x1,x2,... ,xn

Przestrzenie Wektorowe
1. W Rn okre±lone jest dodawanie ⊕ nast¦puj¡co:
[x1 , x2 , . . . , xn ] ⊕ [y1 , y2 , . . . , yn ] = [x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ].
Sprawd¹, czy Rn jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad R, gdy mno»enie zewn¦trzne ¯ okre±lone jest
wzorem :
(a) r ¯ [x1 , x2 , . . . , xn ] = [rx1 , x2 , . . . , xn ]; (b) r ¯ [x1 , x2 , . . . , xn ] = [rx1 , rx2 , . . . , rxn ].
2. Niech F[a, b] oznacza zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedziale [a, b].
Sprawd¹, czy F[a, b] jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad R z naturalnie okre±lonymi dziaªaniami dodawania funkcji i mno»enia funkcji przez liczb¦ rzeczywist¡.
3. Dodawanie ⊕ w zbiorze R+ i mno»enie ¯ liczb ze zbioru R+ przez liczby rzeczywiste
okre±lone s¡ wzorami a ⊕ b = ab, r ¯ a = ar . Sprawdzi¢, czy R+ jest przestrzeni¡ liniow¡ nad R z
wy»ej okre±lonymi dziaªaniami.
4. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad K, a, b ∈ K, x, y ∈ V. Pokaza¢, »e z równo±ci
ax + by = bx + ay wynika, »e a = b lub x = y .
5. Sprawd¹, czy U jest podprzestrzeni¡ przestrzeni wektorowej V, gdy
(a) V = R3 ,
(b) V = R3 ,
(c) V = R3 ,
(d) V = R[x]3 ,
(e) V = R[x]3 ,
¡
¢
(f) V = M 2, R ,
U = {[x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 : x1 + 2x2 + x3 = 1};
U = {[x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 : x1 + 2x2 + x3 = 0};
U = {[x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 : x1 ∈ Z};
U = {w(x) ∈ R[x]3 : (x − 1)|w(x)};
U = {w(x) ∈ R[x]3 : w(1) = 0 ∨ w(2) = 0};
©
¡
¢
ª
U = A ∈ M 2, R : det A = 0 .
6. Sprawd¹, czy wektor [7, 8] ∈ R2 jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
(a) [1, 0], [0, 1];
(b) [1, 1], [1, 0].
7. Poka», »e dowolny wektor z R2 jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów [1, 1], [3, 0].
8. Przedstaw wektor [3, 2] ∈ R2 jako kombinacj¦ wektorów [2, 1], [1, 2], [1, 3] o wszystkich
wspóªczynnikach ró»nych od zera. Na
¡ ile sposobów mo»na
¢ to zrobi¢?
9. Sprawdzi¢, czy [1, 1, 1] ∈ Lin {[1, 3, 5], [−1, 2, 0]} .
¡
¢
10. Sprawdzi¢, czy dowolny wektor [a, b, c] ∈ R3 nale»y do Lin {[1, 3, 5], [2, 7, 9], [1, 1, 9]} .
11. Czy przestrzenie U i V s¡ równe, je»eli:
¡
¢
¡
¢
(a) U = Lin {[2, 2, 1], [4, 4, 2]} ,
V = Lin {[2, 2, 1]} ?
¡
¢
(b) U = Lin {[2, 0, 1], [0, 3, 0], [4, 0, 2]} ,
V = R3 ?
¡
¢
(c) U = Lin {[2, 0, 1], [0, 3, 0], [4, 0, 0]} ,
V = R3 ?
¡
¢
(d) U = Lin {2, x + 3} ,
V = R[x]1 ?
¡ 2
¢
¡
¢
(e) U = Lin {x + 1, x, 3x + 1} ,
V = Lin {x2 + 1, x} ?
¡
¢
¡
¢
(f) U = Lin {3x − 1, 3x + 1} ,
V = Lin {x, 2 + x} ?
¡
¢
(g) U = Lin {x2 + 1, 2x + 2} ,
V = {ax2 + bx + c : c = a + b}?
12. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne:
(a) [1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 4] ∈ R3 ;
(b) [1, 3, 5], [2, 9, 13], [4, 9, 17] ∈ R3 ;
(c) f , g , h ∈ FR , gdzie f (x) = sin2 x, g(x) = cos2 x, h(x) = 3;
(d) f , g ∈ FR , gdzie f (x) = sin x, g(x) = cos x;
(e) f , g , h ∈ FR , gdzie f (x) = 2x , g(x) = 4x , h(x) = 8x ;
(f) x2 , x − 1, x − 3 ∈ R[x]4 ;
(g) 2, x − 1, 2x + 4, x2 ∈ R[x]3 .
13. Wyka»,
»e¯ wektory [a, b], [c, d] ∈ R2 s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
¯
¯ a c ¯
¯ jest ró»ny od zera.
wyznacznik ¯¯
b d ¯
14. Wektory v1 , v2 , v3 , v4 s¡ liniowo niezale»nymi wektorami przestrzeni V nad R. Zbadaj
liniow¡ niezale»no±¢ wektorów:
(a) v1 , v2 , v3 ;
(b) v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v1 ;
(c) v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 + v1 ;
(d) 2v1 + v2 − v3 , 2v2 + 2v3 , 2v1 + 3v2 + v3 .
15. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ nad K i niech x1 , x2 , . . . , xn , y ∈ V. Czy prawd¡
jest, »e:
¡
¢
(a) je»eli y ∈ Lin {x1 , x2 , . . . , xn } , to wektory x1 , x2 , . . . , xn , y s¡ liniowo zale»ne?
¡
¢
(b) je»eli y ∈
/ Lin {x1 , x2 , . . . , xn } , to wektory x1 , x2 , . . . , xn , y s¡ liniowo niezale»ne?
¡
¢
(c) je»eli y , x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo zale»ne, to y ∈ Lin {x1 , x2 , . . . , xn } ?
¡
¢
(d) je»eli x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo niezale»ne i y ∈
/ Lin {x1 , x2 , . . . , xn } , to x1 , x2 , . . . , xn , y s¡
liniowo niezale»ne?
¡
¢
(e) je»eli x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo niezale»ne oraz Lin {x1 , x2 , . . . , xn } 6= V, to istnieje taki
y ∈ V, »e y , x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo niezale»ne?
16. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad K oraz dim V = n. Pokaza¢, »e
(a) je»eli wektory x1 , x2 , . . . xn ∈ V s¡ liniowo niezale»ne, to tworz¡ one baz¦ przestrzeni V;
¡
¢
(b) je»eli wektory x1 , x2 , . . . xn ∈ V s¡ takie, »e V = Lin {x1 , x2 , . . . , xn } , to s¡ one baz¡
przestrzeni V
17. Sprawd¹, czy {x, x − 2} jest baz¡ przestrzeni R[x]1 .
18. Sprawd¹, czy podane wektory stanowi¡ baz¦ w R3 .
(a) [1, 0, −1], [1, 1, 3], [4, 1, 1];
(b) [1, 3, 4], [2, 7, 9];
(c) [3, 3, 5], [1, 8, 4], [2, 7, 5];
(d) [1, 5, 0], [1, 2, 3].
19. Sprawd¹, czy zbiory
A = {[1, 2, . . . , n], [0, 2, . . . , n], [0, 0, . . . , 0, n]} ,
B = {[1, 1, . . . , 1], [0, 1, 0, . . . , 0], [0, 1, 1, 0, . . . , 0], [0, 1, 1, 1, 0, . . . , 0], . . . , [0, 1, 1, . . . , 1]}
s¡ bazami przestrzeni Rn .
20. Dane s¡ wektory x1 = [1, 1, 1], x2 = [0, 2, 5] przestrzeni R3 . Znajd¹ taki wektor x3 ∈ R3 ,
aby zbiór {x1 , x2 , x3 } byª baz¡ przestrzeni R3 . Czy mo»na to zrobi¢ tylkona jeden sposób?
21. Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora [11, 8] ∈ R2 w podanej bazie.
(a) {[4, 5], [1, 3]};
(b) {[7, 5], [4, 3]};
22. Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora 3 + x + 8x2 w danej bazie przestrzeni R[x]3 .
(a) {1, x, x2 };
(b) {1, x + 1, x2 + x + 1};
23. Wyznacz baz¦ przestrzeni
©
ª
(a) U = [x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 : x1 + x2 − 2x3 = 0 ,
©
ª
(b) W = [x1 , x2 , x3 , x4 ] ∈ R4 : x1 + x2 = 0 ,
(c) S = {f ∈ R[x]3 : f (2) = 0} .
24. Wska» podprzestrzenie przestrzeni R4 wymiaru, odpowiednio, 1,2,3,4.
25. Sprawd¹, czy je»eli wektor x ∈ V w bazie {x1 , x2 , . . . , xn } ma wspóªrz¦dne a1 , a2 , . . . , an ,
przy czym ai 6= 0, to (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . , xn ) jest baz¡ przestrzeni V .
26. Podaj baz¦ przestrzeni C3 nad C. Zbiór C ma struktur¦ przestrzeni wektorowej nad R.
Podaj baz¦ tej przestrzeni.
27. Dla danych podprzestrzeni W1 , W2 przestrzeni R3 , znajd¹ baz¦ podprzestrzeni W1 ∩ W2 .
¡
¢
¡
¢
(a) W1 = lin¡{{[1, 3, 0], [4, 7, 1]}} , ¢
W2 = lin¡{{[x1 , x2 , x3 ] : x1 + x2 + x3 = 0}} ; ¢
(b) W1 = lin {{[1, 0, 2], [−1, 1, 1]}} ,
W2 = lin {{[x1 , x2 , x3 ] : 3x1 + 7x2 − 2x3 = 0}} .
Wersja z 24 kwietnia 2010
Typeset by LATEX.