∑ ∑ ∑

ĆW. B-2
Ocena niepewności typu AB
Wprowadzenie
Przy wielokrotnych pomiarach tej samej wartości wielkości mierzonej w pozornie
niezmiennych warunkach otrzymuje się na ogół różne wyniki pomiarów na skutek występowania błędów przypadkowych. Jeżeli rozrzut wyników nie jest powodowany wpływami systematycznymi, to wyniki można traktować jako zmienne losowe podlegające
regułom statystyki i stosować do ich oceny rachunek prawdopodobieństwa.
Podstawą oceny wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru są dwa parametry rozkładu normalnego (Gaussa):
- wartość oczekiwana, która w przypadku pomiarów jest średnią arytmetyczna z serii
wyników
1 n
x = ∑ xi
n i= 1
- odchylenie standardowe wartości średniej s( x ) , określające przedział wartości wokół
wartości średniej, w którym jest skupionych 68,3% wyników serii – wyznaczane z zależności
s( x ) =
n
1
(x i − x) 2
∑
n (n − 1) i = 1
Wiarygodność oszacowania niepewności pomiaru w oparciu o odchylenie standardowe wzrasta wraz ze zwiększeniem liczebności serii wyników. Przyjmuje się przy
tym, że pomiarów powinno być więcej niż 30. Przeprowadzenie tak wielu doświadczeń
pomiarowych zwykle wymaga dłuższego okresu czasu, w którym z reguły mogą wystąpić różne wpływy systematyczne powodujące osłabienie założonej przypadkowość,
co w konsekwencji objawia się odmiennym od normalnego rozkładem wyników pomiarów. Z tych powodów pomiary z dużą liczbą powtórzeń wykonuje się sporadycznie.
Łatwiejsze w realizacji są pomiary z mniejszą liczbą powtórzeń, praktycznie nie
przekraczającą kilkunastu. Jednak wtedy, wykorzystanie krotności odchylenia standardowego rozkładu normalnego, jako miary niepewności tych pomiarów, nie daje prawidłowej oceny.
Mało liczne prób opisuje się rozkładem „t Studenta”. Wykres funkcji tego rozkładu ma kształt podobny do krzywej rozkładu Gaussa, ale jest od niej szerszy i bardziej
spłaszczony, a jej przebieg zależy od liczby pomiarów. Natomiast dla serii o liczności
większej od 30 przebieg funkcji upodabnia się do rozkładu normalnego.
Do obliczenia niepewności rozszerzonej przyjmuje się współczynnik rozszerzenia
z tablic rozkładu Studenta, podających tzw. współczynnik Studenta – t n,p. Jego wartość
jest funkcją liczby pomiarów i poziomu ufności.
Wtedy U( X ) = t n ,p u A ( X ) , a niepewność standardową typu A oblicza się podobnie jak dla rozkładu normalnego:
n
u A (X) =
s( X ) =
∑
i= 1
(X i − X ) 2
.
n ( n − 1)
1
TAB. Wybrane współczynniki tn,p rozkładu Studenta
Liczba
tn,p
pomiarów
p=0,68
p=0,95
p=0,99
n
2
1,84
13
64
3
1,32
4,3
9,9
4
1,20
3,2
5,8
5
1,15
2,8
4,6
6
1,11
2,6
4,0
7
1,08
2,4
3,5
8
1,08
2,4
3,5
9
1,07
2,3
3,4
10
1,06
2,3
3,3
12
1,05
2.2
3,1
15
1,04
2,2
3,0
20
1,03
2,1
2,9
30
1,02
2,0
2,8
p=0,997
233
19
9,2
6,6
5,5
4,5
4,3
4,2
4,1
3,9
3,7
3,4
3,3
Przykład 1
Obliczanie niepewności typu A w pomiarach bezpośrednich
(niepewność typu B jest pomijalnie mała)
Omomierzem cyfrowym o dokładności 0,02% zmierzono rezystancję wykonując
sześciokrotnych odczytów: R i = ( 80,42 ; 80,92 ; 80,31 ; 80,02 ; 80,56 ; 80,96 ) Ω . Określić
wynik pomiaru z uwzględnieniem niepewności pomiaru na poziomie ufności p=0,95.
Obliczenia
- wartość średnia mierzonej rezystancji: R =
1 n
483,19
Ri =
= 80,532Ω
∑
n i= 1
6
Tablica pomocnicza
Ri
Ri − R
i
Ω
Ω
(
)
(R
i
− R
Ω
)
2
2
1
2
3
4
5
6
80,42
-0,112
0,0125
80,92
0,388
0,1505
80,31
-0,222
0,0493
80,02
-0,512
0,2621
80,56
0,028
0,0008
80.96
0,428
0,1832
Σ=80,532 Σ= -0,002 Σ=0,6685
- niepewność standardowa typu A jest równa odchyleniu standardowemu wartości średniej:
u A ( R) = sR =
∑ (R
i
− R
n ( n − 1)
)
2
=
0,6685
= 0,1493Ω
6( 6 − 1)
2
- sprawdzenie nierówności u B ( R ) ≤ 0,1 u A ( R ) :
∆ gR δ gR ⋅ R 1
0,02 ⋅ 80,53Ω
uB (R) =
=
=
= 0,0093Ω (Nierówność jest spełniona).
100% 3
3
100% ⋅ 3
- niepewność rozszerzona: U( R ) = t n ,p u A ( R ) , gdzie t n ,p - współczynnik rozszerzenia
wynikający z rozkładu Studenta, zależny od przyjętego poziomu ufności i liczby pomiarów. Dla n = 6 i p = 0,95, tablice rozkładu Studenta podają: t n ,p = 2,6. Więc
U( R ) = 2,6 ⋅ 0,1493 = 0,3882Ω = 0,39Ω .
wynik pomiaru:
R = ( 80,53 ± 0,39 ) Ω , p=0,95
0,39
Ur (R) =
⋅ 100% = 0,48%.
niepewność względna:
80,5
Przykład 2
Obliczanie niepewności typu AB w pomiarach bezpośrednich
(niepewności typu A i B są porównywalne)
Wyznaczono indukcyjność cewki indukcyjnej o wartości nominalnej 10mH. Wykonano 5 pomiarów, otrzymując następujące odczyty : Li = (10,15 ; 10,20 ; 10,04 ; 10,14
; 10,22)mH. Przyjmując poziom ufności 0,95 należy wyznaczyć wartość poprawną
mierzonej indukcyjności. Układ pomiarowy gwarantował graniczny błąd pomiaru 0,2%.
Obliczenia
Tablica pomocnicza:
Li
Li − L
n
mH
mH
1.
10,15
0
2.
10,20
+0,05
3.
10,04
-0,11
4.
10,14
-0,01
5.
10,22
+0,07
L i = 10,150 mH
(L
∑
)
2
− L
(mH)2
0
0,0025
0,0121
0,0001
0,0049
= 0,0196
i
- niepewność standardowa typu A odpowiada odchyleniu standardowemu wartości średniej s L :
( )
( )
u A ( L) = s L =
0,0196
= 0,0313 mH .
4⋅ 5
- niepewność standardowa typu B:
u B ( L) =
- niepewność standardowa łączna:
u AB ( L ) =
1 0,2% ⋅ 10,15mH
= 0,0117mH
100%
3
( 0,0313) 2 + ( 0,0117 ) 2
= 0,0334 mH
- niepewność rozszerzona (dla n =5 i p =0,95 - współczynnik rozszerzenia tn,p=2,8):
3
( )
U L = 2,8 ⋅ 0,0326 = 0,091mH .
L = (10,15 ± 0,10) mH,
- wynik pomiaru:
( )
0,10
⋅ 100% = 1,0% .
10,15
Ur L =
- niepewność względna pomiaru:
p =0,95
Przykład 3
Obliczanie niepewności typu AB w pomiarach pośrednich
(niepewności A i B są porównywalne)
Do pomiaru natężenia prądu I zastosowano rezystor (bocznik) o wartości nominalnej R n = 100Ω i kl. 0,05, oraz woltomierz cyfrowy o zakresie U z = 100V , rezystancji wewnętrznej R v ≥ 10MΩ i dokładności ± ( 0,05% U X + 0,02% U Z ) .
Wykonano serię pomiarów spadków napięcia na boczniku, otrzymując odczyty:
U i = ( 55,45 : 55,36 ; 55,42 ; 55,38 ; 55,44) V.
Określić wynik pomiaru i jego niepewność dla poziomu ufności p=0,99.
Obliczenia
- oszacowanie błędu metody: δ m = ( R n / R V )100% = 0.001% ; nie ma potrzeby
uwzględniania poprawki na wskazania woltomierza, gdyż δm<< δgU
1 5
277,05
U = ∑ Ui =
= 55,41V
- wartość średnia serii:
n i= 1
5
- tablica pomocnicza do zadania:
i
1
2
3
4
5
-
Ui
Ui − U
V
55,45
55,36
55,42
55,38
55,44
Σ = 277,05
V
0,04
-0,05
0,01
-0,03
0,03
Σ=0
(U
)
2
− U
V2
0,0016
0,0025
0,0001
0,0009
0,0009
Σ = 0,0060
i
niepewność standardowa typu A wartości średniej
u A ( U) =
u r ,A ( U ) =
(
n
1
∑ Ui − U
n ( n − 1) i = 1
u A ( U)
U
100% =
)
2
0,0060
= 0,0173V
5( 5 − 1)
=
0,0173V
100% = 0,031%
55,41V
- błąd graniczny dopuszczalny woltomierza
0,02% U Z
0,02 ⋅ 100
δ g U = 0,05% +
= 0,05% +
= 0,086%
55,41
U
- niepewność standardowa typu B: u r ,B ( U ) =
δ gU
3
=
0,086%
= 0,050V
3
4
- niepewność standardowa łączna woltomierza:
u r ,AB ( U ) =
u 2r ,A ( U ) + u 2r ,B ( U ) =
- niepewność standardowa rezystora:
u r ,B ( R n ) =
I=
- zmierzony prąd:
-
3
=
0,05%
3
= 0,059%
= 0,029%
U 55,41V
=
= 0,5541A
Rn
100Ω
niepewność łączna pomiaru prądu:
u r ,AB ( I ) =
u r ,AB ( I ) =
-
δ gR n
( 0,031) 2 + ( 0,050) 2
[u r ,AB ( U)] 2 + [u r ,B (R n )]2 .
( 0,059) 2 + ( 0,029) 2
= 0,066% .
niepewność rozszerzona
Współczynnik rozszerzenia wynika z tablicy rozkładu Studenta. Dla
p=0,99 i n = 5 współczynnik Studenta t n ,p = 4,6 , więc
U r ( I ) = k ⋅ u r ,AB ( I ) = t n ,p ⋅ u r ,AB ( I ) = 4,6 0,066% = 0,30%
U ( I) =
U r (I) I 0,30% 0,5541A
=
= 0,00166A = 0,0017A
100%
100%
I = ( 554,1 ± 1,7 ) mA , p = 0,99
-
wynik pomiaru
-
niepewność względna pomiaru U r ( I ) = 0,30%
Przykład 4
(do samodzielnego rozwiązania)
Watomierzem elektrodynamicznym o danych: kl. 0,2 ; Pz= 500W ; Uz= 100V ; Iz=
5A , zmierzono moc odbiornika prądu stałego. W układzie o zadanym napięciu wykonano
5 pomiarów: Pi = (358,1 ; 358,4 ; 357,8 ; 357,5 ; 358,5)W. Rezystancja obwodu napięciowego watomierza Rw,U= 10kΩ , rezystancja woltomierza Rv > 109Ω.
Program pomiarów
Woltomierzem cyfrowym wykonać 3 serie pomiarów napięcia sieci, przyjmując w
poszczególnych seriach: 5 , 10 i 15 pomiarów. Na podstawie porównania wyników pomiarów ocenić występujące pomiędzy nimi różnice. Wyniki pomiarów przedstawić na
rysunku z oznaczonymi przedziałami wartości U±U(U).
5