Zestaw 4 1. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy

Zestaw 4
1. Wyznaczyć
"
# wartości własne i wektory własne macierzy:
0 a
(a)
−a 0


5 6 −3
1 
(b) 
 −1 0

1 2 −1


0
2 1

0 3 
(b)  −2

−1 −3 0
2. Znaleźć zespolone wartości własne macierzy obrotu płaszczyzny o kąt α.
3. Znając wartości własne macierzy A wyznaczyć wartości własne macierzy
A−1 .
4. Znając wartości własne macierzy A wyznaczyć wartości własne macierzy
A2 .
5. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy reprezentującej:
(a) symetrię przestrzeni R3 względem prostej,
(b) symetrię przestrzeni R3 względem płaszczyzny,
(c) rzut przestrzeni R3 na prostą,
(d) rzut przestrzeni R3 na płaszczynę.
6. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia ϕ : R3 → R3 :
ϕ(x, y, z) = (x, y + z, z)
7. Wyznaczyć wartości własne macierzy:





0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0





8. Znaleźć
wartości i wektory własne macierzy:
"
#
1 1
(a)
2 1
1
"
#
1 2
(b)
2 1
nad ciałem Z3 .
9. Wykazać, że 0 jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy gdy
A jest macierzą osobliwą.
10. Dla danej macierzy A znaleźć jej postać Jordana J i taką macierz C, że
C −1 AC =
" J:
#
4
9
(a) A =
−4 −8
"
#
6
9
(b) A =
−4 −6


−1 −2 −1

2
0 
(c) A =  1

1
2 −1


2 −4 0


(d) A =  1 −2 0 
1 −5 1


−3 −4
0
1
0 
(e) A = 
 1

0
0 −1


4
9
0
0
 −4 −8
0
0 


(f) A = 

 0
0
6
9 
0
0 −4 −6


−1
1
0
0
 0 −1
1 −1 

(f) A = 


 0
0 −1
3 
0
0
0
2


1 1 1 −1
 0 1 0
1 


(g) A = 

 0 0 1 −1 
0 0 0
2
11. Dla danej macierzy
"
5
x
(a) f (x) = e , A =
6
"
7
(b) f (x) = ex , A =
5
A i funkcji
f (x) obliczyć f (A):
#
−2
−2
#
−5
−3
2


3 1 −1


x
(c) f (x) = e , A =  0 4 −1 
0 1
2

−10
6
 −6
4
(d) f (x) = ln x, A = 


4 −3
−11
6

7
1 1
 9
2 2

(e) f (x) = ex , A = 
 −6 −1 0
12
2 #2
"
−1 1
(f) f (x) = sin x, A =
−1 1
"
#
−1 1
(g) f (x) = cos x, A =
−1 1
−2
−1
2
−2
−3
−4
3
−5
7
4
−2
8





3




