Matematyka dyskretna

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot specjalizacyjny 1
Specjalność: Modelowanie matematyczne
Kierunek: MATEMATYKA
Przedmiot: MATEMATYKA DYSKRETNA
Rok studiów:
Semestr:
II
4
ECTS: 4
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
60
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne:
Wstęp do teorii mnogości i logiki
Założenia i cele przedmiotu
Celem przedmiotu jest zapoznanie studenta z podstawowymi metodami i zagadnieniami matematyki
dyskretnej, a także z jej rolą we współczesnej algorytmice. Przedmiot wprowadza w teorię liczb i jej
ważne zastosowania w kryptografii, a następnie koncentruje się na teorii grafów.
Metody dydaktyczne:
Wykład i ćwiczenia w tradycyjnej formie tablicowej. Projektowanie algorytmów.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Do zaliczenia przedmiotu potrzebne jest zaliczenie ćwiczeń i zaliczenie wykładów.
Podstawą zaliczenia ćwiczeń jest
a/ zaliczenie kolokwiów,
Odbywają się dwa kolokwia w semestrze. Aby zaliczyć kolokwium należy uzyskać co najmniej
55% możliwych do zdobycia punktów. Prowadzący może obniżyć to wymaganie do 51%
punktów.
b/ aktywności i przygotowania do ćwiczeń.
Konkretne kryteria podaje prowadzący ćwiczenia.
c/ obecności.
Aby zaliczyć ćwiczenia, student powinien być obecny na wszystkich, za wyjątkiem co najwyżej
dwóch, spotkań. W usprawiedliwionych przypadkach, prowadzący proponuje alternatywną formę
zaliczenia usprawiedliwionych nieobecności.
Podstawą zaliczenia wykładów jest:
a/ obecność na wykładach,
b/ znajomość treści wykładów, sprawdzana w formie pisemnej.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Podzielność, NWD i NWW, algorytm Euklidesa, liczby względnie pierwsze, liczby pierwsze,
podstawowe twierdzenie arytmetyki, liniowe równanie diofantyczne, arytmetyka w Z/n, Chińskie
twierdzenie o resztach, małe twierdzenie Fermata.
2. Kryprosystem RSA.
3. Notacja O dla ciągów, złożoność obliczeniowa, klasa P.
4. Równania rekurencyjne i funkcje tworzące.
5. Zliczanie elementów zbiorów skończonych.
6. Macierze relacji, Algebry Boole’a.
7. Pojecie grafu i inne pojęcia podstawowe teorii grafów, macierz grafu, grafy proste, spójność.
8. Grafy: pełne, dwudzielne, plenarne; drzewa, drzewa spinające, problem najkrótszych połączeń.
9. Problemy obchodzenia grafów (routingu): grafy eulerowskie, hamiltonowskie, problem najkrótszej
drogi; algorytm Dijstry oraz jego ulepszenie, problem chińskiego listonosza, problem
komiwojażera, algorytmy przybliżone rozwiązywania problemu komiwojażera.
10. Redukcja problemu istnienia cyklu Hamiltona do problemu komiwojażera, uogólnienie:
wielomianowa redukcja jednego problemu algorytmicznego do drugiego. Klasa NP.
11. Zastosowanie rozwiązania problemu najkrótszych połączeń do znajdowania dolnego
ograniczenia rozwiązania problemu komiwojażera.
12. Grafy skierowane, sieci, przepływy w sieciach.
13. Problem kojarzenia małżeństw i jego zastosowanie.
Ćwiczenia audytoryjne:
1. Wykorzystywanie relacji podzielności w zbiorze liczb całkowitych, stosowanie algorytmu
Euklidesa, znajdowanie współczynników kombinacji liniowej liczb a i b, która daje NWD (a,b),
przedstawianie liczb w systemach o różnych podstawach, rozwiązywanie liniowych równań
diafantycznych, rozwiązywanie równań kongruencyjnych, zastosowanie małego twierdzenia
Fermata.
2. Używanie kryptosystemu RSA do szyfrowania i podpisywania wiadomości.
3. Stosowanie notacji O dla ciągów, wyodrębnienie klas ciągów równoważnych ze względu na
szybkość wzrostu, rozpoznawanie algorytmów wielomianowych.
4. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych metodą przewidywań i metodą funkcji tworzących.
Rozwiązywanie prostych zadań kombinatorycznych (zliczanie elementów zbiorów skończonych).
5. Proste zastosowanie teorii Boole’a, tłumaczenie własności relacji na język ich macierzy.
6. Zagadnienia praktyczne rozwiązywalne przy pomocy grafów, zadanie związane z lematem
o uściskach dłoni, spójność, drogi, ścieżki, cykle, macierz kosztów.
7. Stosowanie algorytmów: Dijkstry, Fleury’ego, Kruskala, Prima, algorytm rozwiązywania problemu
chińskiego listonosza, problem komiwojażera; algorytm dokładny i algorytmy przybliżone.
8. Stosowanie pojęć związanych z digrafami, znajdowanie minimalnych przekrojów i maksymalnych
przepływów w sieciach.
9. Zastosowania problemu kojarzenia małżeństw.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] Cz. Bagiński, Funkcje tworzące, http://aragorn.pb.bialystok.pl/~baginski/Pdf/F_tw.pdf.
[2]J. A. Bondy, U. S. R. Murthy, Graph Theory with Applications, North-Holland 1976, dost
[3] J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000.
[4] R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, PWN, Warszawa.
[5] K. Ross, C. Wright, Matematyka dyskretna, PWN Warszawa.
[6] R. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, PWN Warszawa
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. A. Buchmann, Wprowadzenie do kryptografii, PWN, Warszawa 2006.
[2]. E. Goodaire, M. Parmenter, Discrete Mathematics with Graph Theory, Pretince Hall 1998.
[3] N. Koblitz, Wykłady z teorii liczb i kryptografii, WNT, Warszawa 1995.
[4]W. Lipski, W. Marek, Analiza kombinatoryczna(BM 59), PWN, Warszawa 1986.
[5] W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003
Osoby odpowiedzialne za przedmiot:
dr Katarzyna PAŁASIŃSKA, dr Artur PIĘKOSZ
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK