jak obliczyć czas

 1. K­5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego
Zadanie 1
Koło napędowe o promieniu r1=1m przekładni ciernej wprawia w ruch koło o promieniu r2=0,25m
z przyspieszeniem 1=0,2t. Po jakim czasie prędkość obrotowa drugiego koła osiągnie wartość n2=480 obr/min?
W zadaniu obliczamy najpierw prędkość v. Można zdefiniować, że:
v=r 1 1 =r 2  2
Należy także dokonać zamiany prędkości obrotowej na prędkość kątową:
=
2 n
60
2 n
oznacza liczbę 60
obrotów w ciągu 60 sekund. Możemy zatem zdefinioać prędkość liniową zapis taki ma sens ponieważ, jeśli n oznacza liczbę obrotów na minutę to pełnych 2 =360o
jako:
2  n1
n 1 r 1  n2 r 2
r1 =
=
60
30
30
jeśli zatem n 2=480, wtedy
n 1 r 1 480 r 1
=
30
4∗30
n 1=120 obr /min
v=
Znając już prędkość obrotową n1 oraz przyspieszenie 1=0,2t, można policzyć ile wynosi prędkość kątowa a znając prędkość obrotową, możemy policzyć czas po jakim ta prędkość zostanie osiągnięta.
d 1
=0,2t
dt
d  1=0,2 t dt
 1=
td
t
∫ 1=∫ 0,2 t dt
0
0
 1=0,1 t
2
 1=0,1 t 2=
t=


120
=4 
30
1
4
=
=2  10=6,32 [s ]
0,1
0,1
Odp. Czas po jakim koło r2 osiągnie prędkość obrotowąn2=480 obr/min wynosi 6,32 [s].
Zadanie 2 – Dla zadanego równaniem ruchu postępowego prostoliniowego ciężaru 1 określić prędkość i przyspieszenie obrotowe, doosiowe oraz całkowite punktu M mechanizmu w chwili, kiedy droga przebyta przez ten ciężar jest równa s.
Dane:
R2 = 60 [cm]
Szukane:
v, a, an, at
r2 = 45 [cm]
r3 = 36 [cm]
x = 10 + 100t2 [cm]; t[s]
s = 50 [cm]
Droga jaką przebywa ciężar 1 w czasie t =  wynosi s:
2
2
s= xt =−xt =0=10100 −10=100 
1
2
100 =50  =
2

Prędkość liczymy jako pochodną drogi po czasie:
v=
dx
=200t
dt
prędkość kątowa obliczona może być także z zależności:
v
R2
200t 10t
 2=
=
60
3
 2=
znając prędkość kątową 2 możemy obliczyć prędkość kątową 3 , przyspieszenie kątowe 3 :
 2 r 2 =3 r 3
˙
 r
10t 45
25
 3= 2 2 =
=
t
r3
3 36 6
3 25
 3= =
dt 6
Znając te wartość policzymy już z łatwością potrzebne wielkości:
25
t∗36=150t
6
dv M
25
a Mt =
= 3 r 3 = ∗36=150
dt
6
2
vM
150t2
2
2
a Mn= = 3 r 3=
=625t
r3
36
v M =3 r 3=
a= a Mt aMn
2
2
2. K­7 Określanie prędkości i przyspiesznia w ruchu postępowym ciała sztywnego
K7­5 – Znaleźć dla zadanego położenia mechanizmu prędkości i przyspieszenia punktów B i C.
Dane:
OA = 25 [cm]
AC = 20 [cm]
OA = 1 [s­1]
OA = 1 [s­1]
 = 30
Szukane:
vC, vB, aC, aB
Na początku liczymy prędkość liniową punktu A:

v A =OA OA=25
[cm /s]
Ponieważ chwilowy środek obrotu dla punktów A i B znajduje się w nieskończoności, więc prędkość AB wynosi 0. Dlatego:
v A =v B=v C=25 [cm /s ]
Licząc dalej, przyspieszenie punktu A – jego składowe styczna i normalna:
2

a tA= OA OA=25[cm
/s ]
2
2

a nA=OA OA=25
[cm /s ]
aB =aA aBA

a tBA= AB AB
2

a nBA= AB AB=0,
 AB=0
aby obliczyć wartość przyspieszenia bezwzględnego dokonujemy rzutowania na osie:
o
x : a Bx=−a nAatAB cos 30
o
y : a By=atA atBA cos 60
2
o


a Bx =−OA OA
AB AB cos 30
o


a By =OA OA
AB AB cos 60
Podobnie liczymy wartości dla przyspieszenia dla punktu C:
aC =aA aCA
aC =anA atA atACa 
nAC

a tAC= AB AC
2
 =0, bo AB =0
a nAC= AB AC
I podobnie, aby policzyć wartość przyspieszenia bezwzględnego dla punktu C, rzutujemy wektory na osie współrzędnych:
a Cx =−anA atAC cos 30 o
a Cy =atA atAC cos 60o
2


a Cx =−OA OA
AB AC cos 30o


a Cy =tA OA
AB AC cos 60 o
a C = a 2Cx a2Cy
3. K­11 Ruch złożony. Określanie prędkości bezwzględnej i przyspeszenia bezwzlędnego w ruchu postępowym unoszenia
K11­25 – Mając zadane równania ruchu względnego punktu M i ruchu postępowego unoszenia ciała D dla czasu t=t1 określić prędkość bezwzględną i przyspieszenie bezwzględne punktu M.
Dane:
xe=24t2+7t [cm]
Szukane:
aM
OM = sr = 5/3πt3 [cm]
t1 = 2 [s]
R = 40 [cm]
vM
Ruchem względnym jest ruch punktu po obwodzie ćwierćkola, ruchem unoszenia ruch całego wózka. Ruch bezwzględny to ruch punktu M względem punktu 01.
Prędkością względną będzie pochodna z drogi w ruchu względnym czyli pochodna po czasie
z odcinka sr. '
ds r 5
= t 3 =5  t 2
dt
3
v w t =2=20  [cm /s]

v w=

Prędkością unoszenia będzie miała tylko jedną składową – wynikającą z ruchu postępowego xe
dx e
=48t7
dt
v 0 t =2=967=103
v u=v 0 =
Położenie wektora prędkości względnej względem układu nieruchomego określa kąt α. W danej chwili czasu t=t1 wartość kąta α wynosi:
5
sr = 3 t 3 = R
dla t =2[s ]  R=
40  =
40
3
40
3


 = =60o

3
Wartość bezwzględną prędkości otrzymamy po zrzutowaniu na osie wektorów prędkości v0 i vw.
o
v x=−v 0−v w cos 60
o
v y=−v w sin 60
v x=−103−10
 3 =−10  3 
v y=−20
2
2
2
v=  v x v y
Wartości przyspieszeń wynoszą odpowiednio:
2
dv
d sr
a wt = w =
=10 t
2
dt
dt
a wt t =2=20 
2
v w 252 t 4
a wn= =
R
R
2
a wn t =2=10 
dv
a 0= 0 =48
dt
Po zrzutowaniu na osie, przyspieszenie bezwzględne wynosi:
o
o
a x =−a0−a wt cos 60 a wn sin 60
o
o
a y =−awt sin 60 −a wn cos 60
a= a 2x a2y