Ciąg arytmetyczny
Transkrypt
Ciąg arytmetyczny
Ciąg ARYTMETYCZNY Ciąg liczbowy nazywamy cięgiem arytmetycznym, gdy różnica pomiędzy dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu (ozn. ją przez r). Inaczej mówiąc ciąg począwszy od drugiego wyrazu, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby ݎ, zwanej różnicą, czyli ܖ܉ା = ܖ܉+ ܚ, np.: ܉ = ܉ + ܚ, ܴ ∈ ݎ, ∈ ࡺା Ciąg arytmetyczny ሺa୬ ሻ ma co najmniej trzy wyrazy. Ciąg arytmetyczny jednoznacznie wyznaczają jego pierwszy wyraz i różnica ሺaଵ , rሻ. Dla ࢘ ∈ ࡾ, ∈ ࡺା ܖ܉ = ܚା − ܖ܉ ܉ = ܚ − ܉ – różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym (musi być stała) ܉ = ܚ − ܉ itd. w danym ciągu ݎmusi być konkretną liczbą lub ܉ = ܖ܉ + ሺ ܖ− ሻ ∙ ܚ – wzór na n-ty wyraz ciągu Zatem podstawiamy do a୬ = aଵ + ሺn − 1ሻ ∙ r i otrzymujemy aଶ = aଵ + ሺ2 − 1ሻ ∙ r. aଶ = aଵ + ݎ, aଷ = aଶ + r = aଵ + 2ݎ, aସ = aଷ + r = aଶ + 2 = ݎaଵ + 3ݎ, ...itd = ܖ܁ቀ ܉ ାܖ܉ lub = ܖ܁ቀ ቁ∙ܖ – wzór na sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego ܉ ା܉ ାሺିܖሻ∙ܚ ቁ∙ =ܖቀ ሺ܉ ା ሺିܖሻ∙ ܚሻ ቁ∙ܖ Zatem S୬ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + ⋯ + ܽ Zatem Sଵ = ܽଵ Sଶ = ܽଵ + ܽଶ , z tego wzoru możemy wyznaczyć np.: ܽଶ (czyli drugi wyraz): Sଶ − ܽଵ = ܽଶ , lub Sଶ − ܵଵ = ܽଶ , Sଷ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ , z tego wzoru można wyznaczyć np.: ܽଷ (czyli trzeci wyraz): Sଷ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ Sଷ = ܵଶ + ܽଷ lub Sଷ − ܵଶ = ܽଷ , …itd. Własności ciągu arytmetycznego: Każdy wyraz ciągu arytmetycznego – oprócz pierwszego i ostatniego, jeśli ciąg jest skończony – jest średnia arytmetyczną wyrazów poprzedniego i następnego, czyli: ࢇ = ࢇష ାࢇశ np.: ܽଷ = , dla ≥ . మ ାర ଶ , (Pamiętajmy, że własność ta nie dotyczy pierwszego wyrazu bo nie ma on wyrazu poprzedniego – nie ma takiego wyrazu, jak ܽ , jak również ostatniego wyrazu bo nie ma on wyrazu następnego). W ciągu arytmetycznym skończonym suma dwóch wyrazów jednakowo odległych od pierwszego i ostatniego wyrazu tego ciągu jest równa sumie wyrazu pierwszego i wyrazu ostatniego. Dany jest ciąg skończony 2,4, , 8,10,12, , 16,18. Wówczas suma pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu wynosi 2 + 18 = 20. Weźmy sobie dwa wyrazy równo oddalone od 2 i 18 (czyli od pierwszego i ostatniego wyrazu). np.: 6 i 14 widzimy, że ich suma również wynosi 20.