równość F (x0 , y0 ) = 0 jest warunkiem
∂ 2F
koniecznym, a nierówność
(x0 , y0 ) 6= 0 jest
2
∂x
warunkiem wystarczajacym
˛
istnienia ekstremum
funkcji uwikłanej. Prawdziwe jest także analogiczne
twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci
x = ψ(y).
Algorytm znajdowania ekstremów
lokalnych funkcji uwikłanej
① Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema,
znajdujemy korzystajac
˛ z warunku koniecznego istnienia
ekstremum. W tym celu rozwiazujemy
˛
układ warunków:
∂F
∂F
F (x, y) = 0 ,
(x, y) = 0 ,
(x, y) 6= 0 ,
∂x
∂y
② W otrzymanych punktach (x0 , y0 ) sprawdzamy warunek
wystarczajacy
˛ istnienia ekstremum, tj. określamy znak
∂2F
(x0 , y0 )
2
6= 0 . Na podstawie znaku tego
wyrażenia A = − ∂x
∂F
(x0 , y0 )
∂y
wyrażenia ustalamy rodzaj ekstremum.
Przykład
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej
y = ϕ(x) określonej przez warunek
x3 + y 3 − 8xy = 0 .
Podsumowanie
Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych.
Warunki na istnienie ekstremów lokalnych.
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych.
Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych.
Funkcje uwikłane.
Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e
,

Funkcje wielu zmiennych (cd) - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Podobne dokumenty

Cennik - auros.com.pl

Prawo samorządu terytorialnego – wybrane zagadnienia Prawo

KWESTURA UKSW Dział Rozliczeń Studiów

KWESTURA UKSW Dział Rozliczeń Studiów

Automatyka i Robotyka

POMIARY – AUTOMATYKA – ROBOTYKA

Pobierz plik

Absolwent WEIT zwycięzcą konkursu Siemensa na najlepszą pracę

Zobacz referencję - ELMARK Automatyka