Materiały do zajęć - część 3
Transkrypt
Materiały do zajęć - część 3
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część 3 – drgania wymuszone siłą harmoniczną drgania wymuszone siłą odśrodkową drgania wymuszone kinematycznie Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora. DRGANIA WYMUSZONE Wymuszenie siłą harmoniczną, impulsową, poliharmoniczną, stochastyczną, dowolną. Wymuszenie siłą odśrodkową. Wymuszenie kinematyczne. Drgania oscylatora harmonicznego tłumionego wymuszonego siłą harmoniczną k Równanie ruchu: m ẍ (t)+c ẋ (t)+ k x (t)=P (t) ẍ (t)+ 2 h ẋ (t)+ω 20 x (t)= P (t ) m F(t) m c Dla P (t)= P0 sin ν t i h< ω0 rozwiązanie ma postać sumy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (drgania swobodne gasnące) i rozwiązania szczególnego równania pełnego (drgań ustalone) x (t)=e−ht ( Acos ω t+ B sin ω t )+ Asin (ν t+ δ) Podstawiając A sin( ν t +δ) do równania ruchu otrzymujemy układ równań z którego wyznaczamy parametry A i δ : A= P0 1 2 2 m √(ω 0−ν )2 +4 h2 ν 2 δ=arctg ( −2 h ν 2 2 ω0−ν ) x(t) Stałe A i B wyznaczamy z warunków początkowym ale z uwzględnieniem całej postaci rozwiązania. REZONANS HARMONICZNY, czyli widoczny w powyższym przykładzie wzrost amplitudy drgań ustalonych przy wymuszeniu zbliżonym do częstości drgań własnych, jest najistotniejszym zjawiskiem powodującym potrzebę analizy drgań układów mechanicznych. WYKRESY AMPLITUDY DRGAŃ USTALONYCH dla ω0=1 Wymuszenie harmoniczne (dla przemieszczenia) Wymuszenie harmoniczne (dla prędkości) Wymuszenie harmoniczne (dla przyspieszenia) Przykład Dobrać wartość współczynnika sztywności w modelu dzwonka elektrycznego tak, aby układ zadziałał. Przyjmujemy przybliżenie, że elektromagnes działa na ciężarek siłą sinusoidalną o częstotliwości 50Hz i amplitudzie 10N. Dane: f =50Hz , P 0=10 N , L=50mm , m=5g , d =1mm Pełne rozwiązanie drgań układu: x (t)=e−ht ( Acos ω t+ B sin ω t )+ Asin (ν t+ δ) gdzie amplituda drgań ustalonych układu A= P0 1 2 2 mL √( ω0−ν )2 + 4 h 2 ν 2 Z powodu braku tłumienia w układzie (h=0) mamy P 1 x (t)=A cos ω0 t + B sin ω0 t+ Asin ν t A= 0 2 2 mL ∣ω 0−ν ∣ Aby układ zadziałał amplituda drgań (przemieszczenie, ale równanie jest na kąt obrotu) ciężarka musi być co najmniej równe szczelinie dzwonka, zatem A L⩾d P0 1 L⩾d 2 mL ∣ω0−ν 2∣ Następnie przekształcamy aby wydobyć niewiadomy współczynnik k P0 m 1 ⩾d k 2 ∣ −ν ∣ 4m co daje nam dwa warunki: k ⩽4 P0 P +4 m ν 2 ∧ k ⩾4 m ν2 −4 0 d d i ostatecznie: k ⩽41973,92 N m DRGANIA WYMUSZONE SIŁĄ ODŚRODKOWĄ Skrót teorii: (m1 +m2 ) ẍ (t)+c ẋ (t)+ k x (t)=F b sin ν t F b=m 2 e ν 2 2 ẍ (t)+ 2 h ẋ (t)+ω 0 x (t)=q sin ν t 2 q= m2 e ν m 1+ m 2 x (t)=e−ht ( Acos ω t+ B sin ω t )+ Asin (ν t+ δ) A=q 1 √(ω −ν ) + 4 h 2 ν2 2 0 2 2 tg δ= −2 h ν 2 2 ω0−ν Występowanie zjawiska: - wszelkie maszyny z elementami wirującymi Przykład Wyprowadzić równianie ruchu płaskiego modelu wyważarki do kół. Jak obliczyć położenie środka ciężkości koła? obr ] Dane: k , c , m1, N [ min Zakładamy koło na urządzenie – z ugięcia statycznego sprężyn x st wyznaczamy masę koła: m2=2 k x st g Zamieniamy prędkość obrotową koła na częstość kołową: ν=2 π N 60 Równanie ruchu maszyny: 2 (m1 +m2 ) ẍ+ c ẋ + 2 k x=m2 e ν sin ν t ẍ (t)+ 2 h ẋ (t)+ω 20 x (t)= m2 e ν 2 sin ν t m1 +m2 Ruch ustalony maszyny opisuje funkcja: A= x (t)=A sin(ν t +δ) , gdzie m2 1 e ν2 2 2 2 m1 + m2 √(ω 0−ν ) +4 h2 ν2 tg δ= −2 h ν 2 2 ω0−ν Mierząc amplitudę drgań maszyny podczas jednostajnego ruchu obrotowego koła możemy obliczyć wartość przesunięcia środka masy koła: e= A m 1+ m 2 m2 ν 2 √( ω −ν ) + 4 h 2 0 2 2 2 ν2 Widząc, że na skutek tłumienia przebieg drgań układu opóźniony jest w czasie względem wymuszenia, możemy odszukać położenie kątowe koła, przy którym jest maksimum amplitudy drgań a następnie cofając koło o kąt δ znaleźć dokładne położenie środka masy koła. wymuszenie bezwładnościowe (dla przemieszczenia) DRGANIA WYMUSZONE KINEMATYCZNIE Występowanie zjawiska: – ruch pojazdu po nierównościach drogi – wpływ drgań podłoża na pracę urządzeń mechanicznych Wymuszenie kinematyczne (dla przemieszczenia) Wymuszenie kinematyczne (dla prędkości) Wymuszenie kinematyczne (dla przyspieszenia) Sebastian Korczak, 09.12.2011 aktualizacja: 19.04.2012 aktualizacja: 12.04.2013 aktualizacja: 11.05.2014 aktualizacja: 19.04.2015