Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Prowadzący dr Agata Fronczak
Zestaw 3. Druga zasada termodynamiki. Potencjały termodynamiczne.
2.12 Sprawność silnika cieplnego η definiuje się jako stosunek pracy
wykonanej przez silnik W do ciepła dostarczonego do silnika Q
η=
W
.
Q
(1)
Oblicz sprawność następujących silników: Carnota (rys. 1a),
Otta (rys. 1b), Joule’a (rys. 1c) oraz Diesla (rys. 1d). Przyjmij,
że czynnikiem roboczym w badanych silnikach jest gaz doskonały. Załóż, że wszystkie przemiany przedstawione na rys. 1 są
odwracalne.
Wskazówka: Należy skorzystać ze wzorów zamieszczonych w Tabeli 2.1
(str. 5).
Odpowiedź:
ηC
=
ηO
=
ηJ
=
ηD
=
T2
,
T1
µ ¶γ−1
V2
1−
,
V1
µ ¶(γ−1)/γ
p1
,
1−
p2
1 (V2 /V1 )γ − (V3 /V1 )γ
1−
,
γ (V2 /V1 ) − (V3 /V1 )
1−
(2)
(3)
(4)
(5)
gdzie γ = cp /cv jest parametrem występującym w równaniu adiabaty gazu
doskonałego.
2.13 Rozważ odwracalny silnik Carnota, w którym czynnikiem roboczym
jest gaz fotonowy. Oblicz sprawność tego silnika. Podaj równania izoterm i adiabat gazu fotonowego we współrzędnych (p, V )
oraz naszkicuj odpowiedni cykl Carnota.
Wskazówka: Równanie stanu gazu fotonowego ma postać u = 3p = 3aT 4 ,
gdzie a = const. Entropia tego gazu jest natomiast równa S = 4aT 3 V +
const.
Odpowiedź: Równanie izotermy p = const. Równanie adiabaty S = const,
czyli pV 4/3 = const. Sprawność badanego cyklu Carnota η = 1 − T2 /T1 .
1
a) p
b) p
a
izo
ter
ma
a
adi
aba
ta
d
b
adi
aba
ta
ta
aba
adi
aba
adi
b
c
ta
d
izote
rma
c
V
c) p
p2
d) p
b
a
b
a
ia
ad
ta
ta
ba
ba
ia
ad
ta
ata
d
p2
aba
adi
adiab
p1
V
V1
V2
c
c
p1
V
d
V3
V2
V1
V
Rysunek 1: Do zadań 2.11 oraz 2.12.
2.14 Pokaż, że sprawność nieodwracalnego cyklu Carnota nie może
być większa od sprawności cyklu odwracalnego.
Wskazówka: Należy skorzystać z nierówności Clausiusa (patrz notatki z
wykładów).
2.15 Niech Tmax oznacza maksymalną temperaturę zbiornika, z którego
silnik cieplny może pobierać ciepło, zaś Tmin niech będzie minimalną temperaturą zbiornika, do którego silnik oddaje ciepło.
Pokaż, że sprawność takiego silnika nigdy nie przekracza sprawności
odwracalnego silnika Carnota, który pracuje między zbiornikami
ciepła o zadanych temperaturach, tzn.
η ≤1−
Tmin
.
Tmax
(6)
2.17* Rozważ gaz doskonały. Pokaż, że przecinanie się dwóch adiabat
jest sprzeczne z drugą zasadą termodynamiki w sformułowaniu
Kelvina-Thompsona.
Sformułowanie Kelvina - Thompsona drugiej zasady termodynamiki. Proces, którego jedynym wynikiem jest zamiana pracy
2
p
a izoterma
b
ad i
ata
ata
ab
b
adia
d
izoterma
c
V
Rysunek 2: Do zadania 2.13.
p
b
a
A
B
izoterma
C
V
Rysunek 3: Do zadania 2.17.
na ciepło jest nieodwracalny. Oznacza to, że nie istnieje proces,
którego jedynym wynikiem jest pobranie ciepła z pewnego ciała
i całkowita zamiana tego ciepła na pracę.
Wskazówka: Wystarczy pokazać, że nie jest możliwy cykl złożony z dwóch
przecinających się adiabat i izotermy (rys. 3).
2.27 Stany równowagi termodynamicznej. Pokaż, że w stanie równowagi
termodynamicznej, gdy układ nie wymienia materii z otoczeniem dZ = 0 oraz
i. entropia układu nie ulega zmianie S = const i otoczenie nie
wykonuje żadnej pracy nad układem X = const,
ii. entropia układu nie zmienia się S = const, ale na układ działa
stała siła termodynamiczna Y = const (np. p = const),
iii. temperatura układu pozostaje stała T = const i otoczenie nie
wykonuje żadnej pracy nad układem X = const,
iv. temperatura układu pozostaje stała T = const, ale na układ
działa stała siła termodynamiczna Y = const (np. p = const),
3
odpowiedni potencjał termodynamiczny przyjmuje wartość minimalną. (Sformułowanie odpowiedni potencjał termodynamiczny
odnosi się do takiego potencjału, który zależy od ustalonych
parametrów badanego układu.)
Wskazówka: Skorzystaj z pierwszej i drugiej zasady termodynamiki oraz
z definicji potencjałów termodynamicznych (Tabela 2.2, str.5).
Odpowiedź:
i. Przy zadanych warunkach mamy dU ≤ 0, zatem w stanie równowagi
termodynamicznej układ minimalizuje swoją energię wewnętrzną U =
Umin ,
ii. dH ≤ 0, H = Hmin ,
iii. dF ≤ 0, F = Fmin ,
iv. dG ≤ 0, G = Gmin .
2.28 Wiedząc, że przyrost entalpii dH = T dS +V dp+µdN jest różniczką
zupełną, pokaż, że prawdziwe są tzw. relacje Maxwella
µ
¶
µ
¶
∂T
∂V
(7)
=
,
∂p S,N
∂S p,N
µ
¶
µ ¶
∂T
∂µ
(8)
=
,
∂N S,p
∂S p,N
µ
¶
µ ¶
∂V
∂µ
=
.
(9)
∂N S,p
∂p S,N
2.33 Oblicz entalpię H gazu doskonałego oraz wyraź tę funkcję stanu
w jej naturalnych zmiennych. Załóż, że entropia badanego gazu
jest opisana wzorem
"µ ¶
µ ¶3/2 #
5
V ³ n0 ´ T
S = nR + nR ln
.
(10)
2
V0
n
T0
Odpowiedź: h(s, p) = (5/2)RT0 (p/p0 )2/5 exp[(2s)/(5R) − 1] = 5RT /2.
2.34 Oblicz energię swobodną Helmholtza F = nf gazu doskonałego
oraz wyraź ten potencjał termodynamiczny w jego naturalnych
zmiennych. Załóż, że entropia gazu jest opisana wzorem (10).
"µ
Odpowiedź: F = nf = −nRT − nRT ln
4
V
V0
¶³
n0 ´
n
µ
T
T0
¶3/2 #
.
Tabela 2.1. Termodynamika gazu doskonałego
Przemiana
Warunek
Związek
Izochoryczna
V = const
p/T = const
Izobaryczna
p = const
V /T = const
W
0
−p(V2 − V1 )
Q
ncv (T2 − T1 )
ncp (T2 − T1 )
Izotermiczna
T = const
pV = const
V2
−nRT ln
V1
V2
nRT ln
V1
Adiabatyczna
Q=0
pV γ = const
nR
(T2 − T1 )
γ−1
0
W - praca wykonana nad układem, Q - ciepło dostarczone do układu.
Tabela 2.2. Podstawowe funkcje stanu.
Funkcja stanu
Energia wewnętrzna
P
U = T S + XY + µi dNi
Entalpia
H = U − XY
Energia swobodna Helmholtza
F = U − TS
Energia swobodna Gibbsa
G = U − XY − T S
Wielki potencjał termodyn.
Φ = F − G = XY
Entropia
P
S = (U − XY − µi dNi )/T
Zmienne
naturalne
Przyrost funkcji stanu
w procesie odwracalnym
P
S, X, Ni
dU = T dS + Y dX +
S, Y, Ni
dH = T dS − XdY +
T, X, Ni
dF = −SdT + Y dX +
T, Y, Ni
dG = −SdT − XdY +
T, X, µi
dΦ = −SdT + Y dX −
U, X, Ni
dS = (dU − Y dX −
5
P
P
µi dNi
µi dNn
P
P
P
µi dNn
µi dNi
Ni dµi
µi dNi )/T