Algebra liniowa 2014
Transkrypt
Algebra liniowa 2014
Algebra liniowa 2014 wiczenie 7. Przestrze« wektorowa. 1. Sprawd¹, czy (W, R, +, ·) jest przestrzeni¡ wektorow¡, je±li: 1 a (a) W = : a, b, c ∈ R , b c 0 a (b) W = : a, b, c ∈ R . b c (c) W = x ∈ R2 : x = [2t, t + 1]T , t ∈ R , (d) W = x ∈ R2 : x = [2t, t]T , t ∈ R , (e) W zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia 5, (f) W = R[x]5 (zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia co najwy»ej 5), (g) W zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia 0. 2. Niech V przestrze« wektorowa. Czy v jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów: (a) V = R4 , v = [1, −1, 1, 1]T , v1 = [−1, 1, 1, 3]T , v2 = [2, 1, −1, 2]T , (b) V = R3 , v = [1, 2, −1]T , v1 = [1, −1, 0]T , v2 = [2, 1, 3]T , v3 = [−1, 0, 1]T , (c) V = R[x]3 , v = x3 + x + 1, v1 = x2 − 1, v2 = x3 + x, v3 = x3 − x2 + 5, −1 3 −1 1 1 0 2 1 (d) V = M2x2 (R), v = , v1 = , v2 = , v3 = , 1 5 0 2 −1 1 3 0 3. Czy nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne? Czy tworz¡ baz¦ przestrzeni wektorowej V ? (a) V = R4 , v1 = [−1, 0, 1, 0]T , v2 = [4, 1, −2, 1]T , v3 = [3, 1, −1, 1]T , (b) V = R4 , v1 = [−1, 0, 1, 3]T , v2 = [0, 1, −2, −1]T ,, (c) V = R4 , v1 = [−1, 3, −1, 1]T , v2 = [2, −2, −1, 1]T , v3 = [−1, 1, 2, −1]T , v4 = [−2, −1, 1, −1]T . 4. Dla jakiej warto±ci parametru m wektory: v1 = [3, 2, m]T , v2 = [2, 0, 1]T , v3 = [2, 1, 1 − m]T s¡ liniowo zale»ne? 5. Sprawd¹, »e wektory: v1 = [1, 1, 1]T , v2 = [1, 2, 3]T , v3 = [1, 4, 9]T tworz¡ baz¦ R3 . Wyznacz wspóªrz¦dne wektora [3, 7, 13] w tej bazie. 6. Wyznacz baz¦ i wymiar przestrzeni rozwi¡za« równania jednorodnego: x 1 + x 2 + x 4 − x 5 = 0 . 2x1 + x3 = 0 −x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 0 7. Wyznacz wymiar i baz¦ przestrzeni liniowej V = [x1 , x2 , x3 , x4 ]T ∈ R4 : x1 + x2 + x3 = 0, x2 + x3 + x4 = 0 . 8. Niech W podprzestrzeni¡ V. Wyznacz wymiar i baz¦ podprzestrzeni W , je»eli: (a) V = R4 , W = lin(v1 , v2 , v3 , v4 ), v1 = [1, 1, 0, −1]T , v2 = [0, 0, 1, 0]T , v3 = [2, 2, 1, −2]T , v4 = [1, 1, 2, −1]T , (b) V = R3 , W = lin(v1 , v2 , v3 ), v1 = [1, 2, 1]T , v2 = [−1, 2, 0]T , v3 = [1, 0, −1]T . 9. Czy nast¦puj¡ce przeksztaªcenie jest liniowe? Je±li tak, wyznacz macierz tego przeksztaªcenia w bazie kanonicznej: (a) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = [x21 + x2 , x2 + x3 , 2x1 − x2 + x3 ]T , (b) f : R4 → R2 , f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = [2x1 − x2 + x3 , x2 + 5x4 ]T . 10. Niech [1, 0, 0, 0]T , [1, 1, 0, 0]T , [1, 1, 1, 0]T , [1, 1, 1, 1]T b¦dzie baz¡ przestrzeni R4 a [1, 0]T , [1, 1]T baz¡ R2 . Wyznacz macierz przeksztaªcenia liniowego f : R4 → R2 w tych bazach, je±li: (a) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = [2x1 − x2 + x3 , x2 + 5x4 ]T , (b) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = [−x3 + x4 , x1 − x2 + x4 ]T . 11. Wyznacz dimKerf oraz dimImf dla przeksztaªcenia liniowego: x1 − x2 + x3 − x5 . x2 − x4 + x5 f : R5 → R3 , f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x1 + x2 + x3 − 2x4 + x5 12. Wyznacz Kerf je±li: x1 − x2 + x4 f : R → R , f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + 2x3 − x4 . x1 − x2 + x3 4 3 Ostatnia modykacja: 11.12.2014