Wykresy w ramach płaskich

Wykresy sił wewnętrznych w ramach statycznie wyznaczalnych
Przykład 1. Narysuj wykresy sił wewnętrznych N, T, M dla poniższego układu. Policz ewentualne ekstrema.
4
P=6kN
1
q =4kN/m
4
M =16kNm
1
1,5
3
4
P=9kN
Oznaczenie podpór i reakcji:
P=6kN
1
D
4
VD
q =4kN/m
A
M =16kNm
C
4
VA
MB
1
4
3
B
HB
1,5
VB
Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:
16 + 4 ⋅ 5 ⋅ 2,5
= 16,5kN
4
9 ⋅ 4,5 + 6 ⋅ 4
= 21,5kN
∑ M CG = VD ⋅ 3 − 9 ⋅ 4,5 − 6 ⋅ 4 = 0 → VD =
3
∑ RX = −H B + 6 = 0 → H B = 6kN
∑M
∑R
Y
L
C
= −VA ⋅ 4 + 16 + 4 ⋅ 5 ⋅ 2,5 = 0 → VA =
= 16,5 + 21,5 − 4 ⋅ 9,5 − 9 + VB = 0 → VB = −16,5 − 21,5 + 4 ⋅ 9,5 + 9 = 9kN
∑ M CP = −4 ⋅
4,52
4,52
− 6⋅ 4 + 9⋅3+ M B = 0 → MB = 4⋅
+ 6 ⋅ 4 − 9 ⋅ 3 = 37,5kNm
2
2
Sprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:
∑M
A
= 16 + 21,5 ⋅ 7 − 9 ⋅ 8,5 − 6 ⋅ 4 − 4 ⋅ 9,5 ⋅ (4,75 − 1) − 6 ⋅ 4 + 9 ⋅ 7 + 37,5 = 0
strona 1
dr inż. Hanna Weber
Umieszczenie wartości reakcji na układzie:
P=9kN
P=6kN
1
4
D
VD=21,5kN
q =4kN/m
A
C
4
M =16kNm
VA=16,5kN
MB=37,5kNm
1
3
4
B
H B= 6kN
1,5
VB=9kN
Oznaczenie punktów, w których należy policzyć wykresy - początek i koniec układu, przed podporą i za podporą, przed
węzłem, przed obciążeniem i za obciążeniem.
P=9kN
8
9 10
11
12 13
14
15
P=6kN
1
7
q =4kN/m
1
2 3
46 5
M =16kNm
16
Rysowanie wykresów sił wewnętrznych:
Siła normalna w danym punkcie to suma rzutów wszystkich sił po jednej stronie przekroju na kierunek równoległy do
osi pręta.
Dla lepszej widoczności, niebieskim kolorem zaznaczono układ, czarnym wykresy.
Siła normalna jest dodatnia, jeżeli powoduje rozciąganie elementu, ujemna, gdy ściskanie.
Siła tnąca w danym punkcie to suma rzutów wszystkich sił po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi
pręta.
Siła tnąca jest dodatnia, jeżeli powoduje obrót pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ujemna, gdy wywołuje obrót
pręta przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Tam, gdzie siła tnąca osiąga wartość równą 0, na wykresie momentów pojawia się ekstremum.
strona 2
dr inż. Hanna Weber
6
Wykres sił normalnych:
6
+
12,5
+
12,5
9
6
6
N
[kN]
-
9
Wykres sił tnących:
9
9
+
6
12,5
x1
12,5
x2
9
6
+
-
12,5
+
6
4
+
-
e1
6
3,5
-3
+
e2
T
[kN]
+
6
Wyznaczenie ekstremum:
P=9kN
P=6kN
1
x1
VD=21,5kN
q =4kN/m
x2
C
A
4
M =16kNm
VA=16,5kN
MB=37,5kNm
1
4
D
4
3
B
H B= 6kN
1,5
VB=9kN
strona 3
dr inż. Hanna Weber
Ekstremum 1:
Dla ułatwienia obliczeń ekstremum liczone jest z lewej strony przekroju α-α:
- równanie na siłę tnącą w przekroju α-α:
1
T [ x1 ] = 16,5 − 4 x1 = 0 → x1 =
q =4kN/m
16,5
= 4,125m
4
- równanie na moment w przekroju α-α (moment rozciągający spód piszemy ze znakiem "+"):
x1
2
M [ x1 ] = 16,5 ⋅ ( x1 − 1) − 4 x1 ⋅
A
- moment ekstremalny:
VA=16,5kN
M ekstr.[ x1 = 4,125m] = 16,5 ⋅ ( 4,125 − 1) − 4 ⋅ 4,125 ⋅
(x1-1)
1
4,125
= 17,53kNm
2
Ekstremum 2:
Dla ułatwienia obliczeń ekstremum liczone jest z prawej strony przekroju β-β:
x2
- równanie na siłę tnącą w przekroju β-β:
T [ x2 ] = −9 + 4 x2 = 0 → x2 =
9
= 2,25m
4
- równanie na moment w przekroju β-β (moment rozciągający spód piszemy ze znakiem "+"):
M [ x2 ] = 9 ⋅ ( x2 − 1,5) − 4 x2 ⋅
x2
− 6 ⋅ 4 + 37,5
2
- moment ekstremalny:
B
M =37,5kNm
M ekstr.[ x2 = 2,25m] = 9 ⋅ ( 2,25 − 1,5) − 4 ⋅ 2,25 ⋅
H B= 6kN
2,25
− 6 ⋅ 4 + 37,5 = 10,125kNm
2
1,5
VB=9kN
Wykres momentów zginających:
13,5
24
Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:
24
+
4,5kNm
9kNm
+
4,5
2
-
13,5
-
+
+
10,125
16
17,53
13,5kNm
∑ M = −9 − 4,5 + 13,5 = 0
9
-
24kNm
M
[kNm]
37,5
24kNm
∑ M = −24 + 24 = 0
strona 4
dr inż. Hanna Weber
2
Przykład 2. Narysuj wykresy sił wewnętrznych N, T, M dla poniższego układu. Policz ewentualne ekstrema.
P=24kN
1
2
P=18kN
2
M =28kNm
4
q =6kN/m
1,5
1
2
1,5
1,5
Oznaczenie podpór i reakcji:
VB
2
B
P=24kN
1
2
P=18kN
2
M =28kNm
C
4
q =6kN/m
MA
A
HA
1,5
1
2
1,5
1,5
VA
Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:
X
24 ⋅ 2 − 18
= 5kN
6
= − H A − 24 + 6 ⋅ 6 = 0 → H A = 36 − 24 = 12kN
Y
= VA − 18 − 5 = 0 → VA = 18 + 5 = 23kN
∑M
∑R
∑R
∑M
P
C
L
C
= −VB ⋅ 6 + 24 ⋅ 2 − 18 ⋅1 = 0 → VB =
= 6 ⋅ 6 ⋅1 − 12 ⋅ 4 + 28 − M A = 0 → M A = 36 − 12 ⋅ 4 + 28 = 16kNm
Sprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:
∑M
B
= −24 ⋅ 2 + 18 ⋅ 5 + 28 + 6 ⋅ 6 ⋅ (2 + 3) − 12 ⋅ 8 − 23 ⋅ 6 − 16 = 0
strona 5
dr inż. Hanna Weber
Umieszczenie wartości reakcji na układzie:
VB=5kN
2
B
P=24kN
1
2
P=18kN
2
M =28kNm
C
4
q =6kN/m
MA=16kNm
A
H A= 12kN
1,5
1
1,5
2
1,5
VA=23kN
Oznaczenie punktów, w których należy policzyć wykresy:
2
14
13
12
4
2
P=18kN
2
M =28kNm
3
1
2
7
5 8 9
P=24kN
1
10
11
4
q =6kN/m
6
1,5
1
2
1,5
Rysowanie wykresów sił wewnętrznych:
Rozłożenie sił na pręcie ukośnym na składowe w celu policzenia sił tnących i normalnych:
VB
VB sin =5 0,8=4kN
V B cos =5 0,6=3kN
cos α =
3
= 0,6
5
sin α =
4
= 0,8
5
P 1 cos =24 0,6=14,4kN
P=24kN
1
P1 sin =24 0,8=19,2kN
strona 6
dr inż. Hanna Weber
Wykres sił normalnych:
4
4
18,4
23
-
18,4
24
24
-
N
[kN]
23
Wykres sił tnących:
+
3
23
16,2
-
+
+
12
23
5
+
5
12
-
16,2
T
[kN]
2
e1
+
12
Wyznaczenie ekstremum:
Z uwagi na symetryczny kształt wykresu sił tnących na pręcie pionowym, na podstawie rysunku widać, że ekstremum
znajduje się w połowie wysokości dolnej części słupa:
2
VB=5kN
P=24kN
1
2
P=18kN
2
M =28kNm
4
q =6kN/m
2
MA=16kNm
H A= 12kN
1,5
1
2
1,5
1,5
VA=23kN
strona 7
dr inż. Hanna Weber
Ekstremum:
Dla ułatwienia obliczeń moment ekstremalny liczony jest od dołu przekroju α-α:
- moment ekstremalny:
MA=16kNm
M ekstr.[ x = 2m] = 16 + 12 ⋅ 2 − 6 ⋅ 2 ⋅
2
q =6kN/m
2
= 28kNm
2
H A= 12kN
VA=23kN
Wykres momentów zginających:
Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:
7,5 28
12kNm
28
28kNm
-
12
+
16
16kNm
+
33
23
+
33
28
∑ M = 28 − 12 − 16 = 0
M
[kNm]
33kNm
16
33kNm
∑ M = −33 + 33 = 0
strona 8
dr inż. Hanna Weber