Zestaw 3: Przestrzenie liniowe

1
Przestrzenie liniowe.
1. W
Rn
okre±lone jest dziaªanie
⊕
nast¦puj¡co:
[x1 , x2 , ..., xn ] ⊕ [y1 , y2 , ..., yn ] = [x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ].
Sprawd¹ czy
wzorem ,dla
Rn jest
r ∈ R:
przestrzeni¡ liniow¡ nad
(a)
r [x1 , x2 , ..., xn ] = [rx1 , x2 , ..., xn ],
(b)
r [x1 , x2 , ..., xn ] = [0, x2 , ..., xn ],
(c)
r [x1 , x2 , ..., xn ] = [0, rx2 , ..., rxn ],
(d)
r [x1 , x2 , ..., xn ] = [rx1 , rx2 , ..., rxn ].
2. Sprawd¹, czy zbiór
R+
(odp.
R[x]n )
R
4. Niech
R.
R
r ∈ R, x ∈ R+ .
oznacza zbiór wszystkich wielomianów o wspóªczynnikach rzeczy-
wistych (odp. wielomianów stopnia
nad
okre±lone jest
x ⊕ y = xy, x, y ∈ R+ ,
r x = xr ,
R[x]
(liczb rzeczywistych dodatnich) jest przestrzeni¡ liniow¡ nad
z dziaªaniami
3. Niech
gdy mno»enie zewn¦trzne
R
≤ n).
Czy
R[x]
(odp.
R[x]n )
jest przestrzeni¡ liniow¡
ze zwykªymi dziaªaniami?
F[a,b]
[a, b] ⊂
F[a,b] jest przestrzeni¡ liniow¡ nad R dziaªaniami okre±lonymi nast¦puj¡co:
oznacza zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych okre±lonych na odcinku
Sprawd¹, czy
(f ⊕ g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ R, f, g ∈ F[a,b] ,
(r f )(x) = rf (x),
V
r, r0 ∈ k
5. Niech
x, r ∈ R, f ∈ F[a,b] .
b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem
k.
Poka», »e dla dowolnych
x, y ∈ V ,
(a)
0x = Θ
(e)
r(−x) = −(rx)
(b)
rΘ = Θ
(f )
r(x − y) = rx − ry
(c)
(−1)x = −x
(g)
(r − r0 )x = rx − r0 x
(d)
(−r)x = −(rx)
Uwaga. Od tej pory, je»eli nie jest powiedziane inaczej,
liniow¡ nad
k
k n , dla ciaªa k , oznacza przestrze«
z naturalnymi dziaªaniami dodawania wektorów i mno»enia wektorów przez
skalar (tzn. jak w Zad.1.(d)). Podobnie
Mn (k), n ∈ N,
k
R[x], R[x]n oznaczaj¡
oznacza przestrze« liniow¡ nad
z dodawaniem macierzy i mno»eniem macierzy przez skalar. Równie»
przestrzenie z Zad. 3.
6. Sprawd¹, czy
jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej
U = {[x1 , x2 , x3 ] ∈
R3
: x1 + 2x2 +
U = {[x1 , x2 , x3 ] ∈
R3
: x1 + 2x2 +
V,
1
2 x3
1
2 x3
V =
(b)
V =
R3
(c)
V = R3
U = {[x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 : x1 ∈ Z}
(d)
V = R[x]3
U = {w ∈ R[x]3 : (x − 1)|w}
(e)
V = R[x]3
U = {w ∈ R[x]3 : w(1) = 0 ∨ w(2) = 0}
gdy
= 1}
= 0}
V = M2 (R) U = {A ∈ M2 (R) : det(A) = 0}
1 2
2
Niech A =
. Sprawd¹, czy U jest podprzestrzeni¡ przestrzeni R je»eli:
3 1
x1
x1
x
0
(a) U = A
: x1 , x2 ∈ R
(b) U =
: A 1 =
(f )
7.
U
R3
(a)
oraz
zachodz¡ równo±ci:
2
8. Niech
A =
1 1
0 0
U = {X ∈ M2×2 (R)
i niech
podprzestrzeni¡ przestrzeni
9. Niech
W
W.
10. Niech
W.
W
Czy
[2, 3], [4, 6]
[7, 8] ∈ R2
(b)
[1, 0], [0, 1]
(b)
U
jest
tak¡, »e
[1, 2, 3] ∈ W .
Wypisz kilka wek-
jest zbiorem sko«czonym?
V,
a
U
podprzestrzeni¡ przestrzeni
V?
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
R2
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów:
[1, 1], [1, 0]
−2x + 3 ∈ R[x]3
13. Przedstaw wektor
Sprawd¹, czy
[2, 3], [1, 0]
12. Poka», »e dowolny wektor
(a)
W
jest podprzestrzeni¡ przestrzeni
11. Sprawd¹ czy wektor
(a)
Czy
R3
b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej
U
AX = XA}.
M2×2 (R).
b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni
torów nale»¡cych do
:
jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów
x + 2, 2x + 1, 3x.
Na ile sposobów mo»na to zrobi¢?
14. Przedstaw wektor
[3, 2] ∈ R2
jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów
[2, 1], [1, 2], [1, 3].
Na ile
sposobów mo»na to zrobi¢?
15. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne
(a)
[2, 3, 1], [−1, 0, −2], [5, 2, 8] ∈ R3
(b)
[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3] ∈ R3
(c)
f, g, h ∈ FR ,
(d)
x2 , x − 1, x − 3 ∈ R[x]4
(e)
2, x − 1, 2x + 4, x2 ∈ R[x]3
(f )
[2, 4, 5, 0], [4, 8, 10, 1] ∈ R4
f (x) = sin2 x, g(x) = cos2 x, h(x) = 3
gdzie
16. Wyka», »e wektory
[a, b], [c, d] ∈ R2
s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
a c 6 0.
b d =
17. Dla jakich
x
nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne
(a)
[x, 1], [4, 2]
(b)
[x, 1], [9, x]
(c)
[x, x2 ], [−3, 9]
(d)
[x, x2 ], [1, x]
18. Wektory
v1 , v2 , v3 , v4
s¡ liniowo niezale»nymi wektorami przestrzeni
V
nad
R.
Zbadaj
liniow¡ niezale»no±¢ wektorów
(a)
v1 , v 2 , v 3
(b)
v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v1
(c)
v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 + v1
(d)
2v1 + v2 − v3 , 2v2 + 2v3 , 2v1 + 3v2 + v3
(e)
v1 + 4v2 + av3 , 2v1 + v2 + v3 , 3v1 + 5v2 + v3
19. Poka», »e je»eli wektor
liniowo zale»ne.
v1
(a ∈ R)
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
v2 , v3 ,
to wektory
v1 , v2 , v3
s¡
3
20. Niech
x1 , x2 , ..., xn
b¦d¡ liniowo zale»nymi wektorami przestrzeni wektorowej
V.
Czy
wówczas
(a) co najmniej jeden z nich jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych?
(b) ka»dy z nich jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych?
21.
V
- przestrze« liniowa,
x∈V.
Kiedy
{x}
jest liniowo zale»ny?
A b¦dzie liniowo niezale»nym podzbiorem przestrzeni liniowej V .
zale»ny zbiór B b¦d¡cy podzbiorem A?
22. Niech
Czy istnieje liniowo
23. Wypisz kilka wektorów nale»¡cych do powªoki liniowej:
(a)
lin({[1, 2]}) ⊂ R2
(b)
lin({[1, 2, 3]}) ⊂ R3
(c)
lin({[1, 2], [1, 0]}) ⊂ R2
(d)
lin({[1, 2, 3], [1, 0, 0]}) ⊂ R3
(e)
lin({x2 , 2x − 1}) ⊂ R[x]
24. Wektory
[x1 , x2 ] ∈ R2 , (odp. [x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 ) traktujemy w naturalny sposób jako punkty
w prostok¡tnym ukªadzie wspoªrz¦dnych. Przedstaw gracznie nast¦puj¡ce powªoki liniowe:
(a)
A = lin({[1, 0]})
(b)
B = lin({[1, 1]})
(c)
C = lin({[1, 0], [1, 1]})
(d)
D = lin({[1, 0], [1, 1], [2, 1]})
(e)
E = lin({[1, 0, 0], [2, 0, 0]})
(f )
F = lin({[1, 0, 0], [0, 2, 0]})
(g)
G = lin({[7, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 4]})
25. Rozwa»my podprzestrze« przestrzeni
R3
generowan¡ przez wektory
[1, 0, 0], [1, 2, 4].
(a) jak wygl¡da jej wykres?
(b) podaj dwa przykªady punktów z przestrzeni
R3
odpowiadaj¡cych wektorom liniowo
[1, 0, 0], [1, 2, 4] oraz dwa przykªady punktów odpowiadaj¡cych wekniezale»nym z wektorami [1, 0, 0], [1, 2, 4] (wykorzystaj do tego wykres).
zale»nym z wektorami
torom liniowo
26. Korzystaj¡c z powy»szych zada« sprawd¹, jakie obiekty geometryczne odpowiadaj¡ powªokom liniowym w
R2
(odp. w
R3 ).
U b¦dzie podprzestrzeni¡ pewnej przestrzeni wektorowej V . Wyka», »e je»eli wektory
v1 , v2 , ..., vn nale»¡ do podprzestrzeni U , to lin({v1 , v2 , ..., vn }) ⊂ U .
27. Niech
28. Czy przestrzenie
U
i
V
s¡ równe je»eli
(a)
U = lin({[2, 2, 1], [4, 4, 2]}),
V = lin({[2, 2, 1]})
(b)
U = lin({[2, 0, 1], [0, 3, 0], [4, 0, 2]}),
V = R3
(c)
U = lin({[2, 0, 1], [0, 3, 0], [4, 0, 0]}),
V = R3
(d)
U = lin({2, x + 3}),
V = R[x]1
lin({x2
V = lin({x2 + 1, x})
(e)
U=
(f )
U = lin({3x − 1, 3x + 1}),
V = lin({x, 2 + x})
(g)
U = lin({x2 + 1, 2x + 2}),
V = {ax2 + bx + c : c = a + b}
(h)
U = lin({[2, 3, 0], [4, 0, 0]}) ∩ {[a, b, c] : a = 2b ∧ c = 0},
3
(i) {ax
+
bx2
+ 1, x, 3x + 1}),
+ cx + d : 2a + b = c} ∩
2
{ax2
+ bx + c : a = c},
V = lin({[2, 0, 0], [0, 1, 0]})
V = lin({3x2 + 3x + 3})
4
30.
V
jest przestrzeni¡ wektorow¡,
x1 , x2 ∈ V , x1 6= Θ, x2 6= Θ. Podaj (a nast¦pnie uzasadnij)
lin({x1 }) = lin({x2 }).
warunek konieczny i dostateczny na to, aby
31. Podaj przykªad niezerowej przestrzeni
W
takiej, »e dla ka»dego
x, y ∈ W \{Θ}
mamy
równo±¢
lin({x}) = lin({y}).
32. Niech
x, y, z ∈ V ,
gdzie
V
jest przestrzeni¡ wektorow¡. Czy prawd¡ jest, »e
lin({x, y, z}) = lin({x, y}) ∪ lin({z}) ?
33. Niech
V
b¦dzie przestrzeni¡ liniowa nad
R
oraz
x1 , x2 , x3 , y ∈ V .
(a) je»eli
lin({x1 , x2 , x3 , y}) = lin({x1 , x2 , x3 }),
(b) je»eli
y ∈ lin({x1 , x2 , x3 }),
to
(c) je»eli
x1 + x2 + x3 = Θ,
lin({x1 , x2 }) = lin({x2 , x3 })
34. Niech
x1 , x2 , x3 , x4 ∈ V
to
to
Uzasadnij, »e
y ∈ lin({x1 , x2 , x3 })
lin({x1 , x2 , x3 , y}) = lin({x1 , x2 , x3 })
speªniaj¡ warunek
x1 + x2 + x3 + x4 = Θ.
Sprawd¹ czy
lin({x1 , x2 }) = lin({x3 , x4 }).
35. Niech
x1 , x2 , ..., xn , y
b¦d¡ wektorami przestrzeni V. Czy wówczas
(a) je»eli
y ∈ lin({x1 , x2 , ..., xn }),
to wektory
x1 , x2 , ..., xn , y
s¡ liniowo zale»ne?
(b) je»eli
y∈
/ lin({x1 , x2 , ..., xn }),
to wektory
x1 , x2 , ..., xn , y
s¡ liniowo niezale»ne?
(c) je»eli
y, x1 , x2 , ..., xn
(d) je»eli
x1 , x2 , ..., xn
y ∈ lin({x1 , x2 , ..., xn })?
s¡ liniowo zale»ne, to
s¡ liniowo niezale»ne i
y∈
/ lin({x1 , x2 , ..., xn }),
to
y, x1 , x2 , ..., xn
s¡
liniowo niezale»ne?
x1 , x2 , ..., xn s¡ liniowo niezale»ne i lin({x1 , x2 , ..., xn }) 6= V , to istnieje taki y ∈ V ,
y, x1 , x2 , ..., xn s¡ liniowo niezale»ne?
(e) je»eli
»e
36. Podaj przykªad przestrzeni liniowej, która ma dokªadnie dwie podprzestrzenie.
37. Niech
V
b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ nad
R
i niech
x1 , x2 , ..., xn ∈ V , (n > 2).
z tego, »e wektory
y1 = x 1 ,
y2 = 2x2 + x1 ,
y3 = 3x3 + x2 + x1 , ... , yn = nxn + xn−1 + ... + x1
s¡ liniowo niezale»ne wynika, »e wektory
38. Dane s¡ wektory
x1 , x2 , ..., xn
x1 , x2 , ..., xn
przestrzeni wektorowej
s¡ liniowo niezale»ne?
V
takie, »e
lin({x1 , x2 , ..., xn }) = lin({x1 , x2 , ..., xn−1 }).
Czy wówczas
(a)
{x1 , x2 , ..., xn }
(b)
{x1 , x2 , ..., xn−1 }
39. Niech
A ⊂ B,
jest liniowo zale»ny?
gdzie
jest liniowo niezale»ny?
B⊂V
i
V
jest przestrzeni¡ liniow¡ nad
K.
Czy wówczas:
(a) je»eli zbiór
B
jest liniowo zale»ny, to zbiór
A
jest liniowo zale»ny?
(b) je»eli zbiór
A
jest liniowo zale»ny, to zbiór
B
jest liniowo zale»ny?
Czy