arkusz - i lo tczew

VIII. ZBIÓR PRZYK ADOWYCH ZADA!
MATURALNYCH
ZADANIA ZAMKNI TE
Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba 330 990 jest równa
A. 3210
B. 3300
C. 9120
D. 27 2700
C. 34
D. 35
Zadanie 3.
(1 pkt)
Liczba log 24 jest równa
A. 2 log 2 ! log 20
B. log 6 ! 2 log 2
C. 2 log 6 " log12
D. log 30 " log 6
Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba 30 to p% liczby 80, zatem
A. p # 40
B. p $ 40
C.
p $ 42,5
D.
p % 42,5
C.
x $ 240
D.
x % 240
C.
x $ y " 0, 2
D.
x $ y " 0, 2 y
C.
3
8
D.
8
3
Zadanie 2.
Liczba
(1 pkt)
8
3
33 92
jest równa
3
A. 3
B.
32
39
Zadanie 5.
(1 pkt)
4% liczby x jest równe 6, zatem
A.
x $ 150
B.
x # 150
Zadanie 6. (1 pkt)
Liczba y to 120% liczby x. Wynika st d, !e
A.
y $ x ! 0, 2
Zadanie 7.
4
3
y $ x ! 0, 2 x
(1 pkt)
Rozwi zaniem równania
A. "
B.
x"3 1
$ jest liczba
2" x 2
B.
"
3
4
75
Zadanie 8. (1 pkt)
Mniejsz z dwóch liczb spe"niaj cych równanie x 2 ! 5 x ! 6 $ 0 jest
A. "6
B. "3
C. "2
D. " 1
Zadanie 9. (1 pkt)
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f & x ' $ &2 " m 'x ! 1 . Wynika st d, !e
D. m $ 3
A. m $ 0
B. m $ 1
C. m $ 2
Zadanie 10. (1 pkt)
("3x ! 4 dla x # 1
. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
Funkcja f jest okre#lona wzorem f ( x) $ )
+ 2 x " 1 dla x * 1
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 11. (1 pkt)
Rysunek przedstawia wykres funkcji y $ f & x ' .
y
y $ f &x '
1
0
1
x
Wska! rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y $ f & x ! 1' .
A.
B.
y
y
1
0
1
1
C.
1
x
1
x
D.
y
y
1
1
0
76
0
x
1
x
0
Zadanie 12. (1 pkt)
Który z zaznaczonych przedzia"ów jest zbiorem rozwi za$ nierówno#ci | 2 " x |, 3 ?
A.
"5
0
x
1
B.
0
–3
x
3
C.
–1
0
5
x
5
x
D.
0
1
Zadanie 13. (1 pkt)
Wska! równanie osi symetrii paraboli okre#lonej równaniem y $ " x 2 ! 4 x " 11 .
x $ "4
A.
B.
x $ "2
C.
x$2
D.
x$4
Zadanie 14. (1 pkt)
Wska! funkcj% kwadratow , której zbiorem warto#ci jest przedzia" &" -, 3 .
A.
f ( x) $ " & x " 2 ' ! 3
B.
f ( x) $ & 2 " x ' ! 3
C.
f ( x) $ " & x ! 2 ' " 3
D.
f ( x) $ & 2 " x ' " 3
2
2
2
2
Zadanie 15. (1 pkt)
Zbiorem rozwi za$ nierówno#ci x 2 * 5 jest
&
' &
A. " -," 5 .
5 ,!-
'
B. &" -, " 5 .
5 ,! - '
C.
5 ,! - '
D.
5,!- '
Zadanie 16. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej f ( x) $ 3 & x ! 1' " 4 nie ma punktów wspólnych z prost
2
o równaniu
A.
y $1
B.
y $ "1
C.
y $ "3
D.
y $ "5
77
Zadanie 17. (1 pkt)
Prosta o równaniu y $ a ma dok"adnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej
f ( x) $ " x 2 ! 6 x " 10. Wynika st d, !e
A. a $ 3
B.
a$0
C. a $ "1
D. a $ "3
Zadanie 18. (1 pkt)
Jaka jest najmniejsza warto#& funkcji kwadratowej f ( x) $ x 2 ! 4 x " 3 w przedziale 0, 3 ?
A. "7
B.
"4
C. "3
D. "2
Zadanie 19. (1 pkt)
Dane s wielomiany W ( x) $ 3 x3 " 2 x, V ( x) $ 2 x 2 ! 3 x. Stopie$ wielomianu W ( x) V ( x) jest
równy
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
Zadanie 20. (1 pkt)
Ile rozwi za$ rzeczywistych ma równanie 5 x 4 " 13 $ 0 ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C. 2
D. 3
Zadanie 21. (1 pkt)
Wska! liczb% rozwi za$ równania
A. 0
B. 1
11 " x
x 2 " 11
$0.
Zadanie 22. (1 pkt)
Wska! równanie prostej równoleg"ej do prostej o równaniu y $ 2 x " 7 .
1
1
B. y $ " x ! 5
D.
A. y $ "2 x ! 7
C. y $ x ! 2
2
2
y $ 2x "1
Zadanie 23. (1 pkt)
Które z równa$ opisuje prost prostopad" do prostej o równaniu y $ 4 x ! 5 ?
1
1
A. y $ "4 x ! 3
B. y $ " x ! 3
C. y $ x ! 3
D. y $ 4 x ! 3
4
4
Zadanie 24. (1 pkt)
Punkty A $ &" 1, 3' i C $ &7, 9 ' s przeciwleg"ymi wierzcho"kami prostok ta ABCD. Promie$
okr%gu opisanego na tym prostok cie jest równy
A. 10
78
B. 6 2
C. 5
D. 3 2
Zadanie 25. (1 pkt)
Liczba punktów wspólnych okr%gu o równaniu
& x ! 3'2 ! & y " 1'2 $ 4
z osiami uk"adu
wspó"rz%dnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie 26. (1 pkt)
'rodek S okr%gu o równaniu x 2 ! y 2 ! 4 x " 6 y " 221 $ 0 ma wspó"rz%dne
A. S $ ("2,3)
B.
S $ (2, "3)
C. S $ ("4, 6)
D. S $ (4, "6)
Zadanie 27. (1 pkt)
Dane s d"ugo#ci boków BC $ 5 i AC $ 3 trójk ta prostok tnego ABC o k cie ostrym /
(zobacz rysunek). Wtedy
B
/
.
C
A. sin / $
3
5
B. sin / $
4
5
A
C. sin / $
3 34
34
D. sin / $
5 34
34
C. cos 0 $
13
4
D. cos 0 %
13
4
Zadanie 28. (1 pkt)
1
. Wówczas
4
3
B. cos 0 $
4
K t 0 jest ostry i sin 0 $
A. cos 0 #
3
4
Zadanie 29. (1 pkt)
1
. Jaki warunek spe"nia k t 0 ?
2
B. 0 $ 30
C. 0 $ 60
K t 0 jest k tem ostrym i tg0 $
A. 0 # 30
D. 0 % 60
79
Zadanie 30. (1 pkt)
K t mi%dzy ci%ciw AB a styczn do okr%gu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miar% 0 $ 62 .
Wówczas
B
S
/
0
A
A. / $ 118
B.
/ $ 124
C. / $ 138
D. / $ 152
Zadanie 31. (1 pkt)
K t #rodkowy i k t wpisany s oparte na tym samym "uku. Suma ich miar jest równa180 .
Jaka jest miara k ta #rodkowego?
A. 60
B. 90
C. 120
D. 135
Zadanie 32. (1 pkt)
Ró!nica miar k tów wewn%trznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest
równoleg"obokiem, jest równa 40 . Miara k ta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa
A. 120
B. 110
C. 80
D. 70
Zadanie 33. (1 pkt)
Odcinki BC i DE s równoleg"e. D"ugo#ci odcinków AC, CE i BC s podane na rysunku.
D"ugo#& odcinka DE jest równa
D
B
4
A
A. 6
80
B. 8
4
C
6
E
C. 10
D. 12
Zadanie 34. (1 pkt)
Pole kwadratu wpisanego w okr g o promieniu 4 cm jest równe
A. 64 cm2
B. 32 cm2
C. 16 cm2
Zadanie 35. (1 pkt)
Ci g & an ' jest okre#lony wzorem an $ & "3'
A. a3 $ "81
B.
a3 $ "27
n
D. 8 cm2
&9 " n2 ' dla n * 1. Wynika st d, !e
C. a3 $ 0
D. a3 % 0
Zadanie 36. (1 pkt)
Liczby x " 1, 4 i 8 (w podanej kolejno#ci) s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ci gu
arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa
A. 3
C. "1
B. 1
D. "7
Zadanie 37. (1 pkt)
Liczby " 8 , 4 i x ! 1 (w podanej kolejno#ci) s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ci gu
geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa
A. "3
B.
" 1,5
C. 1
D. 15
Zadanie 38. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które s podzielne przez 6 lub przez 10, jest
A. 25
B. 24
C. 21
D. 20
Zadanie 39. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry s mniejsze od 5 jest
A. 16
B. 20
C. 25
D. 30
Zadanie 40. (1 pkt)
Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mog usi #& na dwóch spo#ród pi%ciu miejsc w kinie, jest
równa
A. 25
B. 20
C. 15
D. 12
C. 2
D. 2,5
Zadanie 41. (1 pkt)
Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa
A. 1
B. 1,5
Zadanie 42. (1 pkt)
Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebno#ci jest równa
warto#&
0 1 2 3
liczebno#& 5 2 1 1
A. 0
B. 0,5
C. 1
D. 5
81
Zadanie 43. (1 pkt)
'rednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie cz%sto#ci jest równa
cz%sto#& w %
40
30
20
10
0
A. 1
0
B. 1,2
1
2
3 warto#&
C. 1,5
D. 1,8
Zadanie 44. (1 pkt)
Ze zbioru liczb {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} wybieramy losowo jedn liczb%. Liczba p oznacza
prawdopodobie$stwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy
1
1
B. p $ 0, 25
C. p $
D. p %
A. p # 0, 25
3
3
Zadanie 45. (1 pkt)
O zdarzeniach losowych A i B s
i P ( B) $ 0,3 . Wtedy
A. P ( A . B ) $ 1
B.
zawartych w 1 wiadomo, !e B 2 A , P ( A) $ 0, 7
P ( A . B ) $ 0, 7
C. P ( A . B ) $ 0, 4
D. P ( A . B) $ 0,3
Zadanie 46. (1 pkt)
Przek tna sze#cianu ma d"ugo#& 3. Pole powierzchni ca"kowitej tego sze#cianu jest równe
3
A. 54
B. 36
C. 18
D. 12
Zadanie 47. (1 pkt)
Pole powierzchni ca"kowitej sze#cianu jest równe 24 cm2. Obj%to#& tego sze#cianu jest równa
A. 8 cm3
82
B. 16 cm3
C. 27 cm3
D. 64 cm3
Zadanie 48. (1 pkt)
Przek tna prostopad"o#cianu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma d"ugo#&
5
2
3
A.
13
B.
29
C.
34
D.
38
Zadanie 49. (1 pkt)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku d"ugo#ci 6. Obj%to#& tego walca jest równa
6
A. 183
B. 543
C. 1083
D. 2163
Zadanie 50. (1 pkt)
Przekrój osiowy sto!ka jest trójk tem równobocznym o boku d"ugo#ci 6. Pole powierzchni
bocznej tego sto!ka jest równe
6
A. 123
B. 183
C. 273
D. 363
83
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. (2 pkt)
2 " 3x
1
Rozwi ! równanie
$" .
1 " 2x
2
Zadanie 52. (2 pkt)
(x ! 3y $ 5
Rozwi ! uk"ad równa$ )
.
+2 x " y $ 3
Zadanie 53. (2 pkt)
Rozwi ! nierówno#& x 2 ! 6 x " 7 , 0 .
Zadanie 54. (2 pkt)
Rozwi ! równanie 2 x 3 " x 2 " 6 x ! 3 $ 0 .
Zadanie 55. (2 pkt)
O funkcji liniowej f wiadomo, !e f (1) $ 2 oraz, !e do wykresu tej funkcji nale!y punkt
P $ &" 2, 3' . Wyznacz wzór funkcji f.
Zadanie 56. (2 pkt)
Oblicz miejsca zerowe funkcji
(2 x ! 1 dla x , 0
f ( x) $ )
.
+ x ! 2 dla x % 0
Zadanie 57. (2 pkt)
Naszkicuj wykres funkcji
(2 x ! 1 dla x , 0
f ( x) $ )
.
+ x ! 2 dla x % 0
Zadanie 58. (2 pkt)
Oblicz najmniejsz warto#& funkcji kwadratowej f ( x) $ x 2 " 6 x ! 1 w przedziale 0,1 .
Zadanie 59. (2 pkt)
2
Wielomiany W & x ' $ ax& x ! b ' i V & x ' $ x 3 ! 2 x 2 ! x s równe. Oblicz a i b.
Zadanie 60. (2 pkt)
3
x
Wyra!enie
"
zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.
x " 3 x !1
Zadanie 61. (2 pkt)
Napisz równanie prostej równoleg"ej do prostej o równaniu 2 x " y " 11 $ 0 i przechodz cej
przez punkt P $ (1, 2).
Zadanie 62. (2 pkt)
Wyznacz równanie okr%gu stycznego do osi Oy, którego #rodkiem jest punkt S $ &3, " 5' .
84
Zadanie 63. (2 pkt)
Wyznacz równanie okr%gu o #rodku S $ &3, " 5' przechodz cego przez pocz tek uk"adu
wspó"rz%dnych.
Zadanie 64. (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej zawieraj cej #rodkow CD trójk ta ABC, którego wierzcho"kami
s punkty: A $ &" 2, " 1' , B $ &6,1' , C $ &7,10 ' .
Zadanie 65. (2 pkt)
W trójk cie prostok tnym, w którym przyprostok tne maj d"ugo#ci 2 i 4, jeden z k tów
ostrych ma miar% 0 . Oblicz sin 0 cos 0 .
Zadanie 66. (2 pkt)
1
K t 0 jest ostry i sin 0 $ . Oblicz 3 ! 2tg 20 .
4
Zadanie 67. (2 pkt)
Punkt D le!y na boku BC trójk ta równoramiennego ABC, w którym AC $ BC . Odcinek
AD dzieli trójk t ABC na dwa trójk ty równoramienne w taki sposób, !e AB $ AD $ CD
(patrz rysunek). Oblicz miary k tów trójk ta ABC.
C
D
A
B
Zadanie 68. (2 pkt)
Oblicz pole trójk ta równoramiennego ABC, w którym AB $ 24 i AC $ BC $ 13 .
Zadanie 69. (2 pkt)
Liczby 4, 10, c s d"ugo#ciami boków trójk ta równoramiennego. Oblicz c.
Zadanie 70. (2 pkt)
Liczby 6, 10, c s d"ugo#ciami boków trójk ta równoramiennego. Oblicz c.
Zadanie 71. (2 pkt)
Liczby 6, 10, c s d"ugo#ciami boków trójk ta prostok tnego. Oblicz c.
Zadanie 72. (2 pkt)
Liczby x " 1 , x, 5 s d"ugo#ciami boków trójk ta równoramiennego. Oblicz x.
85
Zadanie 73. (2 pkt)
Obwód czworok ta wypuk"ego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójk ta ABD jest równy 46 cm,
a obwód trójk ta BCD jest równy 36 cm. Oblicz d"ugo#& przek tnej BD.
Zadanie 74. (2 pkt)
Ile wyrazów ujemnych ma ci g & an ' okre#lony wzorem a n $ n 2 " 2n " 24 dla n * 1 ?
Zadanie 75. (2 pkt)
Liczby 2, x " 3 , 8 s w podanej kolejno#ci pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ci gu
arytmetycznego. Oblicz x.
Zadanie 76. (2 pkt)
Wyrazami ci gu arytmetycznego & an ' s kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez
5 daj reszt% 2. Ponadto a3 $ 12. Oblicz a15 .
Zadanie 77. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, !e w ich zapisie dziesi%tnym wyst%puje
jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?
Uwaga: przypominamy, !e zero jest liczb parzyst .
Zadanie 78. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?
Zadanie 79. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesi tek jest o 2 wi%ksza od cyfry
jedno#ci?
Zadanie 80. (2 pkt)
Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile jest
wszystkich trójk tów, których wierzcho"kami s trzy spo#ród zaznaczonych punktów ?
Zadanie 81. (2 pkt)
'rednia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.
86
Zadanie 82. (2 pkt)
Oblicz #redni arytmetyczn danych przedstawionych na poni!szym diagramie cz%sto#ci
cz%sto#& w %
45
30
15
10
0
0
1
2
3 warto#&
Zadanie 83. (2 pkt)
Oblicz median% danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.
Zadanie 84. (2 pkt)
Oblicz median% danych przedstawionych w postaci tabeli liczebno#ci
warto#&
liczebno#&
0
4
1
3
2
1
3
1
Zadanie 85. (2 pkt)
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo
prawdopodobie$stwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.
jedn
Zadanie 86. (2 pkt)
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedn
prawdopodobie$stwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
liczb%.
Oblicz
liczb%. Oblicz
Zadanie 87. (2 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczn sze#cienn kostk do gry. Oblicz prawdopodobie$stwo
otrzymania iloczynu oczek równego 5.
Zadanie 88. (2 pkt)
A i B s takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w 1 , !e A 2 B oraz P& A' $ 0,3 i P&B ' $ 0,4 .
Oblicz P ( A . B).
Zadanie 89. (2 pkt)
A i B s takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w 1 , !e A 2 B oraz P& A' $ 0,3 i P&B ' $ 0,7 .
Oblicz prawdopodobie$stwo ró!nicy B \ A .
87
Zadanie 90. (2 pkt)
Przek tna sze#cianu ma d"ugo#& 9. Oblicz pole powierzchni ca"kowitej tego sze#cianu.
9
Zadanie 91. (2 pkt)
Przekrój osiowy sto!ka jest trójk tem równoramiennym o podstawie d"ugo#ci 12. Wysoko#&
sto!ka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego sto!ka.
8
12
Zadanie 92. (2 pkt)
Oblicz sinus k ta mi%dzy przek tn sze#cianu a jego p"aszczyzn podstawy.
88
Zadanie 93. (2 pkt)
Czworok ty ABCD i APQR s kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, !e BP $ DR .
D
C
Q
R
P
A
B
Zadanie 94. (2 pkt)
Na boku BC trójk ta ABC wybrano punkt D tak, by !CAD $ !ABC . Odcinek AE jest
dwusieczn k ta DAB. Udowodnij, !e AC $ CE .
C
D
E
A
B
89
ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 95.
Oblicz sum% wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wy" cznie za pomoc cyfr wybranych
ze zbioru {0, 1, 2, 3}.
Zadanie 96.
Z pojemnika, w którym s dwa losy wygrywaj ce i trzy losy puste, losujemy dwa razy
po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobie$stwo, !e otrzymamy co najmniej
jeden los wygrywaj cy. Wynik przedstaw w postaci u"amka nieskracalnego.
Zadanie 97.
Z miejscowo#ci A i B oddalonych od siebie o 182 km wyje!d!aj naprzeciw siebie dwaj
rowerzy#ci. Rowerzysta jad cy z miejscowo#ci B do miejscowo#ci A jedzie ze #redni
pr%dko#ci mniejsz od 25 km/h. Rowerzysta jad cy z miejscowo#ci A do miejscowo#ci B
wyje!d!a o 1 godzin% wcze#niej i jedzie ze #redni pr%dko#ci o 7 km/h wi%ksz od #redniej
pr%dko#ci drugiego rowerzysty. Rowerzy#ci spotkali si% w takim miejscu, !e rowerzysta
jad cy z miejscowo#ci A przeby" do tego miejsca 139 ca"ej drogi z A do B. Z jakimi #rednimi
pr%dko#ciami jechali obaj rowerzy#ci?
Zadanie 98.
Ucze$ przeczyta" ksi !k% licz c 480 stron, przy czym ka!dego dnia czyta" tak sam liczb%
stron. Gdyby czyta" ka!dego dnia o 8 stron wi%cej, to przeczyta"by t% ksi !k% o 3 dni
wcze#niej. Oblicz, ile dni ucze$ czyta" t% ksi !k%.
Zadanie 99.
Liczby a, b, c tworz w podanej kolejno#ci ci g geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93.
Te same liczby, w podanej kolejno#ci s pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ci gu
arytmetycznego. Oblicz a, b i c.
Zadanie 100.
Wyznacz wzór na n-ty wyraz ci gu arytmetycznego wiedz c, !e suma pierwszych pi%ciu jego
wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, pi ty i trzynasty tworz w podanej kolejno#ci ci g
geometryczny.
Zadanie 101.
Podstaw ostros"upa prawid"owego czworok tnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójk ta
równoramiennego ACS jest równe 120 oraz AC : AS $ 10 : 13 . Oblicz pole powierzchni
bocznej tego ostros"upa.
90
Zadanie 102.
Podstaw ostros"upa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest #rodkiem kraw%dzi AD,
odcinek EF jest wysoko#ci ostros"upa (patrz rysunek). Oblicz obj%to#& ostros"upa, je#li
wiadomo, !e AE $ 15 , BE $ 17 .
E
D
C
F
A
B
Zadanie 103.
Dany jest trójk t prostok tny ABC, w którym BC $ 30 , AC $ 40 , AB $ 50 . Punkt W jest
#rodkiem okr%gu wpisanego w ten trójk t. Okr g wpisany w trójk t ABC jest styczny do boku
AB w punkcie M. Oblicz d"ugo#& odcinka CM.
B
M
W
A
C
Zadanie 104.
Na zewn trz trójk ta prostok tnego ABC, w którym !ACB $ 904 oraz AC $ 5 , BC $ 12
zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H le!y na prostej AB i k t !EHA $ 904 .
Oblicz pole trójk ta HAE.
D
C
E
H
A
B
Zadanie 105.
Wyka!, !e prawdziwa jest nierówno#& 2 50 ! 1 ! 2 50 " 1 # 2 26 .
91
Zadanie 106.
Udowodnij, !e je#li
a) x, y s liczbami rzeczywistymi, to x 2 ! y 2 * 2 xy .
1
b) x, y, z s liczbami rzeczywistymi takimi, !e x ! y ! z $ 1 , to x 2 ! y 2 ! z 2 * .
3
Zadanie 107.
Punkt D le!y na boku BC trójk ta równoramiennego ABC, w którym AC $ BC . Odcinek
AD dzieli trójk t ABC na dwa trójk ty równoramienne w taki sposób, !e AD $ CD oraz
AB $ BD (patrz rysunek). Udowodnij, !e !ADC $ 5 !ACD .
C
D
A
B
Zadanie 108.
Dane s dwa pó"okr%gi o wspólnym #rodku O i #rednicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C,
D i O s wspó"liniowe). Punkt P le!y na wewn%trznym pó"okr%gu, punkt R le!y na zewn%trznym
pó"okr%gu, punkty O, P i R s wspó"liniowe. Udowodnij, !e !APB ! !CRD $ 1804 .
R
P
A
92
C
O
D
B
Przyk adowe zadania
Odpowiedzi do zada zamkni!tych
Nr zadania
1
Odpowied
A C B A A B D B D A D C C A B D C C B B B D B C C
26
27
28
29
2
3
30
4
5
31
6
32
33
7
8
34
9
35
10
36
11
37
12
38
13
39
14
40
15
41
16
42
17
43
18
44
19
20
45
46
21
47
22
48
23
24
49
50
A C D A B C B C B C B A C B B A A A B B C A D B
B
Odpowiedzi do zada otwartych
Nr
zadania
Odpowied"
5
8
2, y 1
51
x
52
x
53
x " ! 7,1
54
x
x
1
lub x
2
! 3
1
7
! x#
3
3
1
!
2
3 lub
Nr
zadania
80
30 trójk#tów
81
82
x 7
0,9
83
1
84
1
55
y
56
x
57
wykres
86
58
y
!4
87
59
a 1 b 1
! x 2 # 6x # 3
$x ! 3%$x # 1%
2x ! y 0
60
$x ! 3%
63
$x ! 3%2 # $ y # 5%2
64
y
2
5
65
2
# $ y # 5%
2x ! 4
88
7
11
1
15
1
18
0,4
89
0,4
162
9
90
91
34
92
85
61
62
2
Odpowied"
60&
93
3
3
dowód
94
dowód
93
25
94
66
47
15
95
67
36' , 72' , 72'
96
68
69
60
c 10
97
98
70
c
6 lub c 10
99
71
100
an
72
c 8 lub c 2 34
x 5 lub x 6
101
20 313
73
BD
102
16
74
5 wyrazów
103
75
x
7
104
76
77
78
79
a15 72
2125
9 liczb
72 liczby
105
106
107
108
10392
7
10
7 km h , 14 km h
15
+a 3
+a 31
(
(
*b 15 lub *b 31
(c 75
( c 31
)
)
2 lub a n
64 209
3
2 145
750
169
dowód
dowód
dowód
dowód
3n ! 7