docWyk lad 6 Rz ad macierzy. Uk lady równan liniowych
download 
Reklamacja Transkrypt
Wyk lad 6 Rz ad macierzy. Uk lady równan liniowych
Wyklad 6 Rzad , macierzy. Uklady równań liniowych 1 Minor macierzy Niech A bedzie dowolna, m × n-macierza, nad cialem K oraz niech 1 ≤ k ≤ min(m, n). , Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k, która powstala po skreśleniu m − k wierszy oraz n − k kolumn w macierzy A. 1 2 3 4 2 4 Przyklad 6.1. Minorem stopnia 2 macierzy A = a b c d jest wyznacznik , 6 8 5 6 7 8 który powstaje przez skreślenie w wyznaczniku macierzy A drugiego wiersza oraz pierwszej i trzeciej kolumny. W sumie macierz A posiada dokladnie 18 minorów stopnia 2 i tylko 4 minory stopnia 3. 2 2 Rzad , macierzy Rzedem macierzy niezerowej nazywamy najwiekszy stopień jej niezerowego minora. Przyj, , mujemy, że rzad macierzy zerowej jest równy 0. Rz ad macierzy A oznaczamy przez r(A). , , Przyklad 6.2. Korzystajac , z definicji znajdziemy rzad , macierzy 1 −2 3 A = −3 4 1 . −1 0 7 1 −2 3 w +2·w Mamy, że det(A) 2 = 1 −1 0 7 = 0, bo wiersze drugi i trzeci sa, identyczne. Stad , −1 0 7 r(A) < 3. Ale po skreśleniu trzeciego wiersza i trzeciej kolumny macierzy A uzyskamy minor 1 −2 stopnia 2 równy = 1 · 4 − (−3) · (−2) = −2 6= 0, wiec , ostatecznie r(A) = 2.2 −3 4 Wprost z definicji rzedu macierzy uzyskujemy nastepuj ace stwierdzenia. , , , Stwierdzenie 6.1. Rzad , m × n-macierzy A spelnia nierówności: 0 ≤ r(A) ≤ min(m, n). Stwierdzenie 6.2. Rzad , macierzy kwadratowej A takiej, że det(A) 6= 0 jest równy jej stopniowi. Stwierdzenie 6.3. Rzad , niezerowej 1 × n (m × 1) macierzy jest równy 1. 1 Jednak obliczanie rzedu macierzy wprost z definicji jest na ogól uciażliwe. W praktyce przy , , obliczaniu rzedu macierzy korzystamy z nastepuj acych wlasności. , , , Twierdzenie 6.4. Rzad macierzy wyjściowej: , macierzy transponowanej jest równy rzedowi , T r(A ) = r(A). Twierdzenie 6.5. Przeksztalcenia elementarne nie zmieniaja, rzedu macierzy. , Twierdzenie 6.6. Jeżeli w i-tym wierszu (kolumnie) macierzy A pewien wyraz aij jest niezerowy, zaś pozostale wyrazy tego wiersza (kolumny) sa, równe 0 oraz macierz Aij powstaje przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w macierzy A, to zachodzi wzór: r(A) = 1 + r(Aij ). (1) Twierdzenie 6.7. Wykreślenie zerowych wierszy (kolumn) niezerowej macierzy nie zmienia jej rzedu. , Twierdzenie 6.8. Jeżeli i < j zachodzi wzór: a11 0 0 r .. . 0 aii 6= 0 dla i = 1, 2, . . . , k, to dla dowolnych skalarów aij , gdzie a12 a13 a22 a23 0 a33 .. .. . . 0 0 . . . a1 k . . . a2 k . . . a3 k .. .. . . . . . ak k a1 k+1 . . . a2 k+1 . . . a3 k+1 . . . .. .. . . ak k+1 . . . a1 n a2 n a3 n .. . = k. (2) ak n Przyklad 6.9. Obliczymy rzad , macierzy 8 2 2 −1 1 A = 1 7 4 −2 5 . −2 4 2 −1 3 Po zastosowaniu operacji w1 − w3 oraz w2 − 2 · w3 uzyskamy macierz 10 −2 0 0 −2 B = 5 −1 0 0 −1 −2 4 2 −1 3 o tym samym"rzedzie co macierz#! A. Zatem z twierdzenia 6.6 mamy, , " #! że r(B) = 1 + r(B34 ). Ale 10 −2 0 −2 0 0 0 0 w1 −2·w2 r(B34 ) = r = r = r([ 5 −1 0 −1 ]) = 5 −1 0 −1 5 −1 0 −1 1, wiec , r(A) = 2.2 2 3 Uklady równań liniowych Ukladem m równań liniowych o niewiadomych x1 , x2 , . . ., xn o wspólczynnikach z ciala K nazywamy uklad równań postaci: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b2 21 1 22 2 2n n , (3) ...... . ...... . ... . ...... . .. am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm gdzie wspólczynniki aij (dla i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) oraz elementy bi (dla i = 1, . . . , m) należa, do ciala K. Uklad ten nazywamy jednorodnym, gdy b1 = b2 = . . . = bm = 0. Macierza, wspólczynników ukladu (3) nazywamy macierz: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . (4) .. .. .. , . . . . . am1 am2 . . . amn zaś macierza, uzupelniona, ukladu (3) nazywamy macierz: a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 Au = .. .. .. .. .. . . . . . . (5) am1 am2 . . . amn bm Rozwiazaniem ukladu (3) nazywamy taka, n × 1-macierz C = , c1 c2 .. . o wyrazach z ciala K, cn że po zastapieniu w równaniach tego ukladu niewiadomych xi elementami ci dla i = 1, 2, . . . , n , otrzymujemy równości prawdziwe w ciele K, tj. gdy A·C = B, gdzie B jest kolumna, wyrazów wolnych tzn. b1 b2 (6) B= . . .. bm Wynika stad, że przy tych oznaczeniach uklad (3) można zapisać w postaci macierzowej , A · X = B. Jeżeli uklad (3) nie posiada rozwiazania, to mówimy, że jest on sprzeczny. , 3 (7) Twierdzenie 6.10 (Kroneckera-Capellego). Uklad (3) ma rozwiazanie wtedy, i tylko , wtedy, gdy r(A) = r(Au ), tj. gdy rzad , macierzy wspólczynników ukladu jest równy rzedowi , macierzy uzupelnionej. Ponadto uklad (3) posiada dokladnie jedno rozwiazanie wtedy, i tylko , wtedy, gdy r(A) = r(Au ) = n. Uwaga. Niech K bedzie cialem nieskończonym. Można pokazać, że jeżeli w ukladzie (3) jest , r(A) = r(Au ) = r < n, to ma on nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od n − r parametrów. , Przyklad 6.11. Rozważmy nad x1 − x1 − x − 1 cialem liczb rzeczywistych uklad równań: 2x2 + x3 + x4 = 1 2x2 + x3 − x4 = −1 . 2x2 + x3 + 5x4 = 5 Mamy tutaj: 1 −2 1 1 1 1 −2 1 1 A = 1 −2 1 −1 oraz Au = 1 −2 1 −1 −1 . 5 1 −2 1 5 1 −2 1 5 " # " # 1 −2 1 1 w3 −w1 0 0 −2 −2 w2 −w1 Stad = r 0 = 1+r = 1+1 = 2 0 0 −2 = 1 + r , r(A) 0 0 4 4 0 0 0 4 1 1 −2 1 0 k −k oraz r(Au ) 4= 5 r 1 −2 1 0 −1 = r(A) (po skreśleniu czwartej kolumny). Zatem z 5 1 −2 1 0 twierdzenia Kroneckera-Capellego nasz uklad posiada rozwiazanie, zaś na mocy Uwagi uklad , ten posiada nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od dwóch parametrów. 2 , Problem rozwiazania ukladu równań liniowych polega na znalezieniu wszystkich rozwiazań , , tego ukladu. Bardzo użyteczne przy rozwiazywaniu tego problemu s a operacje elementarne. , , 4 Operacje elementarne na ukladzie równań liniowych (i). Zamiana miejscami równania i-tego z równaniem j-tym (i 6= j) oznaczana przez ri ↔ rj . (ii). Pomnożenie i-tego równania przez niezerowy skalar a oznaczana przez a · ri . (iii). Dodanie do i-tego równania równania j-tego (i 6= j) pomnożonego przez dowolny skalar a oznaczana przez ri + a · rj . Przy tej operacji zmieniamy tylko równanie i-te! (iv). Wykreślenie powtarzajacych sie, kopii pewnego równania. , (v). Zamiana kolejności niewiadomych xi oraz xj (i 6= j) w każdym równaniu oznaczana przez xi ↔ xj . W wyniku zastosowania tej operacji równanie a1 x1 + . . . + ai xi + . . . + aj xj + . . . + an xn = b przechodzi na równanie a1 x1 + . . . + aj xj + . . . + ai xi + . . . + an xn = b. 4 (vi). Wykreślenie równań postaci 0 · x1 + 0 · x2 + . . . + 0 · xn = 0. Można udowodnić, że jeżeli uklad (3’) równań liniowych z n-niewiadomymi powstaje z ukladu (3) równań liniowych z n-niewiado-mymi nad tym samym cialem przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to uklady (3) i (3’) maja, takie same zbiory rozwiazań. , Piszemy wtedy (3) ≡ (30 ). 5 Zadania do samodzielnego rozwiazania , Zadanie 6.12. Nad cialemR oblicz rzad , macierzy 377 259 481 407 1241 381 273 −165 a) A = 19 133 247 209 , b) B = 134 −987 562 213 . 25 175 325 275 702 225 −1111 49 Odp. a) r(A) = 2. b) r(B) = 3. Zadanie R oblicz rz ad , macierzy 6.13. Nad cialem 3 −1 3 2 5 2 5 −1 4 3 5 −3 −3 1 2 3 4 2 0 1 a) A = , b) B = 1 −3 −5 0 −7 4 1 6 −1 −1 7 −5 1 4 1 −2 3 0 4 −9 Odp. a) r(A) = 3. b) r(B) = 4. Zadanie 3 0 a) A = 1 2 6.14. Nad cialem R oblicz 4 1 1 4 8 4 10 1 , b) B = 4 7 17 3 4 2 4 3 8 Odp. a) r(A) = 2. b) r(B) = 2. rzad , macierzy 3 −5 2 3 6 −7 4 2 3 −8 2 7 3 1 2 −5 6 −1 4 −6 . . Zadanie parametru a ∈ R oblicz nad cialem R rzad , macierzy 6.15. W zależności od wartości 3 + 2a 1 + 3a a a − 1 a + 1 a2 + 1 a2 3a 3 + 2a a a − 1 a) A = , b) B = 3a − 1 3a2 − 1 a2 + 2a . 3a 3a 3 a − 1 a − 1 a2 − 1 a 3a 3a a a − 1 Odp. a) Dla a = 3, r(A) = 2; dla a = 1, r(A) = 3; zaś dla a 6= 1 i a 6= 3, r(A) = 4. b) Dla a = 1, r(B) = 1, zaś dla pozostalych a, r(B) = 2. Zadanie 6.16. Zastosuj twierdzenie Kroneckera-Capellego do zbadania dla jakich wartości parametru a ∈ R uklad równań 2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 5 4x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7 ax − 4x + 9x + 10x = 12 1 2 3 4 ma rozwiazanie w ciele R. Odp. a 6= 8. , 5
