Wykład 1. Przestrzeń metryczna zupełna

Transkrypt

Przestrzeń metryczna
Przestrzeń liniowa unormowana
Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych
Odwzorowania zwężające
23 listopada 2010
Definicja
Niech X 6= ∅. Funkcję d : X × X → R nazywamy metryką
wtedy
V i tylko wtedy, gdy:
(d (x, y ) ≥ 0 ∧ d (x, y ) = 0 ⇔ x = y ),
a)
x,yV
∈X
b)
d (x, y ) = d (y , x),
x,yV
∈X
c)
d (x, y ) ≤ d (x, z) + d (z, y ) – nierówność trójkąta.
x,y ,z∈X
Parę uporządkowaną (X , d ) nazywamy przestrzenią metryczną.
Przykład
Podamy przykłady metryk w przestrzeni Rn :
n
P
a) d (x, y) =
|xi − yi | – metryka miejska,
i=1
s
n
P
(xi − yi )2 – metryka pitagorejska,
b) d (x, y) =
i=1
c) d (x, y) = max {|xi − yi | : i = 1, 2, ..., n} – metryka
maksimum.
Zauważmy, że dla n = 1 wprowadzone powyżej metryki
sprowadzają się do funkcji d (x, y ) = |x − y |.
Definicja
Przestrzeń Rn z metryką pitagorejską nazywamy n-wymiarową
przestrzenią euklidesową.
Przykład
Podamy przykłady metryk w przestrzeni Rn :
n
P
a) d (x, y) =
|xi − yi | – metryka miejska,
i=1
s
n
P
(xi − yi )2 – metryka pitagorejska,
b) d (x, y) =
i=1
c) d (x, y) = max {|xi − yi | : i = 1, 2, ..., n} – metryka
maksimum.
Zauważmy, że dla n = 1 wprowadzone powyżej metryki
sprowadzają się do funkcji d (x, y ) = |x − y |.
Definicja
Przestrzeń Rn z metryką pitagorejską nazywamy n-wymiarową
przestrzenią euklidesową.
Przykłady
1. W dowolnym zbiorze X 6= ∅ można określić tzw. metryką
dyskretną daną wzorem
0 dla x = y ,
d (x, y ) =
1 dla x 6= y .
2. Niech B (X , R) oznacza zbiór wszystkich funkcji
ograniczonych f : X → R. W przestrzeni B (X , R) określamy
metrykę wzorem
d (f , g ) = sup {|f (x) − g (x)| : x ∈ X } .
Definicja
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb
rzeczywistych R. Funkcję k·k : X → R nazywamy normą
wtedy
V i tylko wtedy, gdy:
a)
(kxk ≥ 0 ∧ (kxk = 0 ⇔ x = 0)),
x∈X
V V
b)
kαxk = |α| kxk,
α∈R
x∈X
V
kx + yk ≤ kxk + kyk.
c)
x,y∈X
Parę uporządkowaną (X , k·k) nazywamy przestrzenią liniową
unormowaną.
Przykład
Podamy przykłady norm w przestrzeni Rn :
n
P
a) kxk =
|xi |,
i=1
b) kxk = s
max {|xi | : i = 1, 2, ..., n},
n
P
c) kxk =
xi2 .
i=1
d) Niech B (A, R), gdzie A 6= ∅, oznacza przestrzeń
wszystkich ograniczonych funkcji f : A → R. W przestrzeni
B (A, R) normę możemy zdefiniować wzorem
kf k = sup {|f (x)| : x ∈ A} .
Przykład cd.
e) Podobnie określamy normę w przestrzeni C (ha, bi , R)
wszystkich funkcji ciągłych f : ha, bi → R, przyjmując
kf k = sup {|f (x)| : x ∈ ha, bi}.
f) W przestrzeni Mm×n (R) wszystkich macierzy A o
wymiarach m × n normę można określić wzorem
kAk = sup {kAxkRm : kxkRn = 1} .
Twierdzenie
Jeśli k·k : X → R jest normą, to funkcja d : X × X → R
określona wzorem d (x, y) = kx − yk jest metryką.
Definicja
Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d . Mówimy,
że ciąg (xn ) ⊂ X jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
_ _ ^
d (xn , x0 ) < M.
x0 ∈X M>0 n∈N
Definicja
że ciąg (xn ) ⊂ X jest zbieżny do x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy,
gdy
^ _ ^
d (xn , x0 ) < ε.
ε>0 Nε ∈N n>Nε
Piszemy wówczas lim xn = x0 .
n→∞
Uwaga
Warunek podany w tej definicji oznacza, że
lim xn = x0 ⇔ lim d (xn , x0 ) = 0.
n→∞
n→∞
Definicja
że ciąg (xn ) ⊂ X jest zbieżny do x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy,
gdy
^ _ ^
d (xn , x0 ) < ε.
ε>0 Nε ∈N n>Nε
Piszemy wówczas lim xn = x0 .
n→∞
Uwaga
Warunek podany w tej definicji oznacza, że
lim xn = x0 ⇔ lim d (xn , x0 ) = 0.
n→∞
n→∞
Przykład
Rozważmy
Rk z metryką pitagorejską.
 (n)przestrzeń

 (0)Ciąg

x1
x1
x (n) 
x (0) 
 2 
 
(n)
(0)
x =  .  jest zbieżny do punktu x =  2.  wtedy i
 .. 
 .. 
(n)
(0)
xk
xk
(n)
(0)
tylko wtedy, gdy lim xj = xj dla każdego j = 1, 2, ..., k.
n→∞
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Przykład
Rozważmy
Rk z metryką pitagorejską.
 (n)przestrzeń

 (0)Ciąg

x1
x1
x (n) 
x (0) 
 2 
 
(n)
(0)
x =  .  jest zbieżny do punktu x =  2.  wtedy i
 .. 
 .. 
(n)
(0)
xk
xk
(n)
(0)
tylko wtedy, gdy lim xj = xj dla każdego j = 1, 2, ..., k.
n→∞
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Definicja
że ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy,
gdy
^ _ ^
d (xn , xm ) < ε.
ε>0 Nε ∈N n,m>Nε
O ciągu (xn ) mówimy wówczas, że jest ciągiem Cauchy’ego.
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego.
Dowód.
Niech (xn ) będzie ciągiem zbieżnym do x0 i ε > 0. Z definicji
granicy ciągu wynika, że istnieje takie Nε ∈ N, że
d (xn , x0 ) < 12 ε dla każdego n > Nε , Stąd otrzymujemy, że
spełniony jest warunek
d (xn , xm ) ≤ d (xn , x0 ) + d (x0 , xm ) < 12 ε + 21 ε = ε
dla każdego n, m > Nε .
Twierdzenie
Każdy ciąg zbieżny (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego.
Dowód.
Niech (xn ) będzie ciągiem zbieżnym do x0 i ε > 0. Z definicji
granicy ciągu wynika, że istnieje takie Nε ∈ N, że
d (xn , x0 ) < 12 ε dla każdego n > Nε , Stąd otrzymujemy, że
spełniony jest warunek
d (xn , xm ) ≤ d (xn , x0 ) + d (x0 , xm ) < 12 ε + 21 ε = ε
dla każdego n, m > Nε .
Twierdzenie odwrotne w ogólnym przypadku jest fałszywe.
Istnieją przestrzenie metryczne, w których ciąg Cauchy’ego nie
ma granicy.
Przykład
Rozważmy zbiór (przedział) X = (0, 2) z metryką pitagorejską.
Ciąg ( n1 ) jest ciągiem Cauchy’ego, ale nie jest zbieżny w
przestrzeni X .
Twierdzenie
Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Dowód.
Niech (xn ) będzie ciągiem Cauchy’ego. Dla ε = 1 istnieje taka
liczba N1 , że d (xn , xm ) < 1 dla n, m > N1 . Niech
M = max(1, d (xn , xN1 +1 )), gdzie n ≤ N1 . Dla każdego n ∈ N
spełniony jest zatem warunek d (xn , xN1 +1 ) ≤ M, co oznacza,
że ciąg (xn ) jest ograniczony.
Twierdzenie
Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Dowód.
Niech (xn ) będzie ciągiem Cauchy’ego. Dla ε = 1 istnieje taka
liczba N1 , że d (xn , xm ) < 1 dla n, m > N1 . Niech
M = max(1, d (xn , xN1 +1 )), gdzie n ≤ N1 . Dla każdego n ∈ N
spełniony jest zatem warunek d (xn , xN1 +1 ) ≤ M, co oznacza,
że ciąg (xn ) jest ograniczony.
Definicja
Przestrzeń metryczną X nazywamy przestrzenią zupełną wtedy
i tylko wtedy, gdy każdy ciąg Cauchy’ego (xn ) ⊂ X jest zbieżny
do x0 ∈ X . Przestrzeń liniową unormowaną zupełną nazywamy
przestrzenią Banacha. Przestrzeń unitarną (przestrzeń liniową
z iloczynem
p skalarnym (x|y ) indukującym normę
kxk = (x|x)) zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.
Przykład
Wykażemy, że przestrzeń R z metryką określoną wzorem
d (x, y ) = |x − y | jest przestrzenią zupełną.
Rozwiązanie
Niech ciąg (xn ) ⊂ R spełnia warunek Cauchy’ego, tzn
^ _ ^
|xn − xm | < ε.
Ciąg (xn ) jest więc ciągiem ograniczonym i z twierdzenia
Bolzano-Weierstrassa wynika, że zawiera podciąg (xkn ), gdzie
(kn ) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, zbieżny do
x0 ∈ R.
Przykład
Wykażemy, że przestrzeń R z metryką określoną wzorem
d (x, y ) = |x − y | jest przestrzenią zupełną.
Rozwiązanie
Niech ciąg (xn ) ⊂ R spełnia warunek Cauchy’ego, tzn
^ _ ^
|xn − xm | < ε.
Ciąg (xn ) jest więc ciągiem ograniczonym i z twierdzenia
Bolzano-Weierstrassa wynika, że zawiera podciąg (xkn ), gdzie
(kn ) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, zbieżny do
x0 ∈ R.
Rozwiązanie cd.
Spełniony jest zatem warunek
^ _ ^
|xkn − x0 | < ε.
ε>0 Nε ∈N n>Nε
(1)
Niech ε > 0. Istnieje taka liczba naturalna Nε , że
(1)
|xn − xkn | < 12 ε dla n > Nε oraz istnieje taka liczba naturalna
(2)
(2)
Nε , że |xkn − x0 | < 21 ε dla n > Nε . Dla
(1)
(2)
n > Nε = max(Nε , Nε ) mamy zatem
|xn − x0 | = |xn − xkn + xkn − x0 | ≤
≤ |xn − xkn | + |xkn − x0 | < 21 ε + 12 ε = ε,
czyli x0 jest granicą ciągu (xn ).
Twierdzenie
Każda skończenie wymiarowa unormowana przestrzeń liniowa
jest przestrzenią Banacha.
Przykład
Wykażemy, że przestrzeń liniowa X = C (ha, bi , R) z normą
kf k = sup{|f (x)| : x ∈ ha, bi} jest przestrzenią Banacha.
Twierdzenie
Każda skończenie wymiarowa unormowana przestrzeń liniowa
jest przestrzenią Banacha.
Przykład
Wykażemy, że przestrzeń liniowa X = C (ha, bi , R) z normą
kf k = sup{|f (x)| : x ∈ ha, bi} jest przestrzenią Banacha.
Rozwiązanie
Niech (fn ) ⊂ X będzie ciągiem Cauchy’ego, wówczas dla
każdego x ∈ ha, bi ciąg liczbowy (fn (x)) jest również ciągiem
Cauchy’ego. Oznaczając granice tego ciągu przez f (x),
otrzymujemy funkcję f : ha, bi → R. Ciąg funkcyjny (fn ) jest
zatem zbieżny punktowo w przedziale ha, bi do funkcji f .
Łatwo można wykazać, że ciąg (fn ) jest zbieżny również
jednostajnie do funkcji f , zatem f jest funkcją ciągłą, tzn.
f ∈ X oraz lim kfn − f k = 0.
n→∞
Definicja
Punktem stałym odwzorowania F : X → X nazywamy taki
punkt x ∈ X , że F (x) = x.
Przykład
Punktem stałym dowolnego przekształcenia liniowego
F : Rn → Rn jest wektor zerowy 0.
Definicja
Punktem stałym odwzorowania F : X → X nazywamy taki
punkt x ∈ X , że F (x) = x.
Przykład
Punktem stałym dowolnego przekształcenia liniowego
F : Rn → Rn jest wektor zerowy 0.
Przykład
Wykażemy, że dowolna ciągła funkcja f : ha, bi → ha, bi ma
punkt stały.
Rozwiązanie
Niech g : ha, bi → R, g (x) = f (x) − x. Funkcja g jest ciągła,
g (a) = f (a) − a ≥ 0, g (b) = f (b) − b ≤ 0.
Z własności Darboux wynika, że istnieje punkt x0 ∈ ha, bi dla
którego g (x0 ) = 0. Punkt x0 jest punktem stałym funkcji f .
Przykład
Wykażemy, że dowolna ciągła funkcja f : ha, bi → ha, bi ma
punkt stały.
Rozwiązanie
Niech g : ha, bi → R, g (x) = f (x) − x. Funkcja g jest ciągła,
g (a) = f (a) − a ≥ 0, g (b) = f (b) − b ≤ 0.
Z własności Darboux wynika, że istnieje punkt x0 ∈ ha, bi dla
którego g (x0 ) = 0. Punkt x0 jest punktem stałym funkcji f .
Przedstawiony przykład jest szczególnym przypadkiem
poniższego twierdzenia.
Twierdzenie (Brouwera)
Jeśli K ⊂ Rn jest zbiorem zwartym i wypukłym, odwzorowanie
F : K → K jest ciągłe, to istnieje taki punkt x0 ∈ K , że
F (x0 ) = x0 .
Definicja
Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d .
Odwzorowanie F : X → X nazywamy odwzorowaniem
zwężającym (lub zbliżającym) wtedy i tylko wtedy, gdy
_
^
d (F (x1 ), F (x2 )) ≤ q(d (x1 , x2 ).
0<q<1 x1 ,x2 ∈X
Przykład
√
Rozważmy funkcję f : h1, ∞) → h1, ∞), f (x) = x. Dla
dowolnych x ≥ 1, y ≥ 1 mamy
√
√
|f (x) − f (y )| = | x − y | =
|x − y |
|x − y |
=√
= 12 |x − y |.
√ ≤
1+1
x+ y
Funkcja f jest zatem odwzorowaniem zwężającym.
Twierdzenie
Każde odwzorowanie zwężające jest ciągłe.
Przykład
√
Rozważmy funkcję f : h1, ∞) → h1, ∞), f (x) = x. Dla
dowolnych x ≥ 1, y ≥ 1 mamy
√
√
|f (x) − f (y )| = | x − y | =
|x − y |
|x − y |
=√
= 12 |x − y |.
√ ≤
1+1
x+ y
Funkcja f jest zatem odwzorowaniem zwężającym.
Twierdzenie
Każde odwzorowanie zwężające jest ciągłe.
Ważną własność odwzorowań zwężających podaje poniższe
twierdzenie.
Twierdzenie (Zasada Banacha)
Niech F : X → X będzie odwzorowaniem zwężającym ze stałą
q, x0 dowolnym punktem zbioru X . Wówczas:
a) ciąg (xn ), gdzie xn = F (xn−1 ), jest zbieżny do pewnego
punktu e
x ∈ X,
qn
b) d (xn , e
x) ≤
d (x1 , x0 ) dla każdego n ∈ N,
1−q
c) punkt e
x jest jedynym punktem stałym odwzorowania F .
Uwaga
Ciąg (xn ) z zasady Banacha 25 określony jest wzorem
rekurencyjnym xn = F (xn−1 ) dla n ∈ N, czyli x1 = F (x0 ),
x2 = F (F (x0 )), x3 = F (F (F (x0 ))), itd.
Korzystając z zasady Banacha można wykazywać istnienie
rozwiązań pewnych równań oraz wyznaczać rozwiązania
przybliżone tych równań. Podpunkt b) zasady Banacha
pozwala oszacować błąd przybliżenia.
Twierdzenie
Niech f : X → X , gdzie X jest domkniętym podzbiorem R,
będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli |f 0 (x)| ≤ q < 1 dla
każdego x ∈ X , to f jest odwzorowaniem zwężającym ze
stałą q.
Uwaga
x2 = F (F (x0 )), x3 = F (F (F (x0 ))), itd.
Twierdzenie
stałą q.
Uwaga
x2 = F (F (x0 )), x3 = F (F (F (x0 ))), itd.
Twierdzenie
stałą q.
Przykład
Rozważmy funkcję
f (x) =
x
1
+ ,
2 x
f 0 (x) =
1
1
− 2,
2 x
gdzie x 6= 0. Mamy
1
1
1
|f 0 (x)| = | − 2 | ≤
2 x
2
dla x ∈ h1, ∞). Wynika stąd, że f (h1, ∞)) ⊂ h1, ∞), czyli
f : h1, ∞) → h1, ∞) jest odwzorowaniem zwężającym ze stałą
q = 21 .
Przykład cd.
Oczywiście, rozwiązując równanie x2 + x1 = x, można
√
bezpośrednio wykazać, że 2 jest punktem stałym funkcji f ,
ale z zasady Banacha można wyznaczyć przybliżenia tego
rozwiązania i oszacować błąd przybliżenia. Na przykład dla
x0 = 2 mamy:
2 1
3
+ = = 1.5,
2 2
2
3
2
17
x2 = 2 + =
= 1.416666666666667,
2 3
12
17
12
577
x3 = 12 +
=
= 1.41421568627451,
2
17
408
577
408
665857
x4 = 408 +
=
= 1.41421356237469.
2
577
470832
x1 =
Oszacujemy błąd przybliżenia
twierdzenia (25) mamy
√
|x4 − 2| ≤
1
1 4
2
3
1 |2
−2
√
2 przez x4 . Z punktu b)
− 2| =
1 4
2
=
1
16
= 0.0625.
Uwaga
Błąd przybliżenia jest znacznie mniejszy, gdyż
√stała q została
√
oszacowana dla x ∈ h1, ∞). Dla funkcji f : h 2, 2i → h 2, 2i,
f (x) = x2 + x1 mamy |f 0 (x)| = | 12 − x12 | ≤ 14 .
Przedstawioną powyżej metodę wyznaczania rozwiązania
równania F (x) = x nazywamy metodą kolejnych przybliżeń.
√
|x4 − 2| ≤
1
1 4
2
3
1 |2
−2
√
− 2| =
1 4
2
=
1
16
= 0.0625.
Uwaga
√
f (x) = x2 + x1 mamy |f 0 (x)| = | 12 − x12 | ≤ 14 .
√
|x4 − 2| ≤
1
1 4
2
3
1 |2
−2
√
− 2| =
1 4
2
=
1
16
= 0.0625.
Uwaga
√
f (x) = x2 + x1 mamy |f 0 (x)| = | 12 − x12 | ≤ 14 .

Wykład 1. Przestrzeń metryczna zupełna

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadania z przedmiotu Geometria i topologia, III semestr seria 6 1

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI. 1

Taśmy miernicze

TOPEX KLUCZ NASTAWNY 150MM 35D121

Przestrzeń metryczna zupełna - E-SGH

SPO Metalowa śruba do montażu w płytach kartonowo

7 Przestrzenie metryczne zwarte.

Wykªad z dnia 02.10.07