Wstęp do grafiki inżynierskiej

Akademia Górniczo-Hutnicza
Wstęp do grafiki inżynierskiej
Rzuty prostokątne
Prokop ŚRODA
Marcin KOT
Wydawnictwo Naukowe
AKAPIT
Recenzenci:
prof. dr hab. inż. Wiesław Rakowski
dr hab. inż. Jerzy Zych
Rozdziały 1-6, 9 i 11 – opracowanie: dr inż. Prokop Środa, dr inż. Marcin Kot
Rozdziały 7, 8 i 10 – opracowanie: dr inż. Prokop Środa
© Copyright by Wydawnictwo Naukowe AKAPIT, Kraków 2009
Printed in Poland
Książkę można zamówić drogą elektroniczną: [email protected]
Wydanie publikacji dofinansowane przez Wydział Odlewnictwa Akademii Górniczo-Hutniczej
ISBN 978-83-60958-48-3
Nakład: 200 egz.
Wydawnictwo Naukowe „Akapit”, Kraków
tel./fax (012) 280-71-51; www.akapit.krakow.pl
e-mail: [email protected]
SPIS TREŚCI
Wykaz oznaczeń ........................................................................................................... 9
Słowo wstępne ............................................................................................................ 13
Rozdział 1.
Przestrzenie: Euklidesa E3, rzutowa E 3∞ i kreatywna K ............................................ 15
1.1. Geometria w przestrzeni Euklidesa E3 ................................................ 15
1.2. Kartezjańskie układy odniesienia ........................................................ 22
1.3. Przestrzeń rzutowa E 3∞ ....................................................................... 24
1.4. Geometryczne transformacje utworów w przestrzeni E3 .................... 25
1.5. Współrzędne jednorodne ..................................................................... 27
1.6. Macierzowy zapis transformacji izometrycznych ............................... 27
1.7. Macierzowy zapis transformacji afinicznych ...................................... 31
1.8. Przestrzeń kreatywna K ....................................................................... 32
Rozdział 2.
Rzuty Monge’a ........................................................................................................... 35
2.1. Rodzaje rzutów .................................................................................... 35
2.1.1. Rzut środkowy ........................................................................ 35
2.1.2. Rzut równoległy ..................................................................... 36
2.1.3. Rzut prostokątny ..................................................................... 40
2.2. Rzuty Monge’a podstawowych elementów geometrycznych
(punktu, prostej, płaszczyzny) ............................................................. 40
2.2.1. Układ rzutni i rzuty punktu ..................................................... 41
2.2.2. Rzuty prostej ........................................................................... 42
2.2.3. Ślady prostej ........................................................................... 43
2.2.4. Proste szczególne .................................................................... 44
2.2.5. Odwzorowanie płaszczyzny ................................................... 47
2.2.6. Ślady płaszczyzny................................................................... 48
2.2.7. Płaszczyzny szczególne .......................................................... 49
2.3. Elementy przynależne do siebie .......................................................... 52
2.3.1. Punkt i prosta przynależne do siebie ...................................... 52
2.3.2. Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie ............................ 53
2.3.3. Punkt i płaszczyzna przynależne do siebie ............................. 58
2.4. Elementy wspólne ............................................................................... 59
2.4.1. Punkt wspólny dwóch prostych .............................................. 59
2.4.2. Prosta wspólna dwóch płaszczyzn .......................................... 60
2.4.3. Punkt wspólny prostej i płaszczyzny ...................................... 64
2.4.4. Punkt wspólny trzech płaszczyzn.............................................. 66
6
Wstęp do grafiki inżynierskiej. Rzuty prostokątne
2.5.
Elementy równoległe ........................................................................... 67
2.5.1. Proste równoległe ................................................................... 68
2.5.2. Płaszczyzny równoległe ......................................................... 69
2.5.3. Równoległość prostej i płaszczyzny ....................................... 71
2.6. Elementy prostopadłe .......................................................................... 73
2.6.1 Prostopadłość prostych ........................................................... 73
2.6.2 Prostopadłość prostej i płaszczyzny ....................................... 74
2.6.3 Prostopadłość płaszczyzn ....................................................... 76
2.7. Zagadnienia miarowe .......................................................................... 77
2.8. Obroty i kłady ...................................................................................... 81
2.8.1. Obrót dookoła prostej ............................................................. 81
2.8.2. Kład punktu ............................................................................ 83
2.8.3. Kład odcinka ........................................................................... 84
2.8.4. Kład płaszczyzny .................................................................... 85
2.8.5. Kład płaszczyzny rzutującej ................................................... 86
2.8.6. Kład płaszczyzny w położeniu ogólnym ................................ 87
2.9. Transformacje układu odniesienia ....................................................... 90
2.10. Rzut boczny i rzuty uzupełniające ....................................................... 96
Rozdział 3
Rzuty wielościanów .................................................................................................. 103
3.1. Definicja i klasyfikacja wielościanów ............................................... 103
3.2. Przekroje i rozwinięcia wielościanów ............................................... 108
3.3. Punkty przebicia wielościanu prostą ................................................. 111
3.4. Przenikanie wielościanów ................................................................. 113
Rozdział 4
Powierzchnie obrotowe i bryły obrotowe ................................................................. 117
4.1. Sfera (powierzchnia kuli) .................................................................. 118
4.2. Powierzchnia pierścieniowa (torus) .................................................. 119
4.3. Powierzchnia walcowa ...................................................................... 120
4.4. Powierzchnia stożkowa ..................................................................... 124
4.5. Przekroje powierzchni stożkowej obrotowej..................................... 125
4.6. Hiperboloida jednopowłokowa obrotowa ......................................... 127
Rozdział 5
Krzywe i powierzchnie śrubowe .............................................................................. 129
5.1. Linia śrubowa walcowa ..................................................................... 129
5.2. Linia śrubowa stożkowa .................................................................... 130
5.3. Powierzchnie śrubowe ....................................................................... 131
Rozdział 6
Przenikanie powierzchni ........................................................................................... 135
Rozdział 7
Krzywe i powierzchnie Béziera ................................................................................ 141
7.1. Krzywe Béziera ................................................................................. 141
7.1.1. Sposoby modyfikacji krzywych Béziera .............................. 144
Spis treści
7.2.
7
Powierzchnie Béziera ........................................................................ 150
7.2.1. Modyfikacja powierzchni Béziera ........................................ 151
Rozdział 8
Powierzchnie Coonsa i Catalana .............................................................................. 155
8.1. Powierzchnie Coonsa ........................................................................ 155
8.2. Powierzchnie Catalana ...................................................................... 156
Rozdział 9
Rzut aksonometryczny.............................................................................................. 159
9.1. Pojęcia podstawowe .......................................................................... 160
9.2. Współczynniki deformacji liniowych................................................ 161
9.3. Układ osi aksonometrycznych ........................................................... 162
9.4. Podstawowe równanie aksonometrii ................................................. 162
9.5. Współrzędne aksonometryczne ......................................................... 164
9.6. Rodzaje aksonometrii ........................................................................ 168
9.7. Aksonometrie ukośne ........................................................................ 168
9.7.1. Aksonometria kawalerska..................................................... 168
9.7.2. Aksonometria wojskowa ...................................................... 170
9.8. Aksonometria prostokątna ................................................................. 175
9.8.1. Skrócenia aksonometrii prostokątnej.................................... 175
9.8.2. Podstawowe równanie aksonometrii prostokątnej ............... 176
9.8.3. Izometria prostokątna ........................................................... 176
9.8.4. Współczynnik skali............................................................... 177
9.8.5. Dimetria prostokątna ............................................................ 178
9.8.6. Anizometria prostokątna....................................................... 180
9.8.7. Aksonometria prostokątna okręgu ........................................ 184
Rozdział 10
Rzutowanie w grafice komputerowej ....................................................................... 189
10.1. Określenie obiektu geometrycznego ................................................. 189
10.2. Konstruktywna geometria brył ......................................................... 191
10.3. Rodzaje rzutów i parametry rzutowania ............................................ 193
10.4. Obcinanie przez bryłę widzenia ........................................................ 194
10.5. Rzutowanie prostokątne (ortogonalne) w układzie rzutni Monge’a.... 197
10.6. Rzutowanie prostokątne na rzutnię dowolną (rzut
aksonometryczny prostokątny) .................................................... 200
Rozdział 11
Rysunki dodatkowe .................................................................................................. 209
Uwaga końcowa........................................................................................................ 214
Bibliografia ............................................................................................................... 216
SŁOWO WSTĘPNE
Od zarania dziejów ludzkość dążyła i dąży obecnie do utrwalenia
w czasie i przekazania następnym pokoleniom informacji o zaistniałych zdarzeniach,
ideach i odkryciach naukowych. Rysunki naskalne w jaskini Lascaux (Francja) 17000
p.n.e., piramidy egipskie 2500 p.n.e., odkopany w roku 1974 grobowiec chińskiego
cesarza Qin Shi Huangdi z 7000 terakotowymi żołnierzami (rys. 11.1), a w obecnych
czasach wysłanie w przestrzeń międzygwiezdną statku kosmicznego. który ma na
swoim pokładzie pozłacaną aluminiową płytkę z wytrawionym rysunkiem przedstawiającym: atom wodoru, planety układu słonecznego, położenie Słońca względem 14
pulsarów oraz postać mężczyzny i kobiety (rys. I), są tylko tego wybranymi przykładami. Potrzeba wzajemnej komunikacji była przyczyną powstania różnych języków
i odpowiadającym im pism jak np.: pismo klinowe w Babilonie (rys. II), pismo obrazkowe w Egipcie czy np. zapis węzełkowy na sznurach w Peru (rys. III). Współczesna cywilizacja stosuje odmienne zapisy (języki) w różnych dziedzinach np.:
w chemii, fizyce, matematyce – zapis symbolowy, w informatyce – zapis zerojedynkowy, w geodezji i kartografii – rzut cechowany, nauki inżynieryjne – rzutowanie
prostokątne, w malarstwie – rzut środkowy czyli tzw. perspektywa. Oprócz tego istnieją język Morse’a, Braila, język znaków drogowych itp.
Rys. I
14
Wstęp do grafiki inżynierskiej. Rzuty prostokątne
Tak szybki rozwój techniki w XIX, XX i obecnym wieku nie miałby miejsca
gdyby nie opracowano zapisu na płaskim arkuszu papieru kształtu i rozmiarów
przedmiotów trójwymiarowych. Pierwsze opracowania z tego zakresu pochodzą od
francuskiego matematyka G. Monge’a (1746-1818).
Nauka ta rozwijała się pod nazwą „geometria wykreślna” co było uzasadnione
tym, iż konstrukcje geometryczne kreślono ręcznie przy pomocy cyrkla i liniału.
Obecnie konstrukcje te wykonuje się najczęściej przy pomocy komputera dlatego
autorzy niniejszego opracowania proponują nową nazwę „grafika inżynierska”.
Rys. II
Rys. III
W pierwszym rozdziale podane zostały pojęcia przestrzeni Euklidesa, rzutowej
i kreatywnej oraz omówiono szczegółowo aksjomaty przestrzeni Euklidesa.
W rozdziale drugim omówiono zasady rzutów Monge’a podstawowych elementów
geometrycznych, ich przynależności do siebie, równoległości i prostopadłości. Następnie przedstawiono zagadnienia miarowe i możliwości ich rozwiązywania metodami: obrotu, kładu i transformacji układu odniesienia. Następne rozdziały 3-6 dotyczą rzutów wielościanów, krzywych przestrzennych, powierzchni oraz przenikania
powierzchni i brył obrotowych. Dodatkowo uzupełniono podręcznik rozdziałami 7 i 8
dotyczącymi powierzchni Catalana, Coonsa oraz krzywych i powierzchni Béziera.
W rozdziale 9 przedstawiono zasady rzutowania aksonometrycznego. W rozdziale 10
omówiono zasady rzutowania w grafice komputerowej.
Podręcznik jest przystosowany do nauczania na studiach technicznych na kierunkach, które mają w programach grafikę inżynierską opartą na rzutowaniu prostokątnym. W szczególności adresowany jest do studentów Wydziału Odlewnictwa
AGH w Krakowie.