Modelowanie i obliczenia techniczne

Modelowanie
i obliczenia techniczne
dr inż. Paweł Pełczyński
[email protected]
Literatura
Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: „Metody
numeryczne”, WNT Warszawa, 2005.
J. Awrejcewicz: „Matematyczne modelowanie systemów”,
WNT Warszawa, 2007.
W. Tarnowski, S. Bartkiewicz: „Modelowanie
matematyczne i symulacja komputerowa dynamicznych
procesów ciągłych”, Feniks, Koszalin, 1998.
Prezentacje wykładowe dostępne na stronie:
http://ppelczynski.swspiz.pl/
2
Program przedmiotu
Modelowanie procesów, klasyfikacja procesów
Metody modelowania
Zastosowanie metod numerycznych w modelowaniu
Omówienie wybranych metod numerycznych
Optymalizacja
Wybrane zagadnienia modelowania procesów
Zastosowania praktyczne modelowania
3
Ogólna definicja pojęcia
Modelowanie
Modelowanie
- Próba przedstawienia jakiegoś zjawiska, które staramy
się zrozumieć lub zbadać, w kategoriach innych zjawisk,
które już rozumiemy.
Aby dokładniej zrozumieć to zagadnienie zostanie
wprowadzone pojęcie systemu i procesu.
4
Definicja pojęcia system
Wikipedia:
System (gr. σύστηµα systema – rzecz złożona) – jakikolwiek
obiekt fizyczny lub abstrakcyjny, w którym można
wyróżnić jakieś wzajemnie powiązane dla obserwatora
elementy. W tym sensie podział czegoś na systemy jest
względny i zależy od tego kto, przy pomocy czego i do
czego poklasyfikował jakiś zbiór na systemy. Dlatego też
elementy jednego systemu mogą stanowić składniki
innych systemów.
5
Definicja pojęcia system w technice
SYSTEM
Zbiór obiektów fizycznych lub abstrakcyjnych, które
oddziałują na siebie.
•System aktywnego
zawieszenia
•System hamulcowy
•Samochód jako całość
•Układ samochód - droga
Źródło: http://www.infosamochody.pl/
6
Matematyczna definicja
pojęcia system
SYSTEM
Zbiór elementów i zachodzących między nimi relacji.
Zbiór relacji jest określany mianem struktury systemu:
S = { X, R }
S – system,
X – zbiór obiektów,
R – relacje
7
Budowa systemu
System składa się z podsystemów.
Niektóre systemy uważa się za niepodzielne
i określa się jako podstawowe.
System jest budowany z elementów podstawowych.
8
System jako część składowa
innego systemu
Każdy system ma swoje nadsystemy.
System posiada wejście i wyjście, stanowiące granice
systemu.
Nadsystem rozważanego systemu jest jego otoczeniem
Inaczej mówiąc: otoczenie pochodzi z systemu, w którym
rozważany system jest podsystemem.
9
System z jego otoczeniem
Otoczenie
Wejście
System
Wyjście
10
Proces
Wikipedia:
Proces – uporządkowany w czasie ciąg zmian i stanów
zachodzących po sobie. Nośnikiem każdego procesu jest
zawsze w efekcie jakiś system fizyczny. Każdy kolejny
stan/zmiana systemu spowodowana jest przez
stan/zmianę poprzednią albo przez oddziaływanie
zewnętrzne na system.
11
Proces w funkcji czasu
Proces realizowany jest w określonym czasie,
czyli ma początek i koniec.
Wyróżnia się procesy ciągłe i dyskretne.
12
Klasyfikacja procesów
Procesy ciągłe to takie, w których w dowolnym,
skończonym odcinku czasu możemy wyróżnić
nieskończoną liczbę zmian a różnice między nimi są
dowolnie małe. Takie procesy opisują wiele
podstawowych zjawisk fizycznych.
Procesy dyskretne to takie, w których możemy
wyróżnić skończoną liczbę zdarzeń/stanów.
13
Model
Słowo model ma różnorodne znaczenie
Źródło: http://kartonwork.pl/
Źródło: http://artyzm.com/
W technice model to uproszczona imitacja
lub reprezentacja systemu rzeczywistego.
14
Model
Wikipedia:
Model – system założeń, pojęć i zależności między nimi,
pozwalający opisać (zamodelować) w przybliżony
sposób jakiś aspekt rzeczywistości. Na ogół wyrażany
w języku matematyki (tzw. model matematyczny).
15
Model systemu
Modelem systemu jest materialna lub abstrakcyjna
struktura, pozostająca w relacji podobieństwa
do struktury modelowanego systemu.
Badanie modelu może dostarczyć informacji
spełniających cele badania, projektowania doskonalenia
tego systemu.
16
Modelowanie
Modelowanie ma szeroki zakres znaczeniowy, np. w grafice 3D proces
tworzenia i modyfikacji obiektów trójwymiarowych za pomocą
specjalizowanego programu komputerowego, zwanego modelerem.
W psychologii modelowanie jest uczeniem się poprzez obserwowanie
zachowań innych ludzi.
Znaczenie słowa modelowanie zależy od dziedziny, w której jest używane.
17
Modelowanie procesu
Modelowanie służy do poznania danego
procesu, poprzez zastąpienie go
uproszczonym układem – modelem.
Model odzwierciedla jedynie wybrane
cechy badanego procesu.
Źródło: http://minibo.aei.polsl.pl/
18
Badanie modelu
Badanie modelu przeprowadza się dwustopniowo:
model porównuje się z rzeczywistym zjawiskiem i uważa
się, że jest on dobry jeżeli otrzymane różnice są niewielkie
sprawdza się czy model spełnia stawiane oczekiwania
19
Wybór i budowa modelu
procesu
Proces modelowania sprowadza się do wyznaczenia
zależności matematycznej między wielkościami
wyjściowymi i wejściowymi:
y = f(x,z,u)
y - wielkości wyjściowe badanego systemu
x, z, u - wielkości wejściowe
20
Modelowanie matematyczne
Modelowanie matematyczne jest stosowane do
badania procesów mających opis matematyczny.
v
s
ds
v=
dt
21
Etapy modelowania
matematycznego
Proces modelowania matematycznego składa się z trzech
etapów:
opracowanie formalnego opisu badanego procesu
(wyznaczenie modelu matematycznego)
ustalenie algorytmu wyznaczenia wartości liczbowych
szukanych parametrów
sprawdzenie zgodności modelu z procesem
22
Sposoby tworzenia modelu
matematycznego
Proces modelowania matematycznego może być
przeprowadzony na dwa sposoby:
Na drodze teoretycznej - zakłada się znajomość
ogólnych praw rządzących procesem lub systemem
Na drodze eksperymentalnej – opiera się na
obserwacjach (pomiarach) i jest określany mianem
identyfikacji modelu
23
Cechy modelowania
matematycznego
Przy wyznaczaniu
modelu matematycznego
rzeczywiste zjawisko jest
upraszczane
i przedstawiane w postaci
schematycznej.
Opis matematyczny
modelu przedstawia się
w postaci układu równań
algebraicznych lub
różniczkowych.
24
Model matematyczny
Model matematyczny jest
zbiorem reguł i zależności,
na podstawie których można
przewidzieć (w drodze
obliczeń) przebieg
modelowanego procesu.
Model matematyczny
badanego układu materialnego
to taki układ równań, którego
rozwiązania są podobne do
przebiegów wielkości
modelowanej.
25
Klasyfikacja modeli
matematycznych
Model o parametrach rozłożonych - model opisujący
procesy, w których zmienne zmieniają się zarówno w
czasie i w przestrzeni lub tylko w przestrzeni,
ale wielowymiarowej.
Model o parametrach skupionych - model w którym
podstawowe zmienne procesu są tylko funkcją czasu
(nie zmieniają się w przestrzeni).
26
Klasyfikacja modeli
matematycznych
Model statyczny opisuje proces w stanie ustalonym
(nie uwzględnia zmian wielkości w czasie).
Model dynamiczny opisuje proces w stanie
nieustalonym.
27