Zestaw 3: Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Zestaw 3: Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo
geometryczne
1. Jakie warunki muszą być spełnione aby (A ∪ B) ∩ (A0 ∪ B) ∩ (A ∪ B 0 ) = ∅ ?
2. Pokaż, że rodzina A = {∅, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, Ω} nie jest ciałem podzbiorów zbioru Ω = {1, 2, 3, 4}.
Wyznacz σ(A) – najmniejsze σ-ciało zawierające rodzinę A.
3. Rozważmy dowolną przestrzeń probabilistyczną (Ω, A, P). Niech A, B ∈ A. Pokaż, że:
• P(A0 ) = 1 − P(A).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• P(A ∪ B) ¬ P(A) + P(B).
• P(A ∩ B) ­ P(A) + P(B) − 1.
• Jeżeli A ⊂ B, to P(A) ¬ P(B).
S∞
P∞
• Dla dowolnych zdarzeń A1 , A2 , · · · ∈ A: P( n=1 An ) ¬ n=1 P(An ).
4. Pokaż, że suma przeliczalnej rodziny zdarzeń o prawdopodobieństwie zerowym ma zerowe prawdopodobieństwo, a przekrój przeliczalnej rodziny zdarzeń o prawdopodobieństwie 1 ma prawdopodobieństwo
równe 1.
5. Dane są: P(A0 ) = 13 , P(A ∩ B) = 14 , P(A ∪ B) = 23 . Oblicz P(B), P(A ∪ B 0 ), P(B \ A).
6. Losujemy kartę z talii 52 kart. Niech C1 oznacza wylosowania kiera, a C2 wylosowanie króla. Ile
wynoszą: P(C1 ), P(C2 ), P(C1 ∩ C2 ), P(C1 ∪ C2 )?
7. W grupie 80 osób każdy biega, pływa lub skacze. Biegaczy jest 50, pływaków jest 45, a skoczków jest
40. 27 osób zarówno pływa jak i biega, 14 osób pływa i skacze, a 24 osoby biegają i skaczą. Ile osób trenuje
wszystkie 3 dyscypliny? Wskazówka: wzór włączeń i wyłączeń.
8. Rzucamy trzema kościami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucona została co najmniej
jedna szóstka. Wskazówka: wzór włączeń i wyłączeń.
9. Niech zdarzenie A polega na tym, że mąż ma wzrost większy niż 180 cm, zdarzenie B – mąż jest
wyższy od żony, C – żona ma wzrost większy niż 180 cm. a) Zilustruj te zdarzenia geometrycznie. b)
Opisz słownie na czym polegają zdarzenia: A ∩ B ∩ C, A \ (A ∩ B), A ∩ B 0 ∩ C ? c) Wyjaśnij dlaczego
A ∩ C 0 ⊆ B?
10. Na płaszczyźnie poprowadzono proste równoległe odległe o 2a. Na płaszczyznę tę rzucamy monetę o
promieniu r < a. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że moneta nie przetnie żadnej prostej.
11. Na odcinku [0, 1] umieszczono losowo punkty L i M . Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek
odcinka LM należy do [0, 1/4], a jakie, że z L jest bliżej do M niż do 0?
12. Ala i Ola umówiły się w centrum miasta między godziną 18.00 a 19.00. Każda z nich postanowiła
czekać na drugą nie dłużej niż 20 minut (ale nie dłużej niż do 19.00). Jaka jest szansa, że dojdzie do
spotkania? Przyjmujemy, że obie panie przybywają do celu w ustalonym czasie oraz, że szansa dotarcia
do celu w określonym przedziale czasu zależy jedynie od jego długości.
13. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana cięciwa w kole o promieniu 1 będzie dłuższa
od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło?