0 dla( , ) (0,0) ( ) poza tym x y xy x y = + π π

Dr hab. prof. UE Wojciech Rybicki
Zadania z analizy matematycznej dla studentów I roku Wydziału ZI
Lista 15
1. a) Pokazać, Ŝe funkcja f(x, y, z) = (x + y + z, x + y, x) jest ciągła.
b) Zadanie z „gwiazdką” (małą!), pokazać ze operatory liniowe f : Rn → Rm są ciągłe
(„rozsądne” metryki rozwaŜać).
2. Wykazać, Ŝe funkcja
dla ( x, y ) = (0, 0)
0
f(x, y) =  2 2
n −1
poza tym
 xy ( x + y )
nie jest ciągła w punkcie (0, 0), ale zawęŜona do dowolnej prostej przechodzącej przez
początek układu współrzędnych – juŜ jest (por. R. Antoniewicz, A. Misztal, s. 365).
3. Korzystając z rachunku róŜniczkowego pokazać, Ŝe
arctg x + arcctg x =
π
2
,
arcsin x + arccos x =
π
2
4. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji odwrotnej (do róŜniczkowalnej,
róŜnowartościowej (!) f : (a, b) → (c, d)) obliczyć:
(a). (arctg x)′,
(b). (arcsin x)′.
5. Pokazać, Ŝe:
(a). wśród trójkątów o stałym obwodzie największe pole ma trójkąt równoboczny;
(b). wśród trójkątów o stałym obwodzie i stałej podstawie największe pole ma trójkąt
równoramienny;
(c). wśród prostokątów o stałym obwodzie największe pole ma kwadrat;
(d). uogólnić (a) i (c) na wielokąty (wpisane w koła);
(e). a co z kołami ?
6. Wyprowadzić wzór na pochodne funkcji f : R → R
(a). f(x) = logax (bezpośrednio oraz – ewentualnie – elementarne własności
logarytmów,
(b). f(x) = xn. (Indukcja i pochodna iloczynu lub wzór an – bn = ... ).
7. Obliczyć piąte pochodne funkcji
(a). y = sin x; (b). y = cos x; (c). y = ln x; (d). y = e2x + sin x; (e). y = xx (x > 0).
8. “Wyprowadzić” wzór na tzw. pochodną logarytmiczną.