7.Definicja logarytmu. Iloczyn, iloraz logarytmu oraz logarytm potęgi

Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
7.Definicja logarytmu. Iloczyn, iloraz logarytmu oraz logarytm
potęgi o wykładniku naturalnym.
I.
Przypomnij sobie:
1. Czym jest logarytm (Wzory maturalne, str.3)?
Niech a  0 i a  1 . Logarytmem log a c liczby c  0 przy podstawie a
nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby
otrzymać liczbę c:
b  log a c  ab  c
2. Prawa działań na logarytmach (Wzory maturalne, str.3):
a. log a ( x  y)  log a x  log a y ,
x
b. log a  log a x  log a y ,
y
c. log a x r  r  log a x .
3. Skrócony zapis logarytmu przy podstawie 10:
log10 x  log x
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Oblicz x, gdy:
a. log 3 x  3 ,
b. log125 5  x ,
c. log x
1
 3.
64
Rozwiązanie:
Wykorzystujemy definicję logarytmu I.1. i otrzymujemy log 3 x  3  33  x .
1
1
Zatem w punkcie a. mamy x  33  3 
(przypomnij sobie z poprzedniej lekcji ile to 3-3)
3
27
x
W punkcie b. log125 5  x  125  5 . Możemy teraz zastanowić się, do której potęgi
należy podnieść liczbę 125, aby otrzymać 5, albo (chyba prościej) wykorzystując prawa
działań na potęgach (patrz – lekcja poprzednia) dokonać następujących przekształceń:
5 
3 x
 5  53x  51 . Potęgi o tych samych podstawach są
1
równe, gdy ich wykładniki są równe, więc 3  x  1, a to jest spełnione dla x  .
3
125=53, zatem 125x  5 
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
3
1 13  1 
x 

   . Podobnie potęgi o tych samych
64 43  4 
1
wykładnikach są równe, gdy ich podstawy są równe. Zatem x  .
4
1
W punkcie c. mamy log x
3 
64
3
Przykład 2.
2
Wiedząc, że log 2=0,30 i log 3=0,48, oblicz log 6 .
3
Rozwiązanie:
Patrz wzór
Patrz wzór
I.2.b.
Bo log10=1, gdyż 101=10. Patrz
definicja logarytmu I.1.
I.2.a.
2
20
log 6 = log =log 20 – log 3= log2 10  log 3 =log2+log10 - log3= 0,30+1 - 0,48=0,82
3
3
2
Odpowiedź: log 6 =0,82
3
Przykład 3.
Jeżeli log 2 a  4 i log 4 b  2 , to wartość wyrażenia
A. 4,
B. 8,
ab jest równa:
C. 16,
D. 32.
Rozwiązanie:
log 2 a  4  a  24  16 oraz log 4 b  2  b  42  16 . Zatem
ab = 16 16  162  16 . Wybieramy odpowiedź C.
Przykład 4.
Liczba log 3 10 należy do przedziału:
A. (0;1),
B. (1;2),
C. (2;3),
D. (3;4).
Rozwiązanie:
Wiemy, że 32=9, czyli log39=2. Natomiast 33=27, więc log327=3. Widzimy, że funkcja log3x
jest funkcją rosnącą, bo dla większych argumentów x otrzymujemy większe wartości tej
funkcji. Zatem: skoro 9 < 10 < 27, to log39 < log310 < log327, czyli 2 < log310 < 3.
Ostatecznie log 3 10  (2;3) .
Wybieramy odpowiedź C.
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Jeżeli a  log 23  log 53 , to:
A. a  2 ,
B. a 
1
,
3
C. a  3 ,
D. a  5 .
Zadanie 2. (1 pkt)
Jeżeli log2 = 0,30 , to wartość log16 jest równa:
A. 2 0,30 ,
B. 4  0,30 ,
C. 8  0,30 ,
D. 16  0,30 .
Zadanie 3. (1 pkt)
Jeżeli log 3  a i log 5  b , to log45 jest równy:
A. 2a  b ,
B. 2a  b ,
C. a  2b ,
D. a  2b .
Zadanie 4. (2 pkt)
Sprawdź, czy x  log 3 22  log 3 4,5  2 log 5 5 jest liczbą całkowitą. Odpowiedź uzasadnij
stosownym rachunkiem.
2