Algebra z Teoria Liczb

Wymagania do egzaminu ustnego z Elementów algebry ogólnej
Teoria grup (9 zagadnień)
1. Wypowiedzieć i udowodnić charakteryzację podgrup w grupie (Z, +).
2. Wypowiedzieć i udowodnić zestaw podstawowych 4 własności homomorfizmu grup.
3. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie Cayleya.
4. Wypowiedzieć i udowodnić podstawowe własności grup cyklicznych.
5. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie o klasyfikacji grup cyklicznych i wnioski z
tego twierdzenia.
6. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie Lagrange’a i wnioski z niego.
7. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie o konstrukcji grupy ilorazowej.
8. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie o przenoszeniu podgrup przez epimorfizm.
9. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie o izomorfizmie dla grup.
Teoria pierścieni i ciał (10 zagadnień)
1. Wypowiedzieć i udowodnić podstawowe własności ideałów (wł.5.1.5)
2. Wypowiedzieć i udowodnić warunek równoważny na to, by ideał był pierwszy (wł.7.1.2)
3. Wypowiedzieć i udowodnić warunek równoważny na to, by ideał był maksymalny
(wł.7.2.2)
4. Wypowiedzieć i udowodnić algorytm dzielenia z resztą dla pierścienia wielomianów.
(tw.7.3.11)
5. Udowodnić, że każdy pierścień euklidesowy jest pierścieniem ideałów głównych (tw.7.4.3)
6. Sformułować i udowodnić związki między własnościami generatora a własnościami
ideału (wł.7.5.6 i tw.7.5.8)
7. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie o generatorach w pierścieniu całkowitym
(tw.7.5.12)
8. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie Bezouta oraz charakteryzację nierozkładalności wielomianów niskich stopni nad ciałem (tw.7.6.2+wł.7.6.3)
9. Wypowiedzieć i udowodnić kryterium Eisensteina.
10. Wypowiedzieć i udowodnić twierdzenie Kroneckera.