Procesy stochastyczne 2. Lista zadań 6. Autorzy: dr hab. A
Transkrypt
Procesy stochastyczne 2. Lista zadań 6. Autorzy: dr hab. A
Procesy stochastyczne 2. Lista zadań 6. Autorzy: dr hab. A. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 2011/12 1 Lista 6: Procesy odnowienia, błądzenia losowe. Niech {Xn , n = 1, 2, . . .} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie F , F (x) = P (X1 < x). Niech S0 = 0, Sn = Sn−1 + Xn dla n 1. Ponadto niech Nt = max{n : Sn ¬ t} oraz νt = min{n : Sn > t} dla t 0. Ciąg {Sn , n = 0, 1, . . .} nazywamy błądzeniem losowym generowanym przez ciąg {Xn }, a {νt , t 0} - odpowiadającym mu procesem pierwszego przejścia. W przypadku, gdy F (0) = 0 oraz F (0+) < 1, ciąg {Sn } nazywamy również procesem odnowienia. Proces {Nt , t 0} jest w tym przypadku procesem zliczającym momenty odnowy. Niech {(Tn , Xn ), n = 1, 2, . . .} będzie ciągiem niezależnych wektorów losowych o jednakowym rozkładzie, przy czym Tn 0 z prawd. 1 (dla ustalonego n zmienne losowe Tn i Xn nie muszą być niezależne). Niech {Nt } będzie procesem zliczającym momenty odnowy, odpowiadającym procesowi odnowienia generowanemu przez ciąg {Tn } oraz niech {Sn } będzie błądzeniem losowym generowanym przez ciąg {Xn }. Proces {SNt , t 0} nazywamy błądzeniem losowym z czasem ciągłym. 1. Uzasadnić nazwy określonych wyżej procesów. Przeanalizować podobieństwa i różnice między procesami {Nt } i {νt } dla przypadku, gdy odpowiadają one (a) procesowi odnowienia, (b) błądzeniu losowemu. 2. Niech Xn ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p, 0 < p < 1. Ciąg {Sn } nazywamy wtedy błądzeniem losowym Bernoulliego, a {Nt } - procesem ujemnym dwumianowym. (a) Uzasadnić podane nazwy. (b) Pokazać, że P (Nt < ∞) = 1 oraz że ENtr < ∞ dla każdego r > 0. 3. Niech {Sn } będzie procesem odnowienia generowanym przez ciąg {Xn }, a {Nt } odpowiadającym mu procesem zliczającym momenty odnowy. (a) Pokazać, że P (Nt < ∞) = 1 oraz że ENtr < ∞ dla każdego r > 0. (b) Uzasadnić równość zdarzeń {Nt n} i {Sn ¬ t} i korzystając z tego wyrazić ENt poprzez dystrybuantę F . p.n. (c) Pokazać, że Nt −→ ∞. t→∞ 2 (d) Załóżmy, że 0 < m = EX1 ¬ ∞. Pokazać, że wówczas 1 ENt Nt p.n. 1 oraz −→ −→ . t t→∞ m t t→∞ m (Przyjmujemy, że 1/∞ = 0.) (e) Załóżmy, że 0 < m = EX1 < ∞ oraz 0 < σ 2 = VarX1 < ∞. Pokazać, że wówczas Nt − t/m d √ −→N (0, 1). σ 2 m−3 t t→∞ Wsk. Skorzystać z Tw. Anscombe’a [Gut, tw. I.3.1, str. 15] Niech {Yk , k 1} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o średniej 0 i wariancji σ 2 , 0 < σ < ∞. Załóżmy, że dla P pewnej rodziny {Lt , t 0} indeksów losowych mamy Lt /t −→ θ, gdzie θ > 0 t→∞ jest skończoną stałą. Wówczas Y1 + . . . + YLt d √ −→N (0, 1) t→∞ σ Lt oraz Y1 + . . . + YLt d √ −→N (0, 1). t→∞ σ θt (f) Czy proces {νt } ma analogiczne własności? 4. Pokazać, że złożony proces Poissona z zadania 2 listy 1 jest przykładem błądzenia losowego z czasem ciągłym. 5. Rozważmy błądzenie losowe z czasem ciągłym generowane przez taki ciąg {(Tn , Xn )}, że 0 < ETn = mT < ∞, a E|Xn | < ∞. Oznaczmy EXn = mX . SNt p.n. mX . (a) Pokazać, że −→ t t→∞ mT 2 (b) Załóżmy, że VarTn = σT2 < ∞ oraz VarXn = σX < ∞. 2 2 2 2 2 Niech γ = Var(mT Xn − mX Tn ) = mT σX + mX σT − 2mT mX Cov(Tn , Xn ). Pokazać, że jeśli γ 2 > 0, to SNt − tmX /mT q γ 2 m−3 T t d −→N (0, 1). t→∞ P.Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa, 1987 (Ad. zad.5 - str.306) A.Gut, Stopped Random Walks. Limit theorems and Applications, Springer-Verlag, New York, 1988 (Ad. zad.1 - 3: str.46 - 57, Ad. zad.5 - str.108 -113) 3