V = R[X]

Lista
Przestrzenie liniowe
Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ∗) jest przestrzenią liniową nadR :
• V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem wielomianów, oraz mnożeniem wielomianu przez liczbę.
• V = C, z działaniami: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, r ∗ (a + bi) = ra + rbi.
• V = C[R], zbiór funkcji ciągłych ze zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiate, oraz dla
f, g ∈ C[R] oraz r, x ∈ R niech (f + g)(x) = f (x) + g(x), (r ∗ f )(x) = r(f (x))
• V = C 1 [R], zbiór funkcji ciągłych, różniczkowalnych ze zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiate, oraz dla f, g ∈ C[R] oraz r, x ∈ R niech (f + g)(x) = f (x) + g(x), (r ∗ f )(x) = r(f (x))
• V = Z[X] zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych, wraz ze standardowym dodawaniem wielomianów, oraz mnożeniem wielomianu przez liczbę.
Zadanie 2 Czy zbiór A jest podprzestrzenią przestrzeni V :
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z}, V = R3
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 0}, V = R3
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0}, V = R3
• A = C 1 [R], V = C[R]
• A = R7 [X], V = R[X]
Zadanie 3
• Czy wektor (2, 3, 6) jest kombinacją liniową wektorów (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)?
• Czy wektor (5, 3, −1) jest kombinacją liniową wektorów (1, 2, 1), (3, 1, 4), (2, 7, 1)?
• Czy wielomian 5x2 + 3x − 1 jest kombinacją liniową wielomianów 1x2 + 2x + 1, 3x2 + 1x + 4, 2x2 +
7x + 1?
Zadanie 4 Sprawdź liniową niezależność wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych:
• (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
• (2, 2, 3, 3), (2, 2, 4, 4), (3, 3, 5, 5)
• 1, x, x3 , x2
• sin2 (x), cos2 (x), I(x), gdzie ∀xI(x) = 1
Zadanie 5 Uzasadnij, że wektory (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) tworzą bazę przestrzeni R3
Zadanie 6 Podaj bazę przestrzeni R7 [X] wielomianów stopnia nie większego niż 7 o współczynnikach
rzeczywistych.
1
Zadanie 7 1. Czy przestrzeń liniowa R[X] może mieć skończoną bazę? 2. Czy przestrzeń liniowa
funkcji ciągłych może mieć skończoną bazę?
Zadanie 8 Czy podane funkcje f : Rn → Rm są funkcjami liniowymi:
• f ((x, y)) = (2x + 3y, 4x + y)
• f ((x, y, x)) = (x, y)
• f ((x, y, x)) = (xyz)
• f ((x, y, x)) = (x2 + y 2 + z 2 )
Zadanie 9 Podaj macierz funkcji liniowej w bazach standardowych:
• f ((x, y)) = (2x + 3y, 4x + y)
• f ((x, y, x)) = (x, y)
• f ((x, y, x)) = (2x + 4y + z, x + y + z, z)
Zadanie 10 Czy operacja brania pochodnej jest funkcją liniową z przestrzeni C 1 [R] w nią samą?
Współrzędne wektora w bazie, macierz zmiany bazy.
Zadanie 11 Zadanie 12 Niech B baza przestrzeni liniowej V. Wyjaćnij czym jest wektor współrzęsnych wektora v ∈ V w bazie B.
Zadanie 13
• Pokaż, że zbiór wielomianów x2 + 2x + 1, x + 1, 3 jest bazą przestrzeni liniowej
wielomianów stopnia nie większego niż 2, R2 [X].
• Podaj wspórzędne wielomianów x2 , x, 2x2 + 5x + 3 w bazie z poprzedniego punktu.
Zadanie 14 Podaj macierz przejścia z bazy standardowej {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} do bazy {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0,
Zadanie 15
R3 .
• Pokaż, że zbiór wektorów {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} jest bazą przestrzeni liniowej
• Podaj macierz przejścia z bazy standardowej do bazy {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)}.
Zadanie 16 Niech B, B 0 , B 00 bazy przestrzeni liniowej V, P macierz przejścia z bazy B do B 0 , Q
macierz przejścia z bazy B 0 do B 00 . Czym są macierze P −1 , QP
Zadanie 17 Niech B, B 0 bazy przestrzeni liniowej V, P macierz przejścia z bazy B do B 0 , f : V → V
funkcja liniowa oraz A macierz funkcji f w bazie B. Uzasadnij, P −1 AP jest macierzą funkcji w f w
bazie B 0
Zadanie 18
• Podaj macierz funkcji f (x, y, z) = (2x + 3y + 4z, x − y + z, x + 3y − z)
• Podaj macierz funkcji f w bazie {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)}
Jądro, obraz funkcji liniowej.
Zadanie 19
• Podaj definicję jądra i obrazu funkcji liniowej.
2
• Czy zbiór {(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 0, y ≤ 2} może być jądrem pewnej funkcji liniowej f : R3 → R3 ?
• Czy obraz i jądro są podprzestrzeniami liniowymi?
Zadanie 20 Wyznacz jądro i obraz funkcji liniowej:
• f (x, y, z) = (x, y) : R3 → R3
• f (x, y, z) = (x + y, y + z, x + 2y + z) : R3 → R3
•
00
: R2 [X] → R2 [X] (funkcja brania drugiej pochodnej na wielomianach stopnia nie większego niż
2)
Zadanie 21 Niech f : V → W funkcja liniowa. Wyjaśnij wzór: dimIm(f ) + dimKer(f ) = dim(V ).
Zadanie 22 Wyznacz wymiar jądra funkcji liniowej g(x, y, z) = (x, y), f (x, y, z, t) = 2x − 5y + 7z − t
Zadanie 23
jekcją.
• Przypomnij czym jest funkcja różnowartościowa i co to znaczy że funkcja jest bi-
• czy funkcja f (x) = x2 : R → R jest różnowartościowa, czy jest bijekcją.
• podaj przykład nieróżnowartościowej bijekcji z f : R → R
Zadanie 24
• Udowodnij, że funkcja liniowa f : V → W jest różnowartościowa wtedy i tylko
wtedy, gdy dimKer(f ) = 0.
• Udowodnij, że funkcja liniowa f : V → W jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dimKer(f ) = 0
i dimIm(f ) = dim(W ).
Wartości własne, wektory własne.
Zadanie 25
• Podaj wektory własne i wartości

3
 0
0
własne macierzy:

0 0
5 0 
0 7
• Podaj macierz wymiaru 3 × 3 o wartościach własnych 4, 6, 8
Zadanie 26 Wyznacz wektory własne i wartości własne macierzy:
•
•
1 2
3 2


2 3 0
 −1 2 1 
2 3 −2
Zadanie 27 Podaj macierz obrotu o kąt α 6= 0, sprawdź czy posiada wartości własne.
Zadanie 28 Niech λ wartość własna macierzy A.
Co wiemy o watrościach własnych macierzy: A2 , A3 , A−1 , A − Id, A − 3Id?
3
Zadanie 29 Wektor v jest wektorem własnym zarówno macierzy A i macierzy B. Uzasadnij, że macierze A + B, A − B, 3A − 2B posiadają wektory własne.
Zadanie 30
• Przeprowadź diagonalizację macierzy:
1 4
3 2
• oblicz
Zadanie 31
1 4
3 2
10
• Podaj macierz A funkcji liniowej f (x, y) = (y, 3x + 2y)
• przeprowadź diagonalizację macierzy A
• zauważając, że f n (x, y) = An (x, y), wyprowadź wzór na f n (1, 1)
• wyprowadź wzór na n-ty wyraz ciągu an zdefiniowanego rekurencyjnie:
an+2
a1 = a2 = 1
= 3an + 2an+1 , n ≥ 1
(wsk: wypisz f n (1, 1) oraz an dla n = 1, 2, 3, 4, 5, zauważ podobieństwo.)
Przestrzenie Euklidesowe.
Zadanie 32
• Przypomnij definicję iloczynu skalarnego i przestrzeni euklidesowej.
• Wyraź odległość w przestrzeni euklidesowej za pomocą iloczynu skalarnego.
• Wyraź kąt między wektorami v, w za pomocą iloczynu skalarnego.
Zadanie 33 Wyaź iloczyn skalarny h7v + 3w|5v − 2wi za pomacą hv|wi, hv|vi, hw|wi.
Zadanie 34 Wyznacz rzut wektora (7, 2, −5) na wektor (2, 1, 5) w przestrzeni euklidesowej R3 ze
standardowym iloczynem skalarnym.
Zadanie 35 Niech B = { √12 (1, 1, 0), √13 (1, −1, 1), √16 (−1, 1, 2)}. Wyznacz współrzędne wektorów (3, 7, 1),
(5, −2, 3) w bazie B.
Zadanie 36 Oblicz kąt między wektorami (3, 7, 1), (5, −2, 3) względem standardowego iloczynu skalarnego.
Zadanie 37 Które z poniższych wyrażeń definiują iloczyn skalarny w przestrzeni R2
1. 3x1 y1 − x2 y2
2. x21 + x22
3. x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 3x2 y2
4. x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + x2 y2
4
Zadanie 38 Oblicz odległość punktów (1, 2), (7, 8) względem iloczynów skalarnych z poprzedniego zadania. Podaj przykłady wektorów prostopadłych względem tych iloczynów.
Zadanie 39 Czy wektory (1, −2), (2, −1) są prostopadłe względem rozważanych iloczynów skalarnych.
Zadanie 40 Wyznacz rzut wektora (1, 2, 3) na podprzestrzeń generowaną przez wektory:
• (1, 3, 4), (1, 1, −1) względem standardowego iloczynu skalarnego.
• (1, 2, 1), (3, 2, 1) względem iloczynu z zadania poprzedniego.
Zadanie 41 Na C[a, b], przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [a, b] w liczby rzeczywiste zadana jest
Rb
funkcja hf (x)|g(x)i = f (x)g(x)dx. Sprawdź, że podana funkcja jest iloczynem skalarnym.
a
Zadanie 42 Pokaż, że zbiór {sin(nx) : n ∈ N} ∪ {cos(nx) : n ∈ N} jest ortogonalny w przestrzeni
euklidesowej C[0, 2π] z iloczynem skalarnym określonym w poprzednim zadaniu.
Zadanie 43 Znajdź bazę ortonormalną względem standardowego iloczynu skalarnego podprzestrzeni
generowanej przez wektory: (1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 4, 1, 3). (Wykonaj ortogonalizację)
Zadanie 44
• Przypomnij wzór na rzut wektora na podprzestrzeń generowaną przez zbiór ortonormalny {b1 , b2 , ..., bn }.
• Wyznacz rzut wektora (7, 6, 5, 4) na podprzestrzeń z poprzedniego zadania.
Zadanie 45 Oblicz odległość punktów: (0, 0, 0, 0) oraz (1, 2, 3, 4) od podprzestrzeni z zadania 43.
Zadanie 46 Niech f ∈ C[0, 2π]. Wyznacz rzut f na podprzestrzeń generowaną przez zbiór {sin(nx), cos(nx) :
n < 5}, porównaj z szeregiem Fouriera funkcji f .
Zadanie 47 Funkcja hf (x)|g(x)i =
Rπ
f (x)g(x)dx jest iloczynem skalarnym na przestrzeni funkcji z
−π
odcinka [−π, π] w liczby rzeczywiste o skończenie wielu punktach nieciągłości. Wyznacz kilka pierwszych
współczynników szeregu Fouriera funkcji:
−1
x ∈ [−π, 0]
f (x) =
1
x ∈ [0, π]
Zadanie 48
• Zapisz układ równań w postaci odpowiedniego równania wektorowego w R3 :

 10a + b = 19
20a + b = 31

30a + b = 39
• Sprawdź, czy wektor (19, 31, 39) należy do przestrzeni generowanej przez wektory (10, 20, 30), (1, 1, 1)?
• Wyznacz v0 wektor przestrzeni h(10, 20, 30), (1, 1, 1)i, który leży najbliżej wektora (19, 31, 39). (v0
jest rzutem wektora (19, 31, 39) na podprzestrzeń).
• Wyznacz ”przybliżone” rozwiązanie układu równań przedstawiając wektor v0 jako kombinację
liniową wektorów (10, 20, 30), (1, 1, 1).
Podaj interpretację geometryczną układu równań oraz rozwązania.
Krzysztof Majcher
5