12.5. Średnia arytmetyczna i średnia ważona

12. 5. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA I ŚREDNIA WAśONA
Średnia arytmetyczna
Średnią arytmetyczną liczb x1 , x 2 , x3 ,..., x n nazywamy liczbę
x + x2 + x3 + ... + x n
x= 1
n
Przykład 12.5.1. Oblicz średnią arytmetyczną danych liczb
a) 1,1,1,1,3,3,3,4,4,5
b) 2,4,6,8,....26
Rozwiązanie
Komentarz
Ilość wszystkich liczb : n = 10
a)
1+1+1+1+ 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5
x=
=
10
4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 5 4 + 9 + 8 + 5 26
=
=
=
= 2,6
10
10
10
Liczby 2,4,6,8,....26 tworzą ciąg
b)
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
26 = 2 + (n − 1) ⋅ 2
26 = 2 + 2n − 2
2n = 26 / : 2
n = 13
S13 =
x=
arytmetyczny , w którym a1 = 2; r = 2 .
Sumę tych liczb policzymy ze wzoru na
sumę częściową ciągu arytmetycznego:
Sn =
2a1 + (n − 1) ⋅ r
⋅n.
2
Zanim będziemy liczyć tą sumą , musimy
najpierw obliczyć n – liczbę wyrazów
ciągu. Będziemy korzystać ze wzoru
ogólnego ciągu arytmetycznego:
2 ⋅ 2 + (13 − 1) ⋅ 2
4 + 24
⋅ 13 =
⋅ 13 = 182
2
2
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
2 + 4 + 6 + ... + 26 182
=
= 14
13
13
Obliczamy średnią arytmetyczną liczb:
2,4,6,8,...26.
Przykład 12.5.2. Na diagramie przedstawiono zestawienie ocen z klasówki w
grupie drugiej. Oblicz średnią ocen klasy. Wynik podaj z dokładnością do jednego
miejsca po przecinku.
7
6
grupa II
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
ocena
5
6
Rozwiązanie
3 ⋅1 + 6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 4 + 1 ⋅ 5
x=
=
21
3 + 12 + 15 + 24 + 5 59
=
=
≈ 2,8
21
21
Komentarz
Z klasówki zastało wystawionych 21 ocen:
trzy ndst, sześć dop, pięć dst, sześć db,
jedna bdb.
Przykład 12.5.3. Rozpatrzmy osiem liczb. Średnia arytmetyczna tych ośmiu liczb
jest równa16. Średnia arytmetyczna siedmiu pierwszych z powyŜszych liczb
wynosi 17.Wyznacz ósmą liczbę.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7 + x8
= 16 /⋅ 8
8
x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7
= 17 /⋅ 7
7
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 128
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 119
Do pierwszego równania za
x1 + x2 + x3 + x 4
podstawiamy 119
+ x5 + x 6 + x 7
119 + x8 = 128
x8 = 128 − 119
x8 = 9
Odp.: Ósma liczba jest równa 9.
Przykład 12.5.4. Średnie miesięczne wynagrodzenie w pewnej firmie zatrudniającej
20 pracowników wynosiło 3200 zł. Zatrudniono nowego pracownika.
Ile zarabia nowo zatrudniony pracownik , jeśli obecnie średnie miesięczne
wynagrodzenie w firmie jest o 2 % wyŜsze niŜ poprzednio ?
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane :
Szukane :
n = 20
x 21 = ?
x = 3200
y = x + 2% x = 3200 + 0,02 ⋅ 3200 = 3200 + 64 = 3264
x + x 2 + ... + x 20
3200 = 1
/⋅ 20
20
x1 + x 2 + ... + x20 = 64000
x + x 2 + ... + x 20 + x 21
Obliczamy x 21
y= 1
21
Za x1 + x 2 + ... + x 20 podstawiamy
64000 + x 21
3264 =
/⋅ 21
64000.
21
64000 + x21 = 68544
x21 = 4544
Przykład 12.5.5. W tabeli przedstawiono wyniki ocen semestralnych trzech klas.
Oblicz średnią ocen wszystkich trzech klas razem.
Klasa I a
24
3,5
Liczba uczniów
Średnia ocen w klasie
Klasa I b
16
3,25
Rozwiązanie
Klasa I c
20
4,3
Komentarz
x1 + x2 + ... + x24
= 3,5 /⋅ 24
24
x1 + x2 + ... + x24 = 84
Obliczamy sumę ocen klasy
I a.
y1 + y 2 + ... + y16
= 3,25 /⋅ 16
16
y1 + y 2 + ... + y16 = 52
z1 + z 2 + ... + z 20
= 4,3 /⋅ 20
20
z1 + z 2 + ... + z 20 = 86
x + x 2 + ... + x 24 + y1 + y 2 + ... y16 + z1 + z 2 + ... + z 20
=
x= 1
24 + 16 + 20
84 + 52 + 86 222
=
=
= 3,7
60
60
Obliczamy sumę ocen klasy
I b.
Obliczamy sumę ocen klasy
I c.
Obliczamy średnią ocen
trzech klas razem.
Średnia waŜona
Średnią waŜoną liczb x1 , x 2 , x3 ,..., x k z odpowiadającymi im wagami
n ⋅ x + n2 ⋅ x 2 + n3 ⋅ x3 + ... + nk ⋅ xk
n1 , n2 , n3 ,..., nk ∈ R+ nazywamy liczę x w = 1 1
n1 + n2 + n3 + ... + nk
Przykład 12.5.6 Oblicz średnią waŜoną liczb z danymi wagami.
Liczba
waga
3 5 8 11
0,8 0,1 0,4 0,3
Rozwiązanie
0,8 ⋅ 3 + 0,1 ⋅ 5 + 0,4 ⋅ 8 + 0,3 ⋅ 11
xw =
=
0,8 + 0,1 + 0,4 + 0,3
2,4 + 0,5 + 3,2 + 3,3 9,4
=
= 5,875
1,6
1,6
Komentarz
Obliczamy średnią waŜoną.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 12.5.1. (1pkt.) Oblicz średnią arytmetyczną danych : 1, 1, 2, 4, 3, 3, 7.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie odpowiedzi.
1
1
Ćwiczenie 12.5.2. (1pkt.) W pewnej firmie 30 % pracowników zarabia średnio miesięcznie
4000 zł. Średnia płaca pozostałych pracowników firmy wynosi 250 zł.
Jaka jest średnia zarobków w tej firmie ?
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie odpowiedzi.
1
1
Ćwiczenie 12.5.3. (2pkt.) Średnia ocen z testu w klasie dwudziestoosobowej wynosi 3,2.
Jak zmieliłaby się średnia, gdyby dwie osoby, które otrzymały oceny
niedostateczne napisały na dopuszczającą?
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie sumy wszystkich ocen z testu.
1
1
Podanie średniej ocen po zmianie ocen z ndst na dop.
2
1
Ćwiczenie 12.5.4. (1pkt.) Na diagramie przedstawiono zestawienie ocen z klasówki w
grupie pierwszej. Oblicz średnią ocen tej grupy.
8
7
grupa I
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
ocena
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Podanie odpowiedzi.
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 12.5.5. (1pkt.) Oblicz średnią waŜoną liczb z danymi wagami.
Liczba
waga
11 12 13
0,1 0,3 0,6
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Podanie odpowiedzi.
Odpowiedź
Liczba punktów
1