Wykres Smitha - Politechnika Białostocka

Normowanie immitancji (impedancji i admitancji)
Wykres
Smitha
Γ(ξ) = Γ2 e-j2βξ
Phillip Hagar Smith
(1905-1987)
Im Γ
Z0, j β
x = Im z
Γ(ξ ) =
x = const
r=0
|Γ |
ξ
Z(ξ)
r = const > 1
r=
Re z
Z2
r = const < 1
x = const > 0
Γ2 = Γ(ξ = 0)
Z (ξ ) − Z 0
Z (ξ ) + Z 0
1 + Γ(ξ )
1 − Γ(ξ )
Z (ξ ) = Z 0
Wprowadźmy pojęcie unormowanej impedancji i unormowanej admitancji:
ψ
z (ξ ) =
Re Γ
x= 0
Z (ξ )
Z0
y (ξ ) =
Y (ξ )
Y0
Dla tak wprowadzonych pojęć słuszne są związki:
Γ(ξ ) =
Γ = |Γ | e jψ
r = const > 0
z (ξ ) − 1 1 − y (ξ )
=
z (ξ ) + 1 1 + y (ξ )
z (ξ ) =
1 + Γ(ξ )
1 − Γ(ξ )
y (ξ ) =
1 − Γ(ξ )
1 + Γ(ξ )
r=1
x = const < 0
z = Z/Z0 = r + j x
1939 r.
Karol Aniserowicz – Politechnika Białostocka
1
Funkcja homograficzna
Γ=
z −1
z +1
z=
Właściwości funkcji homograficznej
Γ=
1+ Γ
1− Γ
az +b
cz+d
Odwzorowanie homograficzne przyporządkowuje wzajemnie
jednoznacznie punkty na płaszczyźnie zmiennej zespolonej Γ i z.
Są to szczególne postacie funkcji homograficznej, wiążącej dwie zmienne
zespolone Γ i z :
Γ=
2
a z +b
cz+d
Okrąg na jednej z tych płaszczyzn transformuje się na okrąg
na drugiej (prosta jest szczególnym przypadkiem okręgu przy
promieniu → ∞).
gdzie: a, b, c, d – stałe zespolone.
Zachowana jest ortogonalność okręgów.
3
4
Odwzorowanie z → Γ
Odwzorowanie z → Γ
Oznaczmy:
Po przekształceniach:
Γ(ξ ) = Γ2 e − j 2 βξ = u + j v
2
r 

 1 
2
u −
 +v =

1+ r 

1+ r 
Wówczas impedancja unormowana z = z(ξ):
z =r+ jx=
1 + Γ 1 + (u + j v )
=
1 − Γ 1 − (u + j v )
x=
2
(u − 1) +  v − 1  =  1 
x  x

2
2
Dla r = const. lewe równanie opisuje okrąg o środku w punkcie
(r/(1 + r), 0) i o promieniu równym 1/|1 + r|.
Wyznaczając część rzeczywistą x i urojoną y impedancji z
otrzymuje się:
1 − u 2 − v2
r=
(1 − u )2 + v 2
2
Podobnie, dla x = const. prawe równanie opisuje okrąg o środku
w punkcie (1, 1/x) i o promieniu 1/|x|.
2v
(1 − u )2 + v 2
5
Odwzorowanie z → Γ
z −1
Γ=
z +1
Γ=
z −1
z +1
v
1
x
r = const.
x = const.
r = const.
r
1+r
0
1
1+r
r
1+r
0
1
1+r
płaszczyzna
zmiennej z
u
1
u
1
r<0
Wykres Smitha powstaje przez odwzorowanie homograficzne
siatki prostych r = const. i x = const. z płaszczyzny unormowanej
impedancji z na płaszczyznę współczynnika odbicia Γ:
Γ = u + jv =
Wykres Smitha
x = const.
v
1
x
Dwie
rodziny
okręgów:
6
z −1 r + j x −1
=
z +1 r + j x +1
7
r≥0
Jeśli transformację ograniczyć do prawej półpłaszczyzny (r ≥ 0),
to otrzymuje się wykres Smitha.
Odwzorowaniem prawej półpłaszczyzny zmiennej z jest wnętrze
okręgu |Γ| = 1, a lewej – zewnętrze tego okręgu (używane przy
analizie układów aktywnych).
8
Γ=
z −1
z +1
v
1
x
r = const.
r
1+r
0
1
1+r
z → Γ
z −1
Γ=
z +1
Wykres Smitha
x = const.
płaszczyzna
zmiennej z
u
z ← Γ
Wykres Smitha
z=
Jest to odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne:
1
x = Im z
1+ Γ
1− Γ
Im Γ
1
2
0.5
r≥0
3
płaszczyzna
zmiennej Γ
5
0.2
1
Re Γ
r = Re z
-1 0
1
0
2
0.2
0.5
1
2
5
−0.2
−5
−0.5
−2
−1
z1 = 1 + j 0 ⇒ Γ1 =
1 + j0 −1
= 0 + j0
1 + j0 + 1
z2 = 0 + j 0 ⇒ Γ2 =
0 + j0 −1
= −1 + j 0
0 + j0 + 1
z3 = 0,5 + j 0,5 ⇒ Γ3 = −0,2 + j 0,4
z4 = 0,5 − j 2 ⇒ Γ4 = 0,52 − j 0,64
9
Wykres Smitha
Γ=
z −1
z +1
v
1
x
r = const.
r
1+r
0
Im Γ
u
1
1
1+r
1
2
0.5
5
0.2
10
Wykres Smitha
x = const.
x = Im z
z6 = −1 − j ⇒ Γ6 = 1 − j 2
z5 = 2 + j 2 ⇒ Γ5 = 0,5385 + j 0,3077
Trzecią rodziną okręgów wchodzących
w skład wykresu są okręgi współśrodkowe
(o środku w punkcie Re Γ = Im Γ = 0),
które są miejscami geometrycznymi stałych
wartości modułu współczynnika odbicia Γ.
1
r = Re z
-1 0
1
2
5
Re Γ
0
0.2
0.5
1
2
Im Γ
5
|Γ| = 1
−0.2
−5
−0.5
kierunek:
do generatora
(wzrost ξ )
j
|Γ| = 0,75
−2
Re Γ
ψ
−1
1
|Γ| = 0,5
Okręgi stałych wartości |Γ|
(stałych wartości WFS) są
wykreślane cyrklem podczas
obliczeń z wykorzystaniem
wykresu Smitha.
|Γ| = 0,25
11
12