Układy o zmiennej masie - Open AGH e

Układy o zmiennej masie
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Rozpatrzymy układ, który stanowi rakieta wyrzucająca ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób
swoją masę i zwiększając prędkość (Rys. 1).
Rysunek 1: Napęd odrzutowy rakiety.
Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością vs względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v,
zatem prędkość spalin względem rakiety vwzg jest dana zależnością
vwzg = vs − v.
(1)
Jeżeli w przedziale czasu dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dm s z prędkością vs , to masa rakiety maleje o dm , a jej prędkość
rośnie o dv, przy czym
dms
dt
= − dm
.
dt
(2)
Znak minus wynika stąd, że masa rakiety maleje. Obliczamy teraz zmianę pędu P układu w czasie dt
dP
dt
=
dprakiety
dP
dt
=
d(mv)
dt
dt
+
dpspalin
(3)
dt
lub
+ vs
dms
dt
,
(4)
skąd ostatecznie
dP
dt
=m
dv
dt
+ v dm
+ vs
dt
dms
dt
.
(5)
Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość, podczas gdy spaliny są
wyrzucane ze stałą prędkością.
Zmiana pędu układu jest, zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając
zależności ( 1 ) i ( 2 ) możemy przekształcić równanie ( 5 ) do postaci
Fzew =
dP
dt
=m
dv
dt
+ vwzg
dms
dt
Ostatni wyraz w równaniu ( 6 ) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego
wylatuje. W przypadku rakiety (samolotu) nosi ona nazwę siły ciągu.
PRZYKŁAD
Przykład 1: Samolot odrzutowy
(6)
Samolot odrzutowy leci z prędkością 250 m/s i z taką prędkością jest wciągane do jego silnika powietrze. W każdej
sekundzie silnik samolotu spala mieszankę paliwową składającą się z 75 kg powietrza i 3 kg paliwa, a prędkość wyrzucania
spalin wynosi 500 m/s.
Siłę ciągu obliczamy zgodnie ze wzorem ( 6 ), przy czym prędkość względna jest równa różnicy prędkości wyrzucania spalin i
wciągania powietrza vwzg = 250 m/s, a masa spalin wyrzucanych w jednostce czasu wynosi 78 kg/s. Stąd otrzymujemy siłę
ciągu równą 1.95 ⋅ 104 N.
Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej, to siły zewnętrzne Fzew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety
jest równa sile ciągu (jest spełniona zasada zachowania pędu). Natomiast gdy ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po
starcie), to wówczas Fzew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają
się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć Fzew . Na przykład rakieta Saturn 5, o masie ponad 3000 ton, wytwarzała
przy starcie siłę ciągu 40 MN.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-06-17 10:52:51
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=326c4be62223fff6d032c7caa65c109d
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński