Przykład 2.3.

Przykład 2.3. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia w ruchu złożonym
Punkt materialny M porusza się wzdłuż krawędzi tarczy 1 (rysunek 3.A). Znając równanie
kąta obrotu pręta 2 i równanie drogi punktu M względem tarczy 1 wyznaczyć prędkość
i przyśpieszenie bezwzględne punktu M.
Do obliczeń przyjąć dane :
O1 A = O2 B = 20[cm]
R = 16[cm]
ϕ (t ) =
5π t 3
48
[rad ]
s(t ) = AM = π t 2 [ cm]
t = 2[ s]
rys. 3. A
ROZWIĄZANIE
W rozwiązaniu założymy, że ruch tarczy 1 stanowi dla punktu M ruch unoszenia. Znajdziemy
położenie tarczy 1 i punktu M w zadanej chwili czasu. Położenie tarczy 1 określa kąt ϕ(t)
(rys.3.A)
ϕ (t ) =
5π 3 5
2 = π.
48
6
Położenie punktu M na tarczy 1 określimy kątem α:
osiąga wartość α =
π 22
16
=
π
4
α=
s
, który w chwili t = 2 s
R
.
Położenie tarczy 1 i punktu M w zadanej chwili czasu przedstawia rysunek 3.B.
1
rys. 3. B
Bezwzględną prędkość punktu M znajdziemy jako sumę wektorową prędkości unoszenia
i prędkości względnej:
V M = V Mu + V Mw
Miara rzutu wektora prędkości punktu M na oś styczną do trajektorii ruchu względnego
ds
 cm 
wynosi:
V Mw =
= 2π t i w chwili t = 2 s równa jest VMw = 4π   .
dt
 s 
Dodatni znak V Mw wskazuje, że ruch punktu M odbywa się w kierunku
współrzędnej s. Wektor prędkości względnej przedstawiony jest na rysunku 3.C.
wzrostu
Określimy teraz prędkość unoszenia V Mu punktu M.
Zauważmy, że prędkości punktów A i B należących do tarczy 1 są zawsze równoległe. Zatem
tarcza 1 porusza się ruchem postępowym i stąd
V Mu = V A .
Ponieważ V A = O1 A × ω 2 , gdzie ω 2 oznacza prędkość kątową pręta 2, zatem
V Mu = O1 A ⋅ ω 2 , gdyż ω 2 ⊥O1 A .
Prędkość kątowa ω2 obliczona jako ω
2
=
dϕ
5
π t2 ,
=
dt 16
5 1
osiąga w chwili t = 2 s wartość ω 2 = π   .
4 s
Dodatni znak ω2 oznacza, że ruch pręta 2 odbywa się w kierunku wzrostu kąta obrotu ϕ.
Moduł wektora prędkości unoszenia wynosi więc:
5
V Mu = V A = 20 ⋅ π = 25π = 78 .5 [cm s]
4
2
u
Wektor V M (zaznaczony na rysunku 3.C) skierowany jest prostopadle do osi pręta 2
w kierunku wzrostu kąta ϕ.
Wektor prędkości bezwzględnej określimy obliczając jego składowe w prostokątnym układzie
współrzędnych Oxyz:
V Mx = V Mw cos 45°−V Mu cos 30°
V My = V Mw cos 45°+V Mu cos 60°
Ich wartości wynoszą:
V Mx = −59 .1 [ cm / s] ,
V My = 48 .2 [ cm / s] .
Ostatecznie długość wektora prędkości punktu M wynosi
VM =
(VMx )2 + (VMy )2
= 76.3[cm / s ] .
rys. 3. C
Przyśpieszenie bezwzględne punktu, w przypadku postępowego ruchu unoszenia, jest równe
sumie geometrycznej przyśpieszenia względnego i unoszenia:
u
a M = a Mw + a M
,
gdyż a MCor = 0 .
Przyśpieszenie względne przedstawimy jako sumę składowej normalnej i stycznej :
a Mw = a Mwn + a Mwτ .
Wartość przyśpieszenia stycznego
[
a Mwτ
wynosi:
a wMτ
=
d 2s
dt 2
, co daje
]
a wMτ = 2π = 6 .28 cm s 2 .
Dodatnia wartość a wMτ oznacza, że wektor a Mwτ ma zwrot zgodny z wektorem prędkości V Mw .
Przyśpieszenie normalne
a Mwn
ma wartość: a
wn
M
3
(V )
=
w 2
M
R
=
16π 2
= π 2 = 9.87 cm / s 2 .
16
[
]
wn
Wektor a M skierowany jest wzdłuż promienia, w kierunku środka krzywizny toru ruchu
względnego punktu M.
Przyśpieszenie unoszenia punktu M wynika z ruchu postępowego tarczy 1. Zachodzi zatem:
a Mu = a A
Punkt A uczestniczy w ruchu obrotowym pręta 2 wokół bieguna O1. Zatem jego
przyśpieszenie można przedstawić jako:
a A = a Aτ + a An ,
Ponieważ wektor przyśpieszenia kątowego pręta 2 aτA = O1 A ⋅ ε 2 i
wτ
wn
ε 2 jest prostopadły do osi pręta to
a nA = O1 A ⋅ ω 22 . .
un
uτ
Wektory a M , a M , a M , a M przedstawione są na rysunku 3.D.
rys. 3. D
d 2ϕ
Przyśpieszenie kątowe ε2 wyznaczymy z zależności: ε 2 = 2 .
dt
W rozpatrywanej chwili czasu t = 2s przyjmuje ono wartość:
ε 2 = π t = 3.93[1 / s 2 ].
5
8
ε 2 wskazuje, że zwrot wektora przyśpieszenia jest zgodny ze zwrotem
wektora prędkości kątowej ω 2 .
Dodatnia wartość
τ
n
Wartości a A , a A i wynoszą :
[
]
a τA = a uMτ = 20 ⋅ 3.93 = 79 cm / s 2 ,
a nA = a un
M = 20 ⋅
[
]
25 2
π = 308 cm / s 2 .
16
Wektor przyśpieszenia bezwzględnego punktu M określimy obliczając jego składowe
w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz jako
4
(
= (a
)
) cos 45°+a
uτ
un
a Mx = a wMτ − a wn
M cos 45°− a M cos 30°− a M cos 60° ,
a Mx
wτ
M
+ a wn
M
uτ
M
cos 60°− a un
M cos 30° .
Ich wartości wynoszą:
[
]
= −216 [ cm / s ] .
a Mx = −225 cm / s 2 ,
a My
2
Ostatecznie długość wektora przyśpieszenia punktu M wynosi
aM =
(a Mx ) 2 + (a My )
2
[
]
= 312 cm / s 2 .
5