Matematyka Dyskretna Zestaw 5 1. Ile jest wszystkich ciągów 10

Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
Matematyka Dyskretna
Zestaw 5
1. Ile jest wszystkich ciągów 10 wyrazowych o wyrazach ze zbioru cyfr {0, 1, 2, . . . , 9}? Ile
wśród nich jest takich ciągów, w których między 0 i 1 stoją dokładnie cztery cyfry? Ile wśród nich
jest takich ciągów różnowartościowych, w których między 0 i 1 stoją dokładnie cztery cyfry?
2. (a) Ile jest wszystkich funkcji rosnących ze zbioru {1, 2, . . . , n} w zbiór {1, 2, . . . , m}?
(b) Ile jest wszystkich funkcji niemalejących ze zbioru {1, 2, . . . , n} w zbiór {1, 2, . . . , m}?
3. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(a) Ile jest wszystkich funkcji f : X → X takich, że f (x) > 4 dla x ∈ X?
(b) Ile jest wszystkich funkcji f : X → X takich, że |f (X)| = 2?
4. Udowodnić, że jeśli w trójkącie równobocznym o boku długości 4 jednostek umieścimy 17
punktów, to odległość dwóch spośród nich nie przekracza 1 jednostki.
5. W sześcianie S, którego krawędź ma długość 7 wybrano 342 punkty. Czy można znaleźć
taki sześcian o boku 1 zawarty w sześcianie S, który nie zawiera żadnego z tych punktów?
6. Udowodnić, że wśród dowolnie wybranych pięćdziesięciu jeden punktów leżących w kwadracie
o boku 1 istnieją 3, które leżą w pewnym kole o promieniu 17 .
7. Udowodnić, że wśród sześciu punktów umieszczonych w prostokącie o wymiarach 3 × 4
√
zawsze można znaleźć dwa, których odległość nie przekracza 5.
8. Na płaszczyznie danych jest 5 punktów kratowych (tzn. punktów o obu współrzędnych
całkowitych). Udowodnić, że środek jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem
kratowym.
9. Sosnowy las, składający się z 4500 drzew, rośnie na obszarze w ksztłcie kwadratu o boku
długości 1 km. Każde z drzew ma średnicę nie większą niż 0, 5 m. Wykazać, że w pewnym
prostokącie 10m × 20m nie rośnie żadne drzewo.
10. Przypuśćmy, że 64 przedmioty zostały umieszczone w dziewięciu pudełkach.
(1) Wykazać, że jedno z pudełek zawiera co najmniej 8 przedmiotów;
(2) Wykazać, że jeśli dwa pudełka są puste, to jakieś pudełko zawiera przynajmniej dziesięć
przed- miotów.
11. Niech S będzie zbiorem 25 punktów, takim, że w każdym 3-elementowym podzbiorze
istnieją dwa punkty, których odległość nie przekracza 1. Udowodnić, że istnieje 13-elementowy
podzbiór zbioru S, który można przykryć kołem o promieniu 1.
12. Udowodnić, że w dowolnej grupie osób istnieją osoby o tej samej liczbie znajomych (w tej
grupie).
13. Niech A będzie dziesięcioelementowym podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 50}. Wykazać, że
A ma dwa czteroelementowe podzbiory, mające równe sumy elementów.
14. Niech A będzie podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 149, 150} złożonym z 25 liczb. Wykazać,
że istnieją dwie rozłączne pary elementów zbioru A, mających te same same sumy (np. {3, 89} i
{41, 51} mają tę samą sumę równą 92).
1
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
15. Udowodnić, że dla dowolnych 2n−1 + 1 podzbiorów zbioru zbioru n-elementowego (n > 1)
zawsze znajdą się dwa podzbiory rozłączne.
16. Jakich funkcji jest więcej, czy ze zbioru 5-elementowego na 3-elementowy, czy ze zbioru
6-elementowego na 2-elementowy?
17. Wyznaczyć liczbę wszystkich liczb naturalnych n, 1 ≤ n ≤ 2.000, które:
(a) nie są podzielne przez żadną z liczb 2, 3, 5;
(b) nie są podzielne przez żadną z liczb 2, 3, 5, 7;
(c) nie są podzielne przez żadną z liczb 2, 3, 5 ale są podzielne przez 7.
18. Wyznaczyć liczbę wszystkich całkowitych nieujemnych rozwiązań równania
x1 + x2 + x3 + x4 = 21,
dla których:
(a) 0 ≤ xi dla 1 ≤ i ≤ 4;
(c) −5 ≤ xi ≤ 10 dla 1 ≤ i ≤ 4;
(b) 0 ≤ xi < 8 dla 1 ≤ i ≤ 4;
(d) 0 ≤ x1 ≤ 5, 0 ≤ x2 ≤ 6, 3 ≤ x3 ≤ 7, 3 ≤ x4 ≤ 8
2