b h Y Z

Przykład 4.3. Stopa fundamentowa
Dana jest prostopadłościenna stopa fundamentowa. Obciażenia
˛
wyst˛epujace
˛ w przekroju podstawy o wymiarach b x h pokazane sa˛ na rysunku poniżej. Uwzgl˛edniajac
˛ warunek niewyst˛epowania w przekroju podstawy stopy napr˛eżeń rozciagaj
˛ acych,
˛
określić minimalne pole powierzchni podstawy stopy i odpowiadajace
˛ temu polu długości boków podstawy.
Z
h
14 kNm
Y
20 kN
6 kNm
P = 100 kN
My = −6 kNm
Mz = 14 kNm
b
Rozwiazanie
˛
Rozwiazanie
˛
zadania polega na określeniu warunków, których spełnienie jest konieczne, aby
w przekroju podstawy stopy nie wystapiły
˛
napr˛eżenia różnych znaków (czyli aby jedna cz˛e ść
podstawy nie była rozciagana,
˛
gdy druga jest ściskana).
W przypadku przyj˛etego układu osi YZ wzór na napr˛eżenia normalne w przekroju ma posta ć:
σ=
Mz
My
N
−
y+
z
A
Iz
Iy
Przekrój jest ściskany siła˛ P , wi˛ec
N = −P
Uwzgl˛edniajac
˛ powyższy fakt oraz charakterystyki geometryczne przekroju
A = bh
bh3
Iy =
12
b3 h
Iz =
12
można zapisać:
N
−6
Mz
My
−P
Mz
My
100
14
−
y+
z=
−
y+
z=−
− 3 y+ 3z =
A
Iz
Iy
A
Iz
Iy
bh
b h
bh
12
12
72
100 168
4
4
18
− 3 y − 3z = −
=−
25 + 2 y + 2 z
bh
b h
bh
bh
b
h
σ=
1
Ekstremalne wartości napr˛eżeń wyst˛epuja˛ w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi
oboj˛etnej, której równanie znajdujemy przyrównujac
˛ napr˛eżenie normalne do zera.
4
18
4
18
4
σx = 0 =⇒ −
25 + 2 y + 2 z = 0 =⇒ 25 + 2 y + 2 z = 0 =⇒
bh
b
h
b
h
y
z
z
y
=⇒
+
=1
+
= 1 =⇒
b2
h2
−10−2 b2 −2,222 · 10−2 h2
− 4·25
− 18·25
Z
2[b⁄2;h⁄2]
h
Y
1[-b⁄2;-h⁄2]
b
Niezależnie od wartości b i h oś oboj˛etna przecina osie układu współrz˛ednych dla ujemnych
wartości y i z. Oznacza to, że ekstremalne wartości napr˛eżeń wyst˛epuja˛ w punktach 1 i 2. Tak
wi˛ec rozwiazanie
˛
postawionego problemu polega na takim dobraniu wymiarów b i h, by w obu
tych punktach napr˛eżenie normalne σ miało ten sam znak. Z uwagi na znak siły normalnej
i zwrot wypadkowego momentu uwzgl˛ednienie tego warunku sprowadza si˛e w praktyce do
spełnienia warunku niedodatności napr˛eżenia maksymalnego, a wi˛ec napr˛eżenia w punkcie 1.
b h
4
42
18
b
h
σ1 = σ − ; −
=−
25 + 2 −
+ 2 −
=
2 2
bh
b
2
h
2
4
21 9
−
=−
25 −
bh
b
h
σ1 6 0
=⇒
=⇒
4
21 9
21 m 9
−
− > 0 =⇒
−
25 −
6 0 =⇒ 25 −
bh
b
h
b
h
21
9
9
9b
6 25 −
=⇒ h >
=⇒ h >
21
h
b
25b − 21
25 −
b
Wynika z tego, że pole podstawy stopy P ma wartość:
P = bh > b ·
9b
9b2
=
25b − 21
25b − 21
Z uwagi na fakt, że poszukujemy minimalnej wartości pola, do dalszych obliczeń przyjmijmy
P = P (b) =
9
b2
25b − 21
2
Pole przyjmuje wartość ekstremalna˛ (w tym przypadku minimum) dla takiej wartości wymiaru
b, dla którego pochodna funkcji P (b) jest równa zero.
0
9
0
2
P (b) = 0 =⇒
b
= 0 =⇒
25b − 21
9 · 2b · (25b − 21) − 9 · b2 · 25
= 0 =⇒
=⇒
(25b − 21)2
9b · [2 (25b − 21) − 25b]
=⇒
= 0 =⇒
(25b − 21)2
9b · (25b − 42)
42
= 0 =⇒ b =
=⇒
m = 1, 68 m
2
25
(25b − 21)
Długość drugiego boku podstawy h odpowiadajaca
˛ najmniejszemu polu jest zaś równa
42
18
9 · 42
25
=
m = 0, 72 m
=
42
21 · 25
25
25 ·
− 21
25
9·
0,72m
9b
=
h=
25b − 21
1,68m
Tak wi˛ec ostatecznie minimalna wielkość pola powierzchni stopy fundamentowej poddanej
danemu obciażeniu,
˛
spełniajaca
˛ warunek niewyst˛epowania w przekroju podstawy stopy napr˛eżeń rozciagaj
˛ acych,
˛
jest nast˛epujaca:
˛
P = bh =
18
756 2
42
m·
m=
m = 1, 2096 m2
25
25
625
3