Matematyka finansowa - zestaw 2 - 26 X
Transkrypt
Matematyka finansowa - zestaw 2 - 26 X
Matematyka finansowa - zestaw 2 - 26 X-9 XI 2016 Zmienna stopa procentowa i inflacja. Zadanie 1. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę procentową, jeżeli w kolejnych latach roczna stopa procentowa wynosiła: 7%, 8%, 9%, 9%, 8%. Zadanie 2. W banku stosującym kapitalizację półroczną roczna stopa procentowa ulegała zmianom i w kolejnych latach wynosiła: 10%, 9%, 10%. Wyznaczyć przeciętną stopę półroczną i przyszłą wartość kapitału 2000 jp. Zadanie 3. Przeciętna kwartalna stopa procentowa dla okresu 3,5 roku wynosi 2, 5%. Wyznaczyć nominalną roczną stopę procentową obowiązującą w pierwszym roku, jeśli w drugim roku nominalna roczna stopa procentowa wynosiła 8%, przez następne 3 kwartały - 9%, a w pozostałym okresie czasu - 11%. Zadanie 4. W banku, stosującym kapitalizację miesięczną przy zmiennej stopie procentowej, wartość lokaty 3500 PLN po upływie 2,5 lat wzrosła do kwoty 4720 PLN. W tym okresie miesięczna stopa procentowa zmieniała się 3 razy. Przez pierwsze pół roku wynosiła 0, 9%, a w ostatnich pięciu kwartałach 1, 1%. Wyznaczyć przeciętną miesięczną stopę procentową oraz roczną stopę procentową obowiązującą w drugim okresie. Zadanie 5. W pewnym banku w ciągu 4,5 lat roczna stopa procentowa zmieniała się 3 razy i wynosiła: w pierwszym półroczu 16%, a przez następne 1,5 roku 14%. W tym czasie wartość pewnego kapitału podwoiła się przy kapitalizacji kwartalnej. a) Wyznaczyć przeciętną stopę procentową oraz roczną stopę procentową obowiązującą w trzecim okresie trwania lokaty. b) Po jakim czasie wartość kapitału wzrośnie o 32 przy kapitalizacji ciągłej i rocznej stopie procentowej równej przeciętnej kwartalnej stopie procentowej z pierwszej części zadania. Zadanie 6. Kapitał 1000 PLN umieszczono na lokacie o kapitalizacji półrocznej ze stopą procentową roczną 20%. Inflacja roczna wynosiła 10%. Czy poniższe rozumowania, mające na celu obliczenie realnej wartości kapitału po roku są poprawne? Dlaczego? Jak należy to poprawnie policzyć? Rozumowanie 1: Efektywna roczna nominalna stopa procentowa na danej lokacie wynosi: 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟 = (1, 1)2 − 1 = 0, 21. Korzystając ze wzoru Fishera otrzymujemy realną roczną −𝑖 stopę procentową na lokacie 𝑟𝑟𝑒,𝑟 = 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟 = 0,11 = 0, 1. Wobec tego liczymy już 1+𝑖 1,1 teraz tylko na wartościach realnych: jako, że kapitalizacja na koncie była półroczna, więc musimy uzgodnić stopy: 0, 1 rocznie to 0, 05 półrocznie. Ostatecznie po roku realna wartość kapitału wyniesie: 1000(1, 05)2 = 1102, 5 PLN. Rozumowanie 2: Ze wzoru Fishera na realną roczną stopę procentową otrzymujemy: −𝑖 𝑟𝑟𝑒 = 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟 = 0,1 = 0, 0909. Odtąd, na wartościach realnych: realna względna 1+𝑖 1,1 półroczna stopa procentowa wynosi: 𝑟𝑝,𝑟𝑒 = 𝑟2𝑟𝑒 = 0, 0455. Zatem po roku realna wartość kapitału wyniesie: 𝐾1 = 1000(1, 0455)2 = 1093, 0703. Zadanie 7. Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 700 jp miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku kwartalna stopa inflacji była równa odpowiednio: 5%, 7%, 6%, 4%. Wyznaczyć: a) nominalną płacę pracownika w I kwartale następnego roku, b) roczną stopę inflacji, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji, d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. Zadanie 8. Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20% i bank stosuje kwartalną kapitalizację złożoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa zysku z tej lokaty, jeżeli kwartalna stopa inflacji w poszczególnych kwartałach była równa odpowiednio: 7%, 5%, 4%, 5%. Zadanie 9. W ciągu 2 lat kwartalna stopa inflacji wynosiła w kolejnych kwartałach: 4%, 2%, 4%, 3%, 3%, 4%, 4%, 3%. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę inflacji. Wyznaczyć realną roczną stopę procentową zysku z 2-letniej lokaty oraz wartość realną kapitału 1 2 złożonego na lokacie po 2 latach, jeśli wpłacono do banku 2000 jp i kapitalizacja jest złożona półroczna z roczną stopą procentową 0,18. Zadanie 10. W pewnym banku w ciągu 2 lat kapitalizacja zmieniała się następująco: przez pierwszy rok była ciągła ze stopą 10%, przez następne pół roku - miesięczna z roczną stopą 8%, a przez ostatnie pół roku - kwartalna ze stopą roczną 12%. W tym czasie inflacja kształtowała się następująco: przez pierwsze dwa kwartały wynosiła 1% i 2% (kwartalnie), przez następne półrocze 3, 5% (półrocznie), a w ostatnim roku 6% (rocznie). Jaką kwotę wpłacono do banku na początku, jeśli jej wartość realna po 2 latach wynosiła 4531,20 PLN? UWAGA! W kolejnych zadaniach przyjmujemy założenie, że stopa inflacji jest równa stopie wzrostu ceny danego dobra. Zadanie 11. Rok temu za kwotę K można było kupić 40 rowerów. Gdyby wpłacono ją do banku, w którym kapitalizacja jest złożona, półroczna z dołu ze stopą 12% rocznie to po wybraniu jej dziś, można byłoby kupić 42 rowery. Wyznaczyć roczną stopę inflacji. Przyjmując, że inflacja za pierwsze półrocze wynosi 2%, podać inflację w drugim półroczu. Zadanie 12. Miesięczne stopy inflacji w pewnym roku wyniosły kolejno: 1%, 1%, 1%, 0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 1%, 1, 5%, 1, 5%, 1, 5%. Firma budowlana na początku tego roku mogła za kwotę K kupić 120 ton cementu. Jednakże, wpłaciła tę kwotę do banku, w którym obowiązywała kapitalizacja kwartalna z dołu z nominalną stopą procentową roczną 𝑟. Dzięki temu po roku mogła kupić za kwotę wybraną z lokaty 126 ton cementu. Obliczyć: a) przeciętną kwartalną stopę inflacji; b) realną roczną stopę procentową; c) nominalną roczną stopę 𝑟; d) jak powinna się zmienić stopa nominalna w tym banku, aby przy przejściu na kapitalizację ciągłą zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania. Zadanie 13. Realna wartość kapitału złożonego na lokacie po 3 latach wyniosła 2400 j.p. Lokatę założono w banku z roczną stopą procentową 10% i kapitalizacją kwartalną. W tym czasie półroczna stopa inflacji w kolejnych półroczach wynosiła odpowiednio: 5%, 4, 5%, 5%, 4%, 3%, 4%. Jaką kwotę wpłacono do banku? Ile wynosiła przeciętna roczna stopa inflacji? Zadanie 14. Wartość realna kapitału wpłaconego na lokatę, na której obowiązywała kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 24% w ciągu 4 lat podwoiła się. W kolejnych siedmiu półroczach obowiązywania lokaty inflacja (półroczna) wynosiła odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3%, 4%, 5%, 4%, 3%. Ile wyniosła inflacja w ostatnim półroczu? Ile wynosiła przeciętna roczna stopa inflacji w trakcie trwania lokaty? Zadanie 15. W pewnym roku, inflacja miesięczna w pierwszych trzech miesiącach wynosiła 2% (na każdy miesiąc). W ciągu kolejnego półrocza, inflacja półroczna wyniosła 10%. Na początku tego roku złożono kapitał 10000 PLN na lokacie z kapitalizacją dwumiesięczną i roczną stopą procentową 42%. Wiedząc, że wartość realna kapitału na lokacie na koniec roku wyniosła 1220 PLN, obliczyć roczną stopę inflacji i przeciętną miesięczną stopę inflacji w ostatnim kwartale roku. Dobrej zabawy! Grzesiek Kosiorowski