T (MR) (Mv) p =

ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
2
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
2. Krótkie powtórzenie z termodynamiki.
2.1. Gaz doskonały
Równanie stanu gazu doskonałego
p v = RT
(2.1)
gdzie:
p - ciśnienie
v – objętość właściwa
T - temperatura
R – stała gazowa
Pomnożenie obu stron równania (2.1) przez masę cząsteczkową
prowadzi do
p(Mv)= (MR)T
(2.2)
gdzie:
(Mv ) - molowa objętość właściwa
(MR) – uniwersalna stała gazowa
Gaz doskonały – co to znaczy ?
- objętość molekuł gazu jest bardzo mała w porównaniu z
całkowitą objętością gazu
- nie ma sił przyciągania między molekułami gazu
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
3
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
2.2. Pierwsza zasada termodynamiki
du = dq − pdv
(2.3)
u – energia wewnętrzna
q – ciepło dostarczone do medium
p - ciśnienie
v – objętość właściwa
Jeżeli energia kinetyczna i potencjalna
objętości gazu nie ulega zmianie to ciepło
dostarczone do układu oraz wykonana na nim
praca zewnętrzna powodują przyrost jego
energii wewnętrznej.
4
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
2.3. Ciepło właściwe
dq = c dT
→
 dq 


 dT 
c = 
ciepło właściwe przy stałej objętości:
 dq 


dT

 v =const
c v = 
(2.4)
pierwsza zasada termodynamiki prowadzi do:
dq = du = c v dT
(2.5)
Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu:
 dq 
cp =  
 dT  p= const
(2.6)
Wykorzystujemy funkcję Gibbsa
i = u + pv
(2.7)
di = du + d(pv) = du + vdp + pdv
ponieważ
p = const więc
dp = 0 , stąd
du = di − pdv
Wstawiając do równania pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy
dq = di − pdv + pdv
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
5
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
c p =  di 
 dT 


(2.8)
Z równania stanu gazu doskonałego:
d(pv ) = RdT
pdv + vdp = RdT
;
dp = 0
pdv = RdT
(2.9)
(2.10)
wstawiając (2.10) do równania pierwszej zasady termodynamiki:
dq = du + RdT = c v dT + RdT
= (c v + R)dT
cp = c v + R
(2.12)
c p / c v = χ = const
cp
(2.11)
dla gazu doskonałego (2.13)
χ
χ−1
(2.14)
cv
1
=
R χ −1
(2.15)
R
=
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
6
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
2.4. Przemiana adiabatyczna - równanie Poissona
Przemiana adiabatyczna – bez wymiany ciepła (układ idealnie
odizolowany)
termodynam iki
dq = 0 Izasada
          → du + pdv = 0
(2.16)
albo
c v dT + pdv = 0
(2.17)
z równania (2.9) różniczka temperatury wynosi:
dT =
pdv + vdp
R
(2.18)
wstawiając równanie (2.18) do (2.17) otrzymujemy:
cv
(pdv + vdp ) + pdv = 0
R
albo
(c v + R )pdv + c v vdp = 0
(2.19)
(2.20)
Wykorzystując związek (2.12) otrzymujemy
c p pdv + c v vdp = 0
(2.21)
lub
cp
cv
pdv + vdp = 0
(2.22)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
7
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
wprowadzając równanie (2.13) i dzieląc równanie (2.22)
przez pv mamy:
dv dp
χ +
=0
v
p
Całkując równanie (2.23) otrzymujemy :
ln v χ + lnp = lnc
(2.23)
(2.24)
lub
pv χ = const
lub
p
= const
ρχ
(2.25)
(2.26)
Jest to równanie Poissona przemiany adiabatycznej.
Związek między ciśnieniem, gęstością i temperaturą w przemianie
adiabatycznej:
χ
p  ρ 
=
(2.27)
p o  ρ o 
T = p ρo =  ρ 
To p o ρ  ρo 
χ −1
χ −1
 p  χ
=  
p
 o
(2.28)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
8
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
2.5. Druga zasada termodynamiki. Entropia.
W przemianie termodynamicznej złożonej z odwracalnych przemian
quasi-statycznych:
∫
dQ
=0
T
(2.29)
W przemianach rzeczywistych wielkość dQ/T jest w ogólności
różna od zera:
2
dQ
= S 2 − S1
T
1
(2.30)
dS = dQ
T
(2.31)
∫
Wielkość:
jest różniczką termodynamicznego parametru stanu S nazywanego
entropią.
Zmiany entropii:
Z pierwszej zasady termodynamiki wynika:
pdv
ds = du +
= c v dT + R dv
v
T
T
T
(2.32 )
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
9
Rozdział 2 – Krótkie powtórzenie z
termodynamiki
po scałkowaniu:
 T  v 
v
T
s 2 − s 1 = c v ln 2 + Rln 2 = c v ln 2   2 
T1
v1
 T1   v 1 
χ −1
(2.33)
eliminując kolejno T lub v z równania (2.33) otrzymujemy:
s −s
2 1
 p  v 
v
 2  2 
= c v ln   + Rln 2
v
 p  v 
1
 1  1 
 p  v 
= c v ln 2   2 
 p  v 
 1  1 
χ
(2.34)
lub
T 
p
T
2
2
− Rln
= c v ln 2 
s − s = cp ln
T 
2 1
p
T
 1
1
1
χ
p 
 2
p 
 1
−χ +1
(2.35)
Przy założeniu, że proces przebiega izentropowo (s2=s1) z równania
(2.34) wynika że
χ
χ
p2  v2 
p ρ 
p
p
  = 2  1  = 1 ⇒ χ1 = χ2
p1  v1 
p1  ρ 2 
ρ1 ρ 2
przemiana adiabatyczna jest także izentropowa.
(2.36)