Powtórka z planimetrii

Zagadnienia z planimetrii – NaCoBeZU (na co będę zwracał uwagę)
Podstawowe pojęcia geometryczne:
 rozróżniasz podstawowe figury: punkt, prosta,
 półprosta, płaszczyzna, okrąg, koło, łuk
 znasz pojęcia: figura wypukła i figura wklęsła
 określasz wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
 znasz pojęcie odległości na płaszczyźnie
Współliniowość punktów. Nierówność trójkąta:
 rozumiesz pojęcie odległości
 wyznaczasz odległości: dwóch punktów, punktu od prostej, dwóch prostych równoległych
 badasz współliniowość punktów
 badasz współliniowość punktów
 korzystasz z nierówności trójkąta
Kąty i ich rodzaje:







znasz podział kątów ze względu na ich miarę
znasz pojęcia: kąt przyległy i kąt wierzchołkowy oraz stosuje ich własności do rozwiązywania prostych zadań
znasz podział trójkątów ze względu na długości boków i miary kątów
znasz rodzaje kątów powstałych w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą
uzasadniasz, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180 o
znasz pojęcie kąta zewnętrznego wielokąta
potrafisz uzasadnić, że suma kątów zewnętrznych w wielokącie jest stała
Wzajemne położenie prostej i okręgu.









znasz określenie stycznej do okręgu (koła)
badasz wzajemne położenie prostej i okręgu
konstruujesz styczną do okręgu przechodzącą przez punkt leżący na okręgu oraz przez punkt leżący poza okręgiem
znasz twierdzenie o stycznej do okręgu i wykorzystuje je do rozwiązywania prostych zadań
znasz pojęcie siecznej okręgu (koła)
znasz twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu
uzasadniasz poprawność konstrukcji stycznych do okręgu
rozwiązujesz nietypowe zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące stycznych do okręgu
stosujesz twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu do rozwiązywania zadań
Wzajemne położenie dwóch okręgów.
 określa wzajemne położenie dwóch okręgów w zależności od odległości środków tych okręgów i od długości ich
promieni
 potrafi uzasadnić wzajemne położenie dwóch okręgów
 bada warunki, jakie muszą być spełnione, aby okręgi były styczne zewnętrznie lub wewnętrznie, rozłączne
zewnętrznie lub wewnętrznie, przecinające się
Kąty w okręgu. Kąty środkowe, wpisane i dopisane.
 znasz pojęcia: kąt środkowy w okręgu (kole), kąt wpisany w okrąg
 znasz twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku oraz stosuje je do
rozwiązywania prostych zadań
 znasz pojęcie kąta dopisanego do okręgu
 znasz twierdzenie dotyczące kąta wpisanego i dopisanego opartego na tym samym łuku
 potrafisz udowodnić twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku
 uzasadniasz, że miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego w okrąg, opartego na tym samym łuku
Okrąg opisany na trójkącie.






znasz pojęcie symetralnej odcinka
konstruujesz symetralną odcinka
wyznaczasz środek okręgu opisanego na trójkącie
konstruujesz okrąg opisany na trójkącie
uzasadniasz położenie środka okręgu opisanego na dowolnym trójkącie
obliczasz długość promienia okręgu opisanego na trójkątach: równoramiennym, równobocznym, prostokątnym
Okrąg wpisany w trójkąt.






znasz pojęcie dwusiecznej kąta
konstruujesz dwusieczną kąta
wyznaczasz środek okręgu wpisanego w trójkąt
konstruujesz okrąg wpisany w trójkąt
uzasadniasz, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie
wykorzystujesz wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny w zależności od długości boków tego
trójkąta
 znasz i stosujesz wzór na pole trójkąta w zależności od jego obwodu i promienia okręgu wpisanego w trójkąt
 rozwiązujesz zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące okręgów wpisanych i opisanych na trójkącie
Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa.





znasz twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
znasz twierdzenie Talesa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
wykorzystujesz twierdzenia do rozwiązywania problemów matematycznych
potrafisz udowodnić twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa
potrafisz ocenić, czy trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny, oraz to uzasadnić
Trójkąty i ich punkty szczególne. Twierdzenie o dwusiecznej kąta.
 znasz pojęcie ortocentrum trójkąta
 wykorzystujesz związek między środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt
 znasz pojęcie środkowej trójkąta
 znasz twierdzenie o środkowych trójkąta i stosuje je do rozwiązywania zadań
 znasz pojęcie środka ciężkości trójkąta
 znasz twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie
 uzasadniasz, że w trójkącie środkowe dzielą się w stosunku 1 : 2
 stosujesz poznane twierdzenia do rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu trudności
 stosujesz twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta
Trójkąty przystające.




zna definicję trójkątów przystających oraz twierdzenie dotyczące cech przystawania trójkątów
zna twierdzenie o cechach przystawania trójkątów prostokątnych
rozpoznaje trójkąty przystające
uzasadnia przystawanie trójkątów, korzystając z twierdzenia o cechach przystawania trójkątów
Trójkąty podobne.





znasz definicję trójkątów podobnych oraz twierdzenie dotyczące cech podobieństwa trójkątów
znasz twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów prostokątnych
rozpoznajesz trójkąty podobne
uzasadniasz podobieństwo trójkątów, stosując twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów
uzasadniasz, że w trójkącie prostokątnym długość wysokości jest średnią geometryczną długości odcinków, na
które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną
Przykładowe zadania
Zadanie 1. Dla jakiej wartości a punkt M 1 należy do symetralnej odcinka KL, jeżeli: |KM1|=3a–2,
|LM1|=2a+1
Zadanie 2. Dla jakiej wartości a kąty α i β, o podanych niżej miarach, są odpowiednio kątami
środkowym i wpisanym, opartymi na tym samym łuku: a) α = 3a – 350, β = 2a + 250?
Zadanie 3. Ile boków ma wielokąt, który ma 20 przekątnych?
Zadanie 4. Dane są okręgi: o(S, 3m – 1) i o(P, m + 3). Długość odcinka SP wynosi 6. Dla jakiej wartości
parametru m okręgi te są styczne wewnętrznie?
Zadanie 5. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC, AOB=1620, a
promień OA okręgu tworzy z bokiem AC kąt miary 280. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
Zadanie 6. Dwa boki czworokąta ABCD opisanego na okręgu mają długości |AB|=8cm, |BC|=7cm,
natomiast 3|CD|=2|AD|. Oblicz długości pozostałych boków i obwód czworokąta.
Zadanie 7. Ramiona trapezu mają długości 5cm i 7 cm, a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od
drugiej. Obwód trapezu wynosi 24 cm.
a) Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion.
b) Czy na tym trapezie można opisać okrąg? Czy można w ten trapez wpisać okrąg?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 8. Punkty A i B należą do okręgu o środku O. Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu
poprowadzono styczne do okręgu odpowiednio w punktach A i B. Wiedząc, że OAB=400,
oblicz miary kątów czworokąta AOBP, oraz trójkąta OPA.
Zadanie 9. Dany jest okrąg o środku w punkcie A i promieniu 6 cm. Jaki warunek spełnia promień
okręgu o środku w punkcie B, gdzie AB = 8 cm , jeżeli dane okręgi:
a) są styczne wewnętrznie,
b) są rozłączne zewnętrznie?
Zadanie 10. Suma miar kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku jest równa 2340.
Zatem kąt środkowy ma miarę:
A. 1170 B. 1260 C. 780 D. 1560
Zadanie 11. W dowolnym trójkącie w stosunku 1:2 dzielą się:
A. wysokości
B. symetralne C. dwusieczne D. środkowe
Zadanie 12. Jeżeli długości boków trójkąta są równe odpowiednio: 5; 12; 13, to w tym trójkącie
A. wszystkie kąty są ostreB. jeden z kątów ma miarę 900
C. jeden z kątów jest rozwarty D. najmniejszy kąt ma miarę większą niż 450
Zadanie 13. Dane są okręgi o(O; 8) oraz o(S; 2,5) takie, że |OS|=5. Okręgi te
A. są styczne zewnętrznieB. są rozłączne wewnętrznie
C. są styczne wewnętrznie
D. przecinają się w dwóch punktach
Zadanie 14. Oblicz miary kąta wpisanego i kąta środkowego opartych na tym samym łuku, równym
1/10 długości okręgu.
Zadanie 15. Dla jakich wartości x punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta, jeśli: |AB|=2x; |AC|=x+3;
|BC|=x-1
Podobieństwo
1. Wielokąt F1 jest podobny do wielokąta F2 w skali 2, a wielokąt F3 jest podobny do wielokąta
F2 w skali 7. W jakiej skali wielokąt F1 jest podobny do wielokąta F3 ?
2. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta
A
DAB. Znajdź skalę tego podobieństwa.
8
B
4
D
12
C
3. Wiedząc, że proste k, l, m są
równoległe, oblicz x, y, z.
12
5
x
y
10
z
8
6
k
l
4. Wewnątrz trapezu prostokątnego ABCD zbudowano
trapez do niego podobny (zob. rysunek). Oblicz pole
zakreskowanej figury.
m
D
4
3
2
A
C
9
B
5. Znajdź długość promienia wpisanego w stukąt (100-kąt) o polu 12 cm2 i obwodzie 85 mm.
6. W trapezie ABCD podstawy mają długości: AB  a i CD  b . Punkt E jest punktem przecięcia
przekątnych trapezu. Oblicz stosunek pól trójkątów ABE i CDE.
Standardowo proszę zapoznać się i rozwiązać zadania z podręcznika i zbioru zadań.
 Zadania po każdym rozdziale.
 A gdyby sprawdzian był teraz.
 A gdyby matura była teraz.
 Bank zadań.
Zadania z podręcznika i zbioru zadań są podstawą do zawartości sprawdzianu z planimetrii.
Na powtórzeniu będziemy rozwiązywać zadania z podanego zakresu.
Życzę powodzenia