Przestrzeń metryczna zupełna - E-SGH

Transkrypt

Przestrzeń metryczna
Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych
Odwzorowania zwężające
Przestrzeń metryczna zupełna
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
30 marca 2016
Jacek Kłopotowski
Przestrzeń liniowa unormowana
Definicja przestrzeni metrycznej
Definicja
Niech X 6= ∅. Funkcję d : X × X → R nazywamy metryką wtedy i
tylko wtedy, gdy:
V
a)
(d (x, y ) 0 ∧ d (x, y ) = 0 ⇔ x = y ),
x,y ∈X
b)
V
d (x, y ) = d (y , x),
x,y ∈X
c)
V
d (x, y ) ¬ d (x, z) + d (z, y ).
x,y ,z∈X
Parę uporządkowaną (X , d) nazywamy przestrzenią metryczną,
warunek c) w definicji 1 nazywamy nierównością trójkąta.
Jacek Kłopotowski
Przykłady przestrzeni metrycznych
Przykład
Podamy przykłady metryk w przestrzeni Rn :
a) d (x, y) =
n
P
|xi − yi | – metryka miejska,
i=1
s
b) d (x, y) =
n
P
(xi − yi )2 – metryka pitagorejska,
i=1
c) d (x, y) = max {|xi − yi | : i = 1, 2, ..., n} – metryka maksimum.
Zauważmy, że dla n = 1 wprowadzone powyżej metryki
sprowadzają się do funkcji d (x, y ) = |x − y |.
Definicja
Przestrzeń Rn z metryką pitagorejską nazywamy n-wymiarową
przestrzenią euklidesową.
Jacek Kłopotowski
Przykład
a) d (x, y) =
n
P
i=1
s
b) d (x, y) =
n
P
i=1
Definicja
Jacek Kłopotowski
Przykład
a) d (x, y) =
n
P
i=1
s
b) d (x, y) =
n
P
i=1
Definicja
Jacek Kłopotowski
Przykłady przestrzeni metrycznych cd
Przykład
W dowolnym zbiorze X 6= ∅ można określić tzw. metrykę dyskretną
daną wzorem
(
0 dla x = y ,
d (x, y ) =
1 dla x 6= y .
Przykład
Niech B (X , R) oznacza zbiór wszystkich funkcji ograniczonych
f : X → R. W przestrzeni B (X , R) określamy metrykę wzorem
d (f , g ) = sup {|f (x) − g (x)| : x ∈ X } .
Jacek Kłopotowski
Przykłady przestrzeni metrycznych cd
Przykład
W dowolnym zbiorze X 6= ∅ można określić tzw. metrykę dyskretną
daną wzorem
(
0 dla x = y ,
d (x, y ) =
1 dla x 6= y .
Przykład
Niech B (X , R) oznacza zbiór wszystkich funkcji ograniczonych
f : X → R. W przestrzeni B (X , R) określamy metrykę wzorem
d (f , g ) = sup {|f (x) − g (x)| : x ∈ X } .
Jacek Kłopotowski
Definicja przestrzeni unormowanej
Definicja
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych
R. Funkcję k·k : X → R nazywamy normą wtedy i tylko wtedy, gdy:
V
a)
(kxk 0 ∧ (kxk = 0 ⇔ x = 0)),
b)
x∈X
V
c)
α∈R
V x∈X
V
kαxk = |α| kxk,
kx + yk ¬ kxk + kyk.
x,y∈X
Parę uporządkowaną (X , k·k) nazywamy przestrzenią liniową
unormowaną.
Twierdzenie
Jeśli k·k : X → R jest normą, to funkcja d : X × X → R określona
wzorem d (x, y) = kx − yk jest metryką.
Jacek Kłopotowski
Definicja przestrzeni unormowanej
Definicja
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych
R. Funkcję k·k : X → R nazywamy normą wtedy i tylko wtedy, gdy:
V
a)
(kxk 0 ∧ (kxk = 0 ⇔ x = 0)),
b)
x∈X
V
c)
α∈R
V x∈X
V
kαxk = |α| kxk,
kx + yk ¬ kxk + kyk.
x,y∈X
Parę uporządkowaną (X , k·k) nazywamy przestrzenią liniową
unormowaną.
Twierdzenie
Jeśli k·k : X → R jest normą, to funkcja d : X × X → R określona
wzorem d (x, y) = kx − yk jest metryką.
Jacek Kłopotowski
Przykłady norm
Przykład
Przykłady norm w przestrzeni Rn :
a) kxk =
n
P
|xi |,
i=1
b) kxk = s
max {|xi | : i = 1, 2, ..., n},
c) kxk =
n
P
xi2 .
i=1
Jacek Kłopotowski
Norma zbieżności jednostajnej
Przykład
Normę w przestrzeni C (ha, bi , R) wszystkich funkcji ciągłych
f : ha, bi → R, można określić wzorem
kf k = sup {|f (x)| : x ∈ ha, bi} .
Normę określoną w przykładzie nazywa się również normą
zbieżności jednostajnej, gdyż zbieżność ciągu funkcyjnego (fn ) do
funkcji f w tej normie jest równoważna zbieżności jednostajnej
ciągu (fn ) do funkcji f .
Jacek Kłopotowski
Norma macierzy
Przykład
W przestrzeni Mm×n (R) wszystkich macierzy A o wymiarach
m × n normę można określić wzorem
kAk = sup {kAxk : kxk = 1} .
Jacek Kłopotowski
Własności normy macierzy
Twierdzenie (własności normy macierzy)
Niech A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), x ∈ Rn , wówczas:
a) kAxk ¬ kAk kxk dla x ∈ Rn ,
b) kAx1 − Ax2 k ¬ kAk kx1 − x2 k dla x1 , x2 ∈ Rn ,
c) kABk ¬ kAknkBk ,
o
√
d) kAk = max
λ : λ ∈ sp(AT A) ,
e) jeśli A jest macierzą kwadratową i symetryczną, to
kAk = max {|λ| : λ ∈ sp (A)} .
Jacek Kłopotowski
Ciąg ograniczony w przestrzeni metrycznej
Definicja
Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d. Mówimy, że
ciąg (xn ) ⊂ X jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
_
_ ^
d(xn , x0 ) < M.
x0 ∈X M>0 n∈N
Jacek Kłopotowski
Ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej
Definicja
ciąg (xn ) ⊂ X jest zbieżny do x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy
^
_
^
d (xn , x0 ) < ε.
ε>0 Nε ∈N n>Nε
Piszemy wówczas lim xn = x0 .
n→∞
Warunek podany w definicji oznacza, że
lim xn = x0 ⇔ lim d (xn , x0 ) = 0.
n→∞
n→∞
Jacek Kłopotowski
Ciągi w przestrzeniach metrycznych cd
Twierdzenie
W przestrzeni Rk z metryką pitagorejską ciąg
h
iT
h
iT
x(n) = x1(n) x2(n) . . . xk(n)
jest zbieżny do punktu
x(0) = x1(0) x2(0) . . . xk(0)
(n)
wtedy i tylko wtedy, gdy lim xj
n→∞
j = 1, 2, ..., k.
(0)
= xj
dla każdego
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Jacek Kłopotowski
Ciągi w przestrzeniach metrycznych cd
Twierdzenie
W przestrzeni Rk z metryką pitagorejską ciąg
h
iT
h
iT
x(n) = x1(n) x2(n) . . . xk(n)
jest zbieżny do punktu
x(0) = x1(0) x2(0) . . . xk(0)
(n)
wtedy i tylko wtedy, gdy lim xj
n→∞
j = 1, 2, ..., k.
(0)
= xj
dla każdego
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Jacek Kłopotowski
Ciąg Cauchy’ego
Definicja
ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _
^
d(xn , xm ) < ε.
ε>0 Nε ∈N n,m>Nε
O ciągu (xn ) mówimy wówczas, że jest ciągiem Cauchy’ego.
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego.
Jacek Kłopotowski
Ciąg Cauchy’ego
Definicja
ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _
^
d(xn , xm ) < ε.
ε>0 Nε ∈N n,m>Nε
O ciągu (xn ) mówimy wówczas, że jest ciągiem Cauchy’ego.
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego.
Jacek Kłopotowski
Ciągi Cauchy’ego cd
Przykład
Rozważmy zbiór (przedział) X = (0, 2) z metryką pitagorejską.
Ciąg ( n1 ) jest ciągiem Cauchy’ego, ale nie jest zbieżny w przestrzeni
X.
Twierdzenie
Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Jacek Kłopotowski
Ciągi Cauchy’ego cd
Przykład
Rozważmy zbiór (przedział) X = (0, 2) z metryką pitagorejską.
Ciąg ( n1 ) jest ciągiem Cauchy’ego, ale nie jest zbieżny w przestrzeni
X.
Twierdzenie
Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Jacek Kłopotowski
Przestrzeń zupełna
Definicja
Przestrzeń metryczną X nazywamy przestrzenią zupełną wtedy i
tylko wtedy, gdy każdy ciąg Cauchy’ego (xn ) ⊂ X jest zbieżny do
x0 ∈ X . Przestrzeń liniową unormowaną zupełną nazywamy
przestrzenią Banacha. Przestrzeń unitarną (przestrzeń p
liniową z
iloczynem skalarnym (x|y ) indukującym normę kxk = (x|x))
zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.
Jacek Kłopotowski
Przykłady przestrzeni zupełnych
Przykład
Przestrzeń R z metryką określoną wzorem d(x, y ) = |x − y | jest
przestrzenią zupełną.
Twierdzenie
Każda skończenie wymiarowa unormowana przestrzeń liniowa jest
przestrzenią Banacha.
Przykład
Przestrzeń liniowa X = C (ha, bi , R) z normą
kf k = sup{|f (x)| : x ∈ ha, bi} jest przestrzenią Banacha.
Jacek Kłopotowski
Przykład
Twierdzenie
Przykład
Jacek Kłopotowski
Przykład
Twierdzenie
Przykład
Jacek Kłopotowski
Funkcja wykładnicza macierzy
Przestrzeń Mn×n (R) macierzy kwadratowych A = [aij ] stopnia n o
współczynnikach rzeczywistych jest przestrzenią liniową
unormowaną, gdzie norma macierzy A jest określona wzorem
kAk = sup {kAxk : kxk = 1}. Ponadto, Mn×n (R) jako przestrzeń
skończenie wymiarowa jest przestrzenią zupełną.
Przykład
Wykażemy, że szereg
S(A) =
∞
X
1
k!
k=0
Ak ,
gdzie A0 = I, Ak = A
· . . . · A}, jest zbieżny.
| · A {z
k−razy
Jacek Kłopotowski
Funkcja wykładnicza macierzy cd
Definicja
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Funkcją
wykładniczą macierzy A nazywamy macierz a
eA =
a
∞
X
1
k!
k=0
Ak .
Używamy zapisu e A przez analogię do wzoru e x =
xk
k=0 k!
P∞
.
Ponieważ (αA)k = αk Ak dla dowolnego α ∈ R, więc z podanej
definicji wynika, że
∞
X
αk k
e αA =
A .
k!
k=0
Jacek Kłopotowski
Punkt stały odwzorowania
Definicja
Punktem stałym odwzorowania F : X → X nazywamy taki punkt
x ∈ X , że F (x) = x.
Przykład
Punktem stałym dowolnego przekształcenia liniowego
F : Rn → Rn , F (x) = Ax jest wektor zerowy 0.
Jacek Kłopotowski
Punkt stały odwzorowania
Definicja
Punktem stałym odwzorowania F : X → X nazywamy taki punkt
x ∈ X , że F (x) = x.
Przykład
Punktem stałym dowolnego przekształcenia liniowego
F : Rn → Rn , F (x) = Ax jest wektor zerowy 0.
Jacek Kłopotowski
Punkty stałe odwzorowań ciągłych
Przykład
Dowolna ciągła funkcja f : ha, bi → ha, bi ma punkt stały.
Twierdzenie (Brouwera)
Jeśli K ⊂ Rn jest zbiorem zwartym i wypukłym, odwzorowanie
F : K → K jest ciągłe, to istnieje taki punkt x0 ∈ K , że
F (x0 ) = x0 .
Jacek Kłopotowski
Punkty stałe odwzorowań ciągłych
Przykład
Dowolna ciągła funkcja f : ha, bi → ha, bi ma punkt stały.
Twierdzenie (Brouwera)
Jeśli K ⊂ Rn jest zbiorem zwartym i wypukłym, odwzorowanie
F : K → K jest ciągłe, to istnieje taki punkt x0 ∈ K , że
F (x0 ) = x0 .
Jacek Kłopotowski
Odwzorowanie zwężające
Definicja
Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d.
Odwzorowanie F : X → X nazywamy odwzorowaniem zwężającym
(odwzorowaniem zbliżającym, kontrakcją) wtedy i tylko wtedy, gdy
_
^
d(F (x1 ), F (x2 )) ¬ qd(x1 , x2 ).
0¬q<1 x1 ,x2 ∈X
Przykład
Funkcję f : h1, ∞) → h1, ∞), f (x) =
zwężającym.
√
x jest odwzorowaniem
Twierdzenie
Każde odwzorowanie zwężające jest ciągłe.
Jacek Kłopotowski
Definicja
_
^
d(F (x1 ), F (x2 )) ¬ qd(x1 , x2 ).
0¬q<1 x1 ,x2 ∈X
Przykład
Funkcję f : h1, ∞) → h1, ∞), f (x) =
zwężającym.
√
Twierdzenie
Jacek Kłopotowski
Definicja
_
^
d(F (x1 ), F (x2 )) ¬ qd(x1 , x2 ).
0¬q<1 x1 ,x2 ∈X
Przykład
Funkcję f : h1, ∞) → h1, ∞), f (x) =
zwężającym.
√
Twierdzenie
Jacek Kłopotowski
Zasada Banacha
Twierdzenie (Zasada Banacha)
Niech F : X → X będzie odwzorowaniem zwężającym ze stałą q,
x0 dowolnym punktem zbioru X . Wówczas:
a) ciąg (xn ), gdzie xn = F (xn−1 ) dla każdego n ∈ N, jest zbieżny
do pewnego punktu xe ∈ X ,
qn
d(x1 , x0 ) dla każdego n ∈ N,
b) d(xn , xe) ¬
1−q
c) punkt xe jest jedynym punktem stałym odwzorowania F .
Jacek Kłopotowski
Zasada Banacha cd
Ciąg (xn ) z zasady Banacha określony jest wzorem rekurencyjnym
xn = F (xn−1 ) dla n ∈ N, czyli
x1 = F (x0 ),
x2 = F (F (x0 )),
x3 = F (F (F (x0 ))),
itd.
Korzystając z zasady Banacha można wykazywać istnienie
rozwiązań pewnych równań oraz wyznaczać rozwiązania
przybliżone tych równań. Podpunkt b) zasady Banacha pozwala
oszacować błąd przybliżenia.
Jacek Kłopotowski
Zasada Banacha cd
Ciąg (xn ) z zasady Banacha określony jest wzorem rekurencyjnym
xn = F (xn−1 ) dla n ∈ N, czyli
x1 = F (x0 ),
x2 = F (F (x0 )),
x3 = F (F (F (x0 ))),
itd.
Korzystając z zasady Banacha można wykazywać istnienie
rozwiązań pewnych równań oraz wyznaczać rozwiązania
przybliżone tych równań. Podpunkt b) zasady Banacha pozwala
oszacować błąd przybliżenia.
Jacek Kłopotowski
Zasada Banacha cd
Twierdzenie
Niech f : X → X , gdzie X jest przedziałem w R, będzie funkcją
różniczkowalną. Jeśli |f 0 (x)| ¬ q < 1 dla każdego x ∈ X , to f jest
odwzorowaniem zwężającym ze stałą q.
Jacek Kłopotowski
Przykład zastosowania zasady Banacha
Przykład
Rozważmy funkcję
f (x) =
x
1
+ ,
2 x
gdzie x 1. Mamy
1
1
−
2 x2
1
1
1
|f 0 (x)| = | − 2 | ¬
2 x
2
dla x ∈ h1, ∞). Wynika stąd, że f : h1, ∞) → h1, ∞),
f 0 (x) =
f (x) =
x
1
+ ,
2 x
jest odwzorowaniem zwężającym ze stałą q = 12 .
Jacek Kłopotowski
Przykład cd
Przykład
Oczywiście, rozwiązując równanie x2 + x1 = x, można bezpośrednio
√
wykazać, że 2 jest punktem stałym funkcji f , ale z zasady
Banacha można wyznaczyć przybliżenia tego rozwiązania i
oszacować błąd przybliżenia. Na przykład dla x0 = 2 mamy:
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
2
2
+
1
2
=
3
2
+
2
3
=
17
12
3
2
2
17
12
2
577
408
2
12
17
+
+
=
408
577
= 1.5,
= 1.416666666666667,
577
408
=
= 1.41421568627451,
665857
470832
Jacek Kłopotowski
= 1.41421356237469.
Przykład cd
Przykład
Oszacujemy błąd przybliżenia
twierdzenia (33) wynika, że
|x4 −
√
√
2 przez x4 . Z punktu b)
4
2| ¬
1
2
1−
3
1 | 2 − 2| =
4
1
2
=
1
16
= 0.0625.
2
Uwaga. Błąd przybliżenia jest znacznie mniejszy.
√ Stałą q √
wyznaczyliśmy dla x ∈ h1, ∞). Dla funkcji f : h 2, 2i → h 2, 2i,
f (x) = x2 + x1 mamy |f 0 (x)| = | 12 − x12 | ¬ 41 , a więc w tym
przypadku można przyjąć q = 14 .
Przedstawioną powyżej metodę wyznaczania rozwiązania równania
F (x) = x nazywamy metodą kolejnych przybliżeń.
Jacek Kłopotowski

Przestrzeń metryczna zupełna - E-SGH

Transkrypt

Podobne dokumenty

Taśmy miernicze

Wykład 1. Przestrzeń metryczna zupełna

SPO Metalowa śruba do montażu w płytach kartonowo

Sektor 9

Wymagania do egzaminu dyplomowego

KONSUMENT W ZASIĘGU Nowy standard planowania mediów

Operator w Dziale Pasów i Wysyłek – Pracownik Produkcji